☉安徽省阜陽(yáng)師范學(xué)院附屬中學(xué) 劉國(guó)超

2018年安徽中考數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)繼續(xù)保持穩(wěn)定，命題樸實(shí)，各種難度的試題比例適當(dāng).整體上試題較為常規(guī)，不少題目讓考生一見(jiàn)如故，平和親切，主要表現(xiàn)在注重基礎(chǔ)，關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)，重視考查學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).整卷試題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力，提升學(xué)生核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課程、教學(xué)改革都有積極的導(dǎo)向作用.

一、試題特點(diǎn)分析

1.重視“四基”，著重考查數(shù)學(xué)核心內(nèi)容

試題重視測(cè)量學(xué)生作為一名合格的初中畢業(yè)生應(yīng)具備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這與《課程標(biāo)準(zhǔn)》《中考考試綱要》的相關(guān)要求保持一致.其中選擇與填空題的第1、2、3、4、5、6、7、8、9、11、12、13題都是單一知識(shí)點(diǎn)或者是在最基礎(chǔ)的知識(shí)交匯點(diǎn)上設(shè)置的，約占選擇與填空題的80%，考查了實(shí)數(shù)的有關(guān)概念、科學(xué)記數(shù)法、同底數(shù)冪的運(yùn)算法則、常見(jiàn)幾何體的三視圖、因式分解、增長(zhǎng)率問(wèn)題、一元二次方程根的判別式、數(shù)據(jù)分析觀念與概率、函數(shù)圖像判斷題、數(shù)式規(guī)律、解一元一次不等式、格點(diǎn)作圖、列方程解應(yīng)用題、三角函數(shù)的應(yīng)用、圓的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，都是近五年反復(fù)考查的，它們約占總量的70%，體現(xiàn)了《課程標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)的“面向全體學(xué)生”的基本理念，考生解答這部分題目沒(méi)有太大的障礙，有利于考生心態(tài)的平穩(wěn)，也有利于考生的正常發(fā)揮.

例1 （2018年安徽中考第3題）下列運(yùn)算正確的是（ ）.

分析：根據(jù)整式的運(yùn)算法則即可找出答案D.本題考查同底數(shù)冪的乘法、除法，冪的乘方與積的乘方：（ab）n=anbn，（am）n=amn等運(yùn)算法則.

例2 （2018年安徽中考第16題）《孫子算經(jīng)》中有過(guò)樣一道題，原文如下：

“今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡.問(wèn)城中家?guī)缀?？?/p>

大意為：今有100頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒(méi)有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完.問(wèn)：城中有多少戶人家？

分析：本題考查一元一次方程的應(yīng)用，要求學(xué)生熟練運(yùn)用方程解決問(wèn)題.根據(jù)鹿的頭數(shù)不變，列出一元一次方程求解即可：設(shè)城中有x戶人家，可列方程為100，解得x=75，所以城中有75戶人家.

數(shù)學(xué)素養(yǎng)考查方式分析：模型思想是從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法建立模型解決問(wèn)題的素養(yǎng).本題是一元一次方程模型的應(yīng)用題，起點(diǎn)較低，入口較寬，考生上手容易，列出的方程也比較豐富，比如：設(shè)城中有x戶人家，列出的方程有x=3（100-x）；x+3（100-x）=2x；設(shè)城中有3x戶人家，列出的方程為3x+x=100；還有考生列出二元一次方程組的，甚至部分考生列出了分式方程進(jìn)行解答.

2.強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法，注重?cái)?shù)學(xué)思維能力

安徽中考?xì)v來(lái)重視數(shù)學(xué)思想與方法的考查，今年也不例外.如考查數(shù)形結(jié)合思想的有第10、13、17題；轉(zhuǎn)化思想則體現(xiàn)在第19、22、23題中；而分類討論思想則在第14題中體現(xiàn).同時(shí)試題突出了對(duì)學(xué)生思維能力的考查.如第20題將尺規(guī)作圖（角的平分線）、勾股定理與圓的知識(shí)有機(jī)結(jié)合，考查學(xué)生的作圖能力和邏輯推理能力.總之，試題彰顯了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)從知識(shí)理解到運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力的提升，注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的考查，體現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念.

例3 （2018年安徽中考第14題）矩形ABCD中，AB=6，BC=8.點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)E在邊BC上，滿足△PBE △DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長(zhǎng)為_(kāi)____.

解析：由于四邊形ABCD是矩形，所以∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，所以BD=10.

因?yàn)椤鱌BE △DBC，所以∠PBE=∠DBC，所以點(diǎn)P在BD上.

如圖1，當(dāng)DP=DA=8時(shí)，BP=2.

因?yàn)椤鱌BE △DBC，所以PE∶CD=PB∶DB=2∶10，所以PE∶6=2∶10，即PE=1.2.

如圖2，當(dāng)AP=DP時(shí)，P為BD的中點(diǎn).

因?yàn)椤鱌BE △DBC，所以PE∶CD=PB∶DB=1∶2，即PE∶6=1∶2，所以PE=3.

綜上所述，PE的長(zhǎng)為1.2或3.

圖1

圖2

評(píng)析：這道填空題沒(méi)有提供圖形，卻滲透了分類討論思想，問(wèn)題的設(shè)計(jì)具有一定的探索性，增加了該題的難度和區(qū)分度，使它成為填空題的一個(gè)亮點(diǎn).從考生的答題情況看，有很多考生只填出來(lái)一個(gè)答案；也有部分考生填寫了三個(gè)、四個(gè)答案；只有很少的考生填對(duì)了兩個(gè)答案！因此該題是填空題中得分率最低的，這說(shuō)明學(xué)生的畫圖能力和分類處理問(wèn)題的能力都有待加強(qiáng).建議在題目中注明相似三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，以避免耽擱考生的思考時(shí)間.

例4 （2018年安徽中考第20題）如圖3，⊙O為銳角△ABC的外接圓，半徑為5.

（1）用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線，并標(biāo)出它與劣弧BC的交點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）若（1）中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3，求弦CE的長(zhǎng).

圖3

分析：（1）以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別與AB、AC有交點(diǎn)，再分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)距離的一半為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A與這點(diǎn)作射線，與圓交于點(diǎn)E，據(jù)此作圖即可.

（2）連接OE交BC于點(diǎn)F，連接OC、CE.由AE平分∠BAC，可推導(dǎo)得出OE⊥BC，然后在Rt△OFC中，由勾股定理可求得FC的長(zhǎng)，在Rt△EFC中，由勾股定理即可求得CE的長(zhǎng).

數(shù)學(xué)素養(yǎng)考查方式分析：本題考查了尺規(guī)作圖——作角平分線、垂徑定理等，熟練掌握角平分線的作圖方法、推導(dǎo)得出OE⊥BC是解題的關(guān)鍵.從閱卷的結(jié)果看，角平分線的尺規(guī)作圖失分嚴(yán)重.作圖能力是發(fā)展幾何直觀這一素養(yǎng)的主要途徑.試題將作圖能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算相互融合，多角度考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例5 （2018年安徽中考第23題）如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F.

（1）求證：CM=EM；

（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大??；

（3）如圖5，若△DAE △CEM，點(diǎn)N為CM的中點(diǎn)，求證：AN∥EM.

圖4

圖5

分析：（1）在Rt△DCB和Rt△DEB中，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半進(jìn)行證明即可得.

（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠ABC=40°，根據(jù)CM=MB，可得∠MCB=∠CBM，從而可得∠CMD=2∠CBM，繼而可得∠CME=2∠CBA=80°，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可求得∠EMF的度數(shù).

（3）由△DAE △CEM，CM=EM，∠DEA=90°，結(jié)合CM=DM以及已知條件可得△DEM是等邊三角形，從而可得∠EDM=60°，∠MBE=30°，繼而可得∠ACM=75°. 連接AM，結(jié)合AE=EM=MB，可推導(dǎo)得出AC=AM，根據(jù)N為CM的中點(diǎn)，可得AN⊥CM，再根據(jù)CM⊥EM，即可得出AN∥EM.

數(shù)學(xué)素養(yǎng)考查方式分析：本題作為全卷的壓軸題，要求學(xué)生結(jié)合題目條件，綜合三角形全等、相似的知識(shí)進(jìn)行邏輯推理與計(jì)算，有效承載了其應(yīng)有的選拔和區(qū)分功能.

這也是一個(gè)梯度合理、層次發(fā)明的題目，第（1）和（2）問(wèn)考生比較熟悉，絕大部分考生都能正確尋找條件完成解答；其中第（3）問(wèn)的證法多樣，不同思維層次的學(xué)生添加不同的輔助線，構(gòu)造出豐富的全等或相似圖形，公平、合理地考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力與數(shù)學(xué)推理能力.充分展示了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)！

3.適度創(chuàng)新，監(jiān)測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

試卷的第14題以矩形ABCD為背景，考查了對(duì)等腰三角形進(jìn)行的分類討論思想；第16題，選自《孫子算經(jīng)》中的一元一次方程應(yīng)用問(wèn)題，使考生感受到中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深和源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，激勵(lì)他們創(chuàng)造出更加輝煌的成就；第18題的數(shù)學(xué)抽象和推理、第19題的數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模；第20題意在考查學(xué)生的尺規(guī)作圖能力和邏輯推理能力，都具有較好的區(qū)分度，都對(duì)學(xué)生的核心素養(yǎng)進(jìn)行了很好的考查，體現(xiàn)了“大穩(wěn)定、小創(chuàng)新”的命題理念.

例6 （2018年安徽中考第18題）觀察以下等式：

……

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

（1）寫出第6個(gè)等式：___________________；

（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：__________（用含n的等式表示），并證明.

數(shù)學(xué)素養(yǎng)考查方式分析：本題考查了等式變化的規(guī)律，通過(guò)觀察、歸納、抽象出等式的規(guī)律與序號(hào)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；同時(shí)考查了學(xué)生的抽象概括能力和推理能力，反映合情推理與演繹推理的關(guān)系，試題將邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有機(jī)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查.

4.關(guān)注應(yīng)用，注意理論聯(lián)系實(shí)際

試卷重視數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，背景來(lái)自于學(xué)生所能理解的生活現(xiàn)實(shí)與社會(huì)現(xiàn)實(shí)，如第19題以測(cè)量旗桿高度、第22題以大學(xué)生家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)為命題背景，將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，考查考生的閱讀理解能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值與人文特色，其中知識(shí)難度并不復(fù)雜，主要在計(jì)算能力上的要求較高，也對(duì)考生的閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理計(jì)算能力和數(shù)學(xué)思維進(jìn)行了全方面的考查.

例7 （2018年安徽中考第19題）為了測(cè)量豎直旗桿AB的高度，某綜合實(shí)踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿CD，并在地面上水平放置個(gè)平面鏡E，使得B、E、D在同一水平線上，如圖6所示.該小組在標(biāo)桿的F處通過(guò)平面鏡E恰好觀測(cè)到旗桿頂A（此時(shí)∠AEB=∠FED）.在F處測(cè)得旗桿頂A的仰角為39.3°，平面鏡E的俯角為45°，F(xiàn)D=1.8米，問(wèn)：旗桿AB的高度約為多少米？

（結(jié)果保留整數(shù)）

（參考數(shù)據(jù)：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）

解析：如圖6，因?yàn)椤螦EB=∠FED=45°，所以∠FEA=90°.

答：旗桿AB的高度約為18米

數(shù)學(xué)素養(yǎng)考查方式分析：本題以現(xiàn)實(shí)生活中“測(cè)量旗桿高度”為背景設(shè)置問(wèn)題，考查解直角三角形的基本方法、特殊三角函數(shù)值及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，把幾何直觀、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有機(jī)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查，突出了應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).雖然解題方法多樣，但是要求考生經(jīng)歷實(shí)際問(wèn)題→數(shù)學(xué)模型→應(yīng)用模型→解決問(wèn)題的過(guò)程，能讓不同層次的學(xué)生展示自己對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解，同時(shí)要求考生能清楚地表達(dá)自己的思考過(guò)程和結(jié)果，具有良好的區(qū)分度，彰顯了《課程標(biāo)準(zhǔn)》增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的理念.

圖6

二、學(xué)生答題錯(cuò)誤原因分析

1.基礎(chǔ)知識(shí)掌握不扎實(shí)

從試卷中的基礎(chǔ)題的答題情況看，部分學(xué)生對(duì)基本概念和基本原理掌握不牢，存在知識(shí)盲點(diǎn).表現(xiàn)在對(duì)同底數(shù)冪的運(yùn)算、科學(xué)記數(shù)法、因式分解的意義、立方根的定義、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等知識(shí)理解模糊，特殊角的三角函數(shù)值混淆，沒(méi)有掌握平行四邊形的判定方法等.另外，從第17題可以看出學(xué)生的位似作圖能力弱；第20題要求考生用尺規(guī)完成基本作圖——作角的平分線，得分率低于40%！

2.運(yùn)算能力不過(guò)關(guān)，計(jì)算過(guò)程出錯(cuò)

例如，第15題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題，但得分率僅為65%，失分的因素主要有：將5°錯(cuò)誤寫成等于0或5；把錯(cuò)誤寫成4；以及計(jì)算錯(cuò)誤，如產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是不理解零指數(shù)冪的意義、算數(shù)平方根的意義等.

又如，第22題第（2）小題求二次函數(shù)的最大值的過(guò)程中，部分考生出現(xiàn)160×50=800、160×50=9000、19×50=1350等錯(cuò)誤；有的對(duì)二次函數(shù)解析式進(jìn)行配方變形出現(xiàn)錯(cuò)誤；還有的考生在配方變形中出現(xiàn)了較大的分?jǐn)?shù)，就懷疑錯(cuò)誤而終止了繼續(xù)解答；這一小題平均得分僅為1.03分（本小題滿分6分），反映了很多考生不具備較扎實(shí)的基本功和運(yùn)算能力.

3.推理論證不縝密

考查思維和推理能力是中考數(shù)學(xué)試卷的主要功能之一，通過(guò)閱卷反映出學(xué)生在這兩方面的能力欠缺，表現(xiàn)出不能從已知條件出發(fā)，判斷結(jié)論的真?zhèn)?、不能?duì)題目中的信息進(jìn)行整合、轉(zhuǎn)化、不能從復(fù)雜的圖形中分離出基本圖形、幾何證明思路混亂等.例如，第23題的證明就是如此，考生普遍感覺(jué)有些難度（本題滿分14分，第一問(wèn)第（1）小題4分，實(shí)際平均得分1.21分；第（2）小題5分，平均得分0.94分；第（3）小題5分，平均得分0.23分），在整個(gè)試題中本題得分最低！

三、教學(xué)啟示

1.夯實(shí)基礎(chǔ)是根本所在

中考試題體現(xiàn)了《課程標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)的“對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，還要注重考查學(xué)生對(duì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，考查學(xué)生能否在具體情境中合理應(yīng)用，這為我們的教學(xué)指明了方向.中考試卷中的很多問(wèn)題來(lái)源于教材，教材的編寫突出基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

比如，教材中的幾何內(nèi)容，在教學(xué)中要重視學(xué)生對(duì)概念、公理、定理的理解與運(yùn)用，中考幾何題多以基礎(chǔ)題為主，試題源于教材又異于教材，綜合題的原型基本是教材中的例題或習(xí)題，是教材中題目的引申、變形和組合.注重基礎(chǔ)和突出思維能力仍是教學(xué)的著力點(diǎn).

因此，在教學(xué)中應(yīng)立足于教材，合理定位、準(zhǔn)確把握教學(xué)方向，要注重觀察歸納能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)，不以解決問(wèn)題作為教學(xué)的終結(jié)點(diǎn)，而應(yīng)將數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累貫穿在全過(guò)程中，讓學(xué)生在學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)、掌握基本技能的同時(shí)強(qiáng)化思維能力培養(yǎng)，并通過(guò)不斷的積累運(yùn)用，內(nèi)化為自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，切實(shí)夯實(shí)基礎(chǔ).

2.落實(shí)素養(yǎng)為應(yīng)然旨?xì)w

在平常的課堂教學(xué)中，讓學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必然途徑.在復(fù)習(xí)教學(xué)中，發(fā)揮評(píng)價(jià)的激勵(lì)功能.一方面通過(guò)變式訓(xùn)練，讓學(xué)生理清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，找到易混的知識(shí)點(diǎn)，并加以區(qū)別、辨析，有助于學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)、提高復(fù)習(xí)效率，同時(shí)進(jìn)一步總結(jié)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要知識(shí)的表現(xiàn)形式、總結(jié)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和問(wèn)題解決型的題目的規(guī)律，提升復(fù)習(xí)效果；另一方面，在教學(xué)過(guò)程中，要給學(xué)生反思自己思維過(guò)程的時(shí)間和機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生重視反思解決問(wèn)題用到的數(shù)學(xué)思想方法和技能，在解決問(wèn)題的過(guò)程中走過(guò)哪些彎路、犯過(guò)什么錯(cuò)誤，這有助于學(xué)生克服再錯(cuò)現(xiàn)象，積累經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，提高思維能力，在面對(duì)考試的時(shí)候，就可以找出合理的解答路徑，從容應(yīng)對(duì).讓平常的課堂教學(xué)與中考復(fù)習(xí)教學(xué)一以貫之，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到真正落實(shí)！

3.在學(xué)生解題表達(dá)的邏輯上反思教學(xué)要嚴(yán)謹(jǐn)思維習(xí)慣，注重有條理地表達(dá)

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)交流的工具.閱卷時(shí)我們發(fā)現(xiàn)部分考生因看不懂題干而無(wú)法做題；有部分考生因解題不規(guī)范，證明時(shí)語(yǔ)言不準(zhǔn)確、思維混亂而失分的現(xiàn)象普遍存在；也有部分考生認(rèn)為作答題目時(shí)需要怎樣的條件和結(jié)論，就想當(dāng)然地寫出這個(gè)條件和結(jié)論，憑自己對(duì)幾何圖形的觀察直接寫出需要的結(jié)論，全然不考慮它的依據(jù).因此，在教學(xué)中，我們不僅要重視培養(yǎng)數(shù)學(xué)推理必須步步有據(jù)，解題表達(dá)要合乎邏輯，還要重視細(xì)節(jié)教學(xué)（如書寫格式的規(guī)范化、證明依據(jù)的規(guī)范使用等），加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的訓(xùn)練，讓學(xué)生能夠自覺(jué)地將文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)換，養(yǎng)成合乎邏輯、有條理地表達(dá)的素養(yǎng).

總之，今年中考試卷持續(xù)體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重視，既考查了數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，又對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)產(chǎn)生積極的導(dǎo)向作用.因此，在教學(xué)中要注重?cái)?shù)學(xué)“四基”，提高學(xué)生的思維水平，提升應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)，加強(qiáng)教學(xué)思想方法的滲透及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，夯實(shí)基礎(chǔ)是根本所在，落實(shí)素養(yǎng)為應(yīng)然旨?xì)w.