☉安徽省阜陽(yáng)市潁上縣八里河中心學(xué)校 程永康

一、案例1：2018年德州卷第12題

如圖1，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)O是三角形ABC的中心，∠FOG=120°，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)∠FOG，分別交線段AB、BC于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，連接DE，給出下列四個(gè)結(jié)論：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四邊形ODBE的面積始終等于；④△BDE周長(zhǎng)的最小值為6.上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

圖1

圖2

圖3

圖4

1.解析

（1）下面給出證明OD=OE的思路.

思路1：如圖2，連接OB、OC，證明△ODB △OEC，全等的條件是ASA.

思路2：如圖3，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB，OI⊥BC，證明△OHD △OIE，全等的條件是AAS.

思路3：如圖4，根據(jù)條件發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O、D、B、E四點(diǎn)共圓，又∠OBD=∠OBC，所以O(shè)D=OE，條件是：在同圓或等圓中，等角對(duì)等弦.

（2）下面給出四邊形ODBE面積的求解思路.

1.1 研究對(duì)象 納入 2018年1月至 6月在海軍軍醫(yī)大學(xué)（第二軍醫(yī)大學(xué)）長(zhǎng)海醫(yī)院心血管內(nèi)科行冠狀動(dòng)脈造影檢查的老年患者 345例。納入標(biāo)準(zhǔn)：住院患者，年齡≥60 歲，性別不限，接受冠狀動(dòng)脈造影術(shù)檢查；排除標(biāo)準(zhǔn)：1 個(gè)月內(nèi)曾服用腎毒性藥物，碘過(guò)敏，腎動(dòng)脈狹窄，休克，急性腎功能衰竭，血液透析，惡性腫瘤，配合度差，冠狀動(dòng)脈造影證實(shí)為擴(kuò)張性心肌病、肥厚性心肌病等疾病，以及臨床資料不全的患者。本研究已通過(guò)海軍軍醫(yī)大學(xué)（第二軍醫(yī)大學(xué)）長(zhǎng)海醫(yī)院醫(yī)學(xué)倫理委員會(huì)審批。

思路1：如圖2，S四邊形ODBE=S△OBC；

思路2：如圖3，S四邊形ODBE=S四邊形OHBI=2S△OBI.

（3）最后給出△BDE周長(zhǎng)最小值的求法.

根據(jù)前面的結(jié)論，易得△BDE中BD和BE兩條邊的和為4，只需求出邊DE的最小值即可.

思路1：在等腰三角形ODE中，易得DE=2OD·sin60°=而OD的最小值易求，即為OH的長(zhǎng)度（如圖3）；

思路2：可以在三角形DBE中根據(jù)余弦定理，然后構(gòu)造二次函數(shù)，進(jìn)而可得DE的最小值（其中可設(shè)DB=x，所以BE=4-x，而∠B=60°，即cos60

2.賞析

此題以等邊三角形為載體（實(shí)質(zhì)上只是一層“外衣”），綜合考查了初中階段的核心知識(shí)，比如三角形的全等、割補(bǔ)法求四邊形的面積、最值問(wèn)題、等腰三角形、四點(diǎn)共圓等.這個(gè)問(wèn)題在教材和往年其他地區(qū)的中考試題中多次出現(xiàn)（比如2017年陜西卷第14題、2017年濱州卷第11題、2017年臨沂市第25題等，限于篇幅，不具體呈現(xiàn)，讀者可自行查閱），只要一線教師教學(xué)中能夠抓住此類問(wèn)題的本質(zhì)即可：對(duì)角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等（一條對(duì)角線是其中一個(gè)內(nèi)角的角平分線）的四邊形.只要一個(gè)四邊形，滿足上述兩個(gè)條件，就可以命制類似的試題，這應(yīng)該就是此類問(wèn)題的“深層結(jié)構(gòu)”（如圖5，四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)，且BD平分∠ABC或AD=CD）.

圖5

二、案例2：2018年北京卷第27題

如圖6，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接EF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接DG，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BH.

（1）求證：GF=GC；

（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

1.解析

（1）下面給出第（1）問(wèn)的證明思路.

圖6

圖7

（2）下面給出第（2）問(wèn)的思路

思路1：如圖8，在AD上取點(diǎn)P，使AP=AE，連接EP，證明△DPE △EBH即可，條件是SAS，所以EP=HB，進(jìn)而（說(shuō)明：此時(shí)根據(jù)全等可得∠EBH=∠DPE=135°，進(jìn)而∠CBH=45°，可得BH是正方形ABCD外角的角平分線）

圖8

圖9

思路2：如圖9，過(guò)點(diǎn)H作HI垂直于AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)I，證明△DAE △EIH，條件是AAS.又由于AB=AD=IE，所以AE+EB=IB+EB，所以AE=IB.又AE=IH，所以IH=IB，進(jìn)而得證.（說(shuō)明：通過(guò)上述證明過(guò)程同樣可以說(shuō)明BH是正方形ABCD的外角的角平分線）

2.賞析

此題是一道在經(jīng)典試題基礎(chǔ)上進(jìn)行的再次改編，它將初中階段兩個(gè)經(jīng)典的基本圖形融合在一起，綜合考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，是一道難得的好題.

該題中的第一個(gè)基本圖形是“大角夾半角”的基本模型（如圖10），其有三個(gè)本質(zhì)的條件：45°（符合半角），AD=CD，∠A=∠C=90°（符合二者互補(bǔ)即可），顯然此題還可以有更一般的推廣.

該題中的第二個(gè)基本圖形來(lái)自于教材習(xí)題（如圖11），它主要涉及如下三點(diǎn)：ED=EH，ED⊥EH，BH是正方形ABCD外角的角平分線，以上三點(diǎn)如果知道其中任意兩點(diǎn)都可以推出第三點(diǎn)，這應(yīng)該是對(duì)本題較深的理解，只有這樣才能夠做到“以不變應(yīng)萬(wàn)變”.此外，此圖中相關(guān)的結(jié)論如果用“四點(diǎn)共圓（D、E、Q、C四點(diǎn)共圓）”來(lái)說(shuō)明會(huì)更容易.最后，點(diǎn)E除了可以是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），還可以在AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上，同樣會(huì)有類似的結(jié)論.

圖10

圖11

經(jīng)典永流傳.每年的中考試題會(huì)出現(xiàn)一些創(chuàng)新題，但這畢竟是少數(shù)，大多是以改編題為主，特別是基于經(jīng)典問(wèn)題的改編題，如上案例1和案例2，這是我們一線教師備考的一個(gè)方向，相信這是一種不錯(cuò)的方式.

改編現(xiàn)考場(chǎng).變式教學(xué)是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的典型特點(diǎn)，改編的方式較多，特別是對(duì)于幾何的典型問(wèn)題，可以變條件、變圖形、變結(jié)論、可以交換條件和結(jié)論等，只要學(xué)生掌握這些變式的方式，就可以實(shí)現(xiàn)“做一題、會(huì)一類、通一片”的目的，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果.