王倩南，侯耀平

(湖南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410000)

1 連通圖的臨界群

連通圖的臨界群是有限阿貝爾群，它的階數(shù)是圖的生成樹的數(shù)目，由矩陣樹定理可知，臨界群與圖的Laplacian矩陣有關(guān)，設(shè)圖G是有n個(gè)頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單圖，那么圖G的拉普拉斯矩陣定義如下：L(G)=D(G)-A(G)，其中D(G)=diag(d1,d2,…,dn)是圖的度矩陣，A(G)是圖的鄰接矩陣。

將圖G的拉普拉斯矩陣L(G)看作Zn→Zn的映射，它的余核有如下形式：

cokerL(G)=Zn/(L(G)Zn)?Z⊕K(G)。

其中：K(G)是圖G的臨界群[1]。

圖G的臨界群K(G)的階數(shù)等于圖G的生成樹的數(shù)目，計(jì)算圖的拉普拉斯特征值，并應(yīng)用矩陣樹定理[2]可知圖的生成樹數(shù)目。 關(guān)于圖的臨界群的研究，目前研究成果已有較多，比如莫比烏斯階梯圖Mn[3]、Kneser圖[4]、Peisert圖[5]、迭代錐[6]、閾圖[7]、完全多部圖[8]等多種類型閥圖的臨界群。 除此之外，對(duì)于臨界群上的代數(shù)性質(zhì)也有相關(guān)研究，比如臨界群的秩[9]。

循環(huán)圖的定義如下：Cn(s1,s2,…,sk)的頂點(diǎn)集為{v1,v2,…,vn}，它的2個(gè)頂點(diǎn)vi與vj之間存在邊當(dāng)且僅當(dāng)|i-j|=sxmodn，x∈{1,2,…,k}，其中i,j∈{1,2,…,n}是頂點(diǎn)的下標(biāo)。

這篇文章主要研究循環(huán)圖C2n(1,n-1)的臨界群，它的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 循環(huán)圖C2n(1,n-1) Fig.1 Cyclic GraphC2n(1,n-1)

循環(huán)圖C2n(1,n-1)的鄰接矩陣為

其中：A(Cn)表示圈Cn的鄰接矩陣。

引理1 循環(huán)圖C2n(1,n-1)的臨界群的階數(shù)為2n·8n-1。

證明 設(shè)λ是A(Cn)的特征值，即A(Cn)X=λX，X是相應(yīng)的特征向量，則有

即2λ為A(C2n(1,n-1))的特征值，又有

即0為A(C2n(1,n-1))的n重特征值。

故循環(huán)圖C2n(1,n-1)的臨界群的階數(shù)為2n·8n-1。

對(duì)于A,B∈Zm×n2個(gè)矩陣，如果存在P∈GL(n,Z)，Q∈GL(n,Z)使得B=PAQ，則說(shuō)A與B是等價(jià)的，記成A∽B，也可以說(shuō)，B能夠由A經(jīng)過(guò)整數(shù)初等變換所得。下面使用的主要方法是先找到生成元以及生成元之間的關(guān)系矩陣，再對(duì)關(guān)系矩陣進(jìn)行整數(shù)初等行列變換，最終將生成元之間的關(guān)系矩陣化為它的施密斯標(biāo)準(zhǔn)型。

2 關(guān)系矩陣

循環(huán)圖C2n(1,n-1)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，它的頂點(diǎn)集是{u1,u2,…,un,v1,v2,…,vn}，它的拉普拉斯矩陣是

令

則

令x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn表示余核Z2n/(imT)的生成元，則有

xi=-4yi-1-xi-2, 4xi=-8yi,i∈{1,2,…,n},

所以，余核Z2n/(imT)?Z⊕K(G)，其中K(G)可以由x1,x2,y1,y2,…,yn生成，并且有

當(dāng)n=2m+1時(shí)，上述關(guān)系的第n-2,n-1,n個(gè)式子分別為

綜上所述，當(dāng)n=2m+1時(shí)，生成元x1,x2,y1,y2,…,yn之間的關(guān)系矩陣如下：

類似地，當(dāng)n=2m時(shí)，生成元x1,x2,y1,y2,···,yn之間的關(guān)系矩陣如下：

3 循環(huán)圖C2n(1,n-1)的臨界群

引理2 當(dāng)n=2m+1時(shí)，生成元x1,x2,y1,y2,…,yn之間的關(guān)系矩陣M～8In-4⊕M′，其中：

證明 1)當(dāng)n≡2 mod 4時(shí)，令

則：

令

則：

即M∽8In-4⊕M′,

其中：

2)當(dāng)n≡0 mod 4時(shí)，同理可得。

引理3 當(dāng)n=2m+1時(shí)，M′∽diag(1,2,8,8,8n,0)。

證明 1)當(dāng)n≡2 mod 4時(shí)，令

即PM′Q∽diag(1,2,8,8,8n,0)。

2)當(dāng)n≡0 mod 4時(shí)，同理可得。

引理4 當(dāng)n=2m時(shí)，生成元x1,x2,y1,y2,…,yn之間的關(guān)系矩陣N∽8In-4⊕N′，其中：

證明 1)當(dāng)n≡2 mod 4時(shí)，令

則：

令

則：

即N∽8In-4⊕N′,

2)當(dāng)n≡0 mod 4時(shí)，同理可得。

證明 1)當(dāng)n≡2 mod 4時(shí)，令

則：

即PN′Q∽diag(2,2,8,8,4n,0)。

2)當(dāng)n≡0 mod 4時(shí)，同理可得。

定理1 由引理2到引理5直接可得，當(dāng)n≥3時(shí)，循環(huán)圖C2n(1,n-1)的臨界群K(C2n(1,n-1))的代數(shù)結(jié)構(gòu)如下：

4 結(jié)論

本文借助初等行列變換法對(duì)生成元的關(guān)系矩陣進(jìn)行處理，研究了循環(huán)圖C2n(1,n-1)的臨界群，并給出了相應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。