☉湖北省武漢科學(xué)技術(shù)館 張忠斌

三角形的穩(wěn)定性的來(lái)源可以追溯到靜定結(jié)構(gòu)學(xué)，其中有剛架、桁架、拱等結(jié)構(gòu)，存在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性的論述；而在后來(lái)諸多結(jié)構(gòu)力學(xué)中，所使用的術(shù)語(yǔ)是幾何不變體系和幾何可變體系.

本文結(jié)合靜定結(jié)構(gòu)學(xué)、早期幾何、結(jié)構(gòu)力學(xué)等相關(guān)內(nèi)容，進(jìn)行對(duì)比分析.或可讓我們更深刻地了解有關(guān)三角形的穩(wěn)定性的來(lái)源，以及早期表達(dá)，并審視其作為幾何知識(shí)所存在的問(wèn)題.

一、靜定結(jié)構(gòu)學(xué)中的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性

錢今希編1952年版《靜定結(jié)構(gòu)學(xué)》［1］有剛架、桁架等內(nèi)容，摘錄如下：

剛架——這類結(jié)構(gòu)的組成桿件是相互剛接的，即各桿件在接端是不可能有任何相對(duì)移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的意思.圖1所示的連續(xù)梁和房架即是代表這類型的.

桁架——這類結(jié)構(gòu)的桿件是相互鉸接的，即各桿件的接端不能有相對(duì)的移動(dòng)，但是在受荷重后結(jié)構(gòu)發(fā)生形變時(shí)，桿件間的角度可以自由變動(dòng).圖2表示幾種常見(jiàn)的靜定桁架.

圖1

圖2

穩(wěn)定和不穩(wěn)定——自由度每一個(gè)結(jié)構(gòu)，在外力的作用之下，都會(huì)發(fā)生形變，這是因?yàn)樗母鞑織U件，在受力中發(fā)生了壓縮、拉長(zhǎng)或彎曲等應(yīng)變的緣故.但是這些應(yīng)變比起桿件原來(lái)的尺寸來(lái)是很微小的，所以結(jié)構(gòu)的形變很小，不足以影響它的穩(wěn)定.這種僅在桿件發(fā)生應(yīng)變后才引起形變的結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的.

另外有些結(jié)構(gòu)，在極微小的外力作用下，它就會(huì)發(fā)生很大的形變.形變的來(lái)源，不是因?yàn)楦鞑織U件發(fā)生了應(yīng)力和應(yīng)變，而是結(jié)構(gòu)本身組織的不健全的緣故，這就是不穩(wěn)定結(jié)構(gòu).

圖3

圖4

圖3（a）的結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)定的.經(jīng)過(guò)增加一根斜桿，如圖3（b），便變成穩(wěn)定的了.

又如三個(gè)構(gòu)件用三個(gè)鉸相互聯(lián)結(jié)（如圖4），總的自由度該是3×3-3×2=3.這和一個(gè)單構(gòu)件的自由度相同，這說(shuō)明鉸接三角形本身是穩(wěn)定的，這就是以后將敘述的桁架組織的基本原理.

該《靜定結(jié)構(gòu)學(xué)》介紹分析了剛架、桁架、穩(wěn)定和不穩(wěn)定等概念，并論述了桁架組織的基本原理“鉸接三角形本身是穩(wěn)定的”.但這個(gè)原理并不涉及剛架.從圖1中可以看出局部為U型的房架是剛架，具有穩(wěn)定性.U型剛架都具有穩(wěn)定性，那么剛接四邊形更具有穩(wěn)定性.

二、三角形的穩(wěn)定性的早期表達(dá)

對(duì)于三角形的穩(wěn)定性，1960年的名稱是三角形的堅(jiān)固性（穩(wěn)定性）、三角形具有固定性（即三角形的剛性），1972年的名稱是三角形的穩(wěn)定性.

1.彭樂(lè)元編著1960年版《平面幾何與生產(chǎn)實(shí)踐》［2］

當(dāng)兩三角形三邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，這兩個(gè)三角形就全等.根據(jù)這個(gè)定理可以知道，當(dāng)三角形的三邊已知時(shí)，它的形狀就被固定了.三角形的這種堅(jiān)固性（穩(wěn)定性）可以應(yīng)用到起重機(jī)的移動(dòng)臂（如圖5）、橋梁及房屋架頂（如圖6）上去……木柵欄門上所釘?shù)囊桓蹦緱l也是利用了三角形的堅(jiān)固性.

2.陜西省紡織工業(yè)局編1960年版《幾何與三角教學(xué)參考資料》［3］

三角形具有固定性（即三角形的剛性），它在實(shí)際生活和生產(chǎn)中的應(yīng)用是非常廣泛的.例如：建筑上“人”字形的屋梁和橋梁結(jié)構(gòu)等，都是應(yīng)用了三角形的固定性，關(guān)于這部分，最好用三角形和四邊形的架子，一面講一面做實(shí)驗(yàn).

3.成都電訊工程學(xué)院編1972年版《幾何》［4］

當(dāng)你們坐的椅子或凳子搖晃了，如果釘上一根木條，使椅腿和座板構(gòu)成一個(gè)三角形（如圖7），椅子就牢固了.你想過(guò)這里面的道理嗎？這是因?yàn)橹灰切蔚娜龡l邊的長(zhǎng)度固定了，這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定了.這就是三角形所具有的穩(wěn)定性.三角形的穩(wěn)定性在工程技術(shù)和日常生活中應(yīng)用很廣，例如人字梯，只要用鐵鉤把梯子的兩邊連在一起，構(gòu)成一個(gè)三角形，梯子就穩(wěn)定不動(dòng).橋梁、屋架、吊架等多采用三角形結(jié)構(gòu)，都是利用它的穩(wěn)定性.容易看出，四邊形就不具備穩(wěn)定性，當(dāng)四邊形的四條邊長(zhǎng)固定時(shí)，四邊形可以有各種不同的形狀.

圖5

圖6

圖7

三、三角形的穩(wěn)定性與結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的對(duì)比

上述這幾本書都屬于理工類的課本或教學(xué)參考，而書中“三角形所具有的穩(wěn)定性”觀點(diǎn)來(lái)源于《靜定結(jié)構(gòu)學(xué)》桁架組織的基本原理“鉸接三角形本身是穩(wěn)定的”；但前者存在兩個(gè)比較突出的問(wèn)題：

（1）《平面幾何與生產(chǎn)實(shí)踐》中有“三角形”，《幾何與三角教學(xué)參考資料》中有“三角形和四邊形的架子”，《幾何》中有“四邊形就不具備穩(wěn)定性”.簡(jiǎn)單地用“三角形、四邊形”替代“鉸接三角形、鉸接四邊形”是否合理？

桁架組織的基本原理“鉸接三角形本身是穩(wěn)定的”，并不適用于鋼架.除了“鉸接”多邊形之外，還應(yīng)該有“剛接”多邊形，那么剛接四邊形具不具備穩(wěn)定性呢？上述問(wèn)題在幾何中都沒(méi)有討論.

“三角形所具有的穩(wěn)定性”、“四邊形就不具備穩(wěn)定性”分別等同于“鉸接三角形本身是穩(wěn)定的”、“圖3（a）的結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)定的”嗎？顯然，靜定結(jié)構(gòu)學(xué)只能得出它自己的結(jié)論.

（2）《平面幾何與生產(chǎn)實(shí)踐》中有“當(dāng)兩三角形三邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，這兩個(gè)三角形就全等”，這就是三角形全等判定邊邊邊公理；“根據(jù)這個(gè)定理可以知道，當(dāng)三角形的三邊已知時(shí)，它的形狀就被固定了”，即是說(shuō)“三角形的這種堅(jiān)固性（穩(wěn)定性）”的依據(jù)是邊邊邊公理，但這與下文結(jié)構(gòu)力學(xué)的“三角形規(guī)則”不相符.

作為幾何的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，三角形的穩(wěn)定性既沒(méi)有設(shè)置鉸接、剛接、鉸接三角形和鉸接四邊形等概念，也沒(méi)有作出其幾何圖形，因而出現(xiàn)概念混淆、邏輯混亂等問(wèn)題，讓人很難理解甚至被誤導(dǎo).遺憾地說(shuō)，三角形的穩(wěn)定性并沒(méi)有建立良好的開(kāi)端.

四、結(jié)構(gòu)力學(xué)中的幾何不變體系

劉金春主編2008年版《結(jié)構(gòu)力學(xué)》［5］有幾何不變體系、幾何可變體系內(nèi)容，摘錄如下：

由梁和柱等直桿全部或部分采用剛性連接組合而成的結(jié)構(gòu)，稱為剛架（或框架）.剛架的形式很多，有單跨單層的，見(jiàn)圖8.

圖8

圖9

僅在兩端與鉸結(jié)點(diǎn)相連的直桿，稱為鏈桿.全部由鏈桿和鉸結(jié)點(diǎn)組成的結(jié)構(gòu)，稱為桁架.當(dāng)其支座性質(zhì)與梁的支座相同時(shí)，稱為梁式桁架，見(jiàn)圖9.

圖10（a）所示的是由兩根桿件與地基組成的鉸接三角形，當(dāng)其受到任意荷載作用時(shí)，若不考慮材料的變形，則其幾何形狀與位置均能保持不變，稱這樣的體系為幾何不變體系.而圖10（b）所示鉸接四邊形，即使不考慮材料的變形，在很小的荷載作用下，也會(huì)發(fā)生機(jī)械運(yùn)動(dòng)而不能保持原有的幾何形狀和位置，這樣的體系稱為幾何可變體系.一般工程結(jié)構(gòu)都必須是幾何不變體系，而不能采用幾何可變體系，否則將不能承受任意荷載而維持平衡.

圖10

圖11

圖11所示的三個(gè)剛片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由B、A、C三個(gè)單鉸兩兩相聯(lián).假定剛片Ⅰ不動(dòng)，我們來(lái)研究各剛片之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的可能性.由于剛片Ⅱ與剛片Ⅰ用鉸B相聯(lián)，故剛片Ⅱ只能繞鉸B轉(zhuǎn)動(dòng)，其上A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以B為圓心，以AB為半徑的圓??；而剛片Ⅲ與剛片Ⅰ用鉸C相聯(lián)，剛片Ⅲ只能繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，其上A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，以AC為半徑的圓弧.而實(shí)際上剛片Ⅱ、Ⅲ是用鉸A相聯(lián)結(jié)的，A點(diǎn)既是剛片Ⅱ上的點(diǎn)，也是剛片Ⅲ上的點(diǎn)，它不可能同時(shí)沿兩個(gè)方向不同的圓弧運(yùn)動(dòng)，只能在兩個(gè)圓弧的交點(diǎn)處固定不動(dòng).于是各剛片間不可能發(fā)生任何相對(duì)運(yùn)動(dòng)，故該體系是幾何不變的，且無(wú)多余聯(lián)系.

……

平面幾何不變無(wú)多余約束體系的組成規(guī)則有三個(gè)：

①三剛片規(guī)則：三剛片用不在一直線上的三個(gè)鉸兩兩相聯(lián).

②二剛片規(guī)則：兩剛片用一個(gè)鉸和一根不通過(guò)此鉸的鏈桿或三個(gè)既不全平行也不交于一點(diǎn)的三根鏈桿相聯(lián)結(jié).

③二元體規(guī)則：在一個(gè)體系上增加一個(gè)二元體或拆除一個(gè)二元體，不改其幾何不變性.

三個(gè)規(guī)則的實(shí)質(zhì)是三角形規(guī)則，即三角形的三個(gè)邊長(zhǎng)一定，其幾何圖形是唯一確定的.

……

剛架和桁架都是由直桿組成的結(jié)構(gòu)，兩者的區(qū)別是：桁架中的結(jié)點(diǎn)全部都是鉸結(jié)點(diǎn)，剛架中的結(jié)點(diǎn)全部或部分是剛結(jié)點(diǎn).圖12（a）是一個(gè)幾何可變的鉸結(jié)體系，為了使它成為幾何不變體系，一種辦法是增設(shè)斜桿，使它成為桁架結(jié)構(gòu)（圖12（b）），另一種辦法是把原來(lái)的鉸結(jié)點(diǎn)B和C改為剛結(jié)點(diǎn)，使它成為剛架結(jié)構(gòu)（圖12（c））.由此看出，剛架中由于具有剛結(jié)點(diǎn)，因而不用斜桿也可組成幾何不變體系，使結(jié)構(gòu)內(nèi)部具有較大的空間，便于使用.

圖12

與鉸結(jié)點(diǎn)相比，剛結(jié)點(diǎn)具有不同的特點(diǎn).從變形角度來(lái)看，在剛結(jié)點(diǎn)處各桿不能發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，因而各桿間的夾角始終保持不變，如圖12（c）中虛線所示.

對(duì)該《結(jié)構(gòu)力學(xué)》的上述內(nèi)容進(jìn)行分析：

（1）從幾何的角度看，該書的一大亮點(diǎn)是論述了“三角形規(guī)則”，即“三角形的三個(gè)邊長(zhǎng)一定，其幾何圖形是唯一確定的”.這是三角形的確定性命題［6］. 顯然，結(jié)構(gòu)力學(xué)中的幾何不變體系的三角形規(guī)則一直在尋求幾何依據(jù).

（2）圖11是三剛片規(guī)則的論證過(guò)程，其描述與幾何作圖題“給定三邊作三角形，所作的三角形是唯一的”如出一轍.

（3）圖8單跨單層剛架看起來(lái)像U型結(jié)構(gòu)，是幾何不變體系.

（4）若連接圖12中的A、D兩點(diǎn)，則圖12（c）可看作將圖12（a）的鉸結(jié)四邊形桁架改造成剛結(jié)四邊形剛架；那么圖12（c）是剛結(jié)四邊形，是幾何不變體系.

（5）“剛架和桁架都是由直桿組成的結(jié)構(gòu)……剛架中的結(jié)點(diǎn)全部或部分是剛結(jié)點(diǎn)”，在理論上預(yù)示了剛結(jié)四邊形的存在.設(shè)若四邊形的四個(gè)結(jié)點(diǎn)都是剛結(jié)點(diǎn)，那么這個(gè)剛結(jié)四邊形是幾何不變體系.

五、結(jié)束語(yǔ)

幾何作圖可以看作數(shù)學(xué)上的理想實(shí)驗(yàn).有這樣一類幾何作圖題，即僅給定合適的邊長(zhǎng)而不給定角度作多邊形，所作的三角形只有唯一一個(gè)，而四邊形、五邊形等則不是唯一一個(gè).因而有三角形的確定性的一個(gè)結(jié)論：給定三邊，則三角形唯一確定.這就是結(jié)構(gòu)力學(xué)中的三角形規(guī)則.另外還有四邊形的一個(gè)不確定性結(jié)論：給定四邊，四邊形不能唯一確定.

筆者不久前提出鏈?zhǔn)蕉噙呅危?］，并幾何作圖鏈?zhǔn)饺切魏玩準(zhǔn)剿倪呅?只是對(duì)應(yīng)于幾何不變體系，三角形的穩(wěn)定性應(yīng)該更名為鏈?zhǔn)饺切蔚牟蛔冃曰蜚q結(jié)三角形的不變性.