☉浙江省海鹽濱海中學(xué) 姜黃飛

筆者有幸承擔(dān)了2018年嘉興市七年級(jí)上學(xué)期期末統(tǒng)考卷的命制工作，現(xiàn)將其中第26題（壓軸題）的命制過(guò)程及思考與各位同仁分享.

一、命題立意

作為七年級(jí)上學(xué)期期末統(tǒng)考的壓軸題，以關(guān)注初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)和數(shù)學(xué)思想為前提，關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，要有一定的區(qū)分度，能夠反映出在思維上的較高要求；又想改變2016、2017年連續(xù)兩年對(duì)線段上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的考查，改變一下壓軸題的試題背景，呈現(xiàn)一定的新意.綜合整份試卷的知識(shí)點(diǎn)的分布和思想方法的考查，制定雙向細(xì)目表，確定壓軸題以學(xué)生熟悉的一副三角板為素材，著重考查學(xué)生動(dòng)手操作的實(shí)踐能力與數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)，在問(wèn)題解決的過(guò)程中突出考查角的和差、角平分線、一元一次方程等七年級(jí)核心知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，同時(shí)關(guān)注分類討論、方程思想等的考查.

二、命題過(guò)程

筆者將一副三角板如圖1所示放置，使得OA與OC在同一直線上，先固定三角板COD，將三角板AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，OA、OB、OC、OD其中的一條邊所在直線均存在平分另兩邊組成角的情況，可以選取其中的一條用作命題的素材，既可以考查學(xué)生的動(dòng)手操作，又可以考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠AOD、∠BOC等角度大小隨著旋轉(zhuǎn)在發(fā)生變化，可以研究它們?cè)谧兓^(guò)程中存在的較特殊的關(guān)系，同時(shí)存在分類思想，這也可以用作命題的思考點(diǎn)，基于以上的思考形成一稿.

一稿：26.（8分）如圖1，一副三角板中各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線EF的點(diǎn)O處重合，三角板AOB的邊OA和三角板COD的邊OC與直線EF重合，∠AOB=45°，∠COD=60°.

（1）則圖1中∠BOD的度數(shù)是多少？

（2）如圖2，三角板COD固定不動(dòng)，若將三角板AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中當(dāng)OB平分OA、OC、OD其中的兩邊組成的角時(shí)（兩塊三角板都在直線EF的上方），求可能出現(xiàn)的所有情況的α的值；

（3）若將三角板AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫出OA所在直線恰好平分∠COD時(shí)∠AOE的值：_____.

圖1

圖2

診斷分析：第（1）問(wèn)求∠BOD的度數(shù)，考查平角等于180°，也可以考查余角（過(guò)O作EF的垂線分割成兩個(gè)直角），進(jìn)行角的和差計(jì)算.第（2）問(wèn)學(xué)生可以通過(guò)操作按照順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的順序依次發(fā)現(xiàn)，OB平分∠AOD，平分∠AOC，平分∠DOC時(shí)α的值.當(dāng)OB平分∠AOD時(shí)，只需∠BOD=∠AOB，所以由第一問(wèn)75°-α=45°，求得α=30°；當(dāng)OB平分∠AOC時(shí)，只需∠BOC=∠AOB，即75°＋60°-α=45°，所以可得α=90°；當(dāng)OB平分∠DOC時(shí)，α=75°＋30°=105°.第（3）問(wèn)OA所在直線恰好平分∠COD時(shí)∠AOE的值恰好為互補(bǔ)的兩個(gè)角，即從直線EF的上方轉(zhuǎn)到了下方，進(jìn)行完整的一周的旋轉(zhuǎn).但考慮到第（2）問(wèn)學(xué)生也可以直接通過(guò)角度的加減得到答案，沒有較好地考查一元一次方程知識(shí)的運(yùn)用，且第（3）問(wèn)還是考查角平分，沒有多大必要，需要改進(jìn)，所以有了二稿.

二稿：題干和第（1）（2）問(wèn)保持不變只改變第（3）問(wèn).

（3）在（2）的條件下，是否存在∠BOC=2∠AOD？若存在求出此時(shí)α的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

診斷分析：本小題抓住了在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠BOC和∠AOD的大小在發(fā)生變化，從而研究它們?cè)谧兓^(guò)程中存在的兩倍關(guān)系，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中還需要學(xué)生關(guān)注到一開始兩角都在減小，但∠AOD轉(zhuǎn)到AO與OD重合后又開始變大，所以要以O(shè)D為界即α在120°前后分段討論.有較好的區(qū)分度，又考查了核心知識(shí)一元一次方程的應(yīng)用，題目的層次感和區(qū)分度都較為理想.但在審稿時(shí)各縣市的教研員提到一點(diǎn)，（2）（3）兩小問(wèn)都需要分類討論，難度偏大，也考慮到2018年2月考試后就要過(guò)農(nóng)歷的新年，同時(shí)七年級(jí)的孩子應(yīng)該多一些鼓勵(lì)給孩子信心，快快樂樂過(guò)新年，建議降低難度.基于對(duì)孩子的人文關(guān)懷，筆者忍痛割愛有了第3稿，同時(shí)改進(jìn)了一些語(yǔ)言上的表述，讓試題更簡(jiǎn)潔、更嚴(yán)謹(jǐn).

定稿：26.（8分）已知一副三角板按如圖1方式拼接在一起，其中邊OA、OC與直線EF重合，∠AOB=45°，∠COD=60°.

（1）求圖1中∠BOD的度數(shù).

（2）如圖2，三角板COD固定不動(dòng)，將三角板AOB繞著點(diǎn)O按順時(shí)針旋方向轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中當(dāng)兩塊三角板都在直線EF的上方時(shí)：

①若∠BOC為90°，求旋轉(zhuǎn)角度α的值.

②是否存在∠BOC=2∠AOD？若存在，求此時(shí)的α的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

診斷分析：最后的定稿將第2稿的第（2）問(wèn)角平分時(shí)的分類討論刪除，換成∠BOC為90°時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角度α的值，難度降低了不少，但整個(gè)試題圍繞旋轉(zhuǎn)角度α展開，環(huán)環(huán)相扣，試題有較好的層次感，第（2）問(wèn)的第②小問(wèn)若要解答完整還是有一定難度的，試題有一定的區(qū)分度，能較好地考查核心知識(shí)，考查學(xué)生的分類意識(shí)、方程思想等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

三、試題解答及分值

解：（1）∠BOD=75°.（2分）

（2）①當(dāng)∠BOC=90°時(shí)，α=45°.（2分）②ⅰ當(dāng)0≤α≤120°時(shí)，∠AOD=120°-α，∠BOC=135°-α.

當(dāng)∠BOC=2∠AOD時(shí)，135°-α=2（120°-α），所以α=105°，成立.（2分）

ⅱ當(dāng)120°＜α＜135°時(shí)，∠AOD=α-120°，∠BOC=135°-α.

當(dāng)∠BOC=2∠AOD時(shí)，135°-α=2（α-120°），所以α=125°，成立.（2分）

所以當(dāng)α=105°，α=125°時(shí)存在∠BOC=2∠AOD.

四、命題思考

1.考查核心知識(shí)，聚焦核心素養(yǎng)

本題命制選取學(xué)生最熟悉的三角板為題材，以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》為指導(dǎo)，要求學(xué)生能探索圖形變換的性質(zhì)，感悟圖形研究中運(yùn)動(dòng)變換的思想，以動(dòng)態(tài)和相互聯(lián)系的觀點(diǎn)理解圖形的性質(zhì)和相互關(guān)系，發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的變與不變，研究變化中的數(shù)量關(guān)系.本題作為整份試卷的壓軸題，重點(diǎn)考查了七年級(jí)在幾何和代數(shù)上的兩大核心知識(shí)，角的相關(guān)知識(shí)和一元一次方程的應(yīng)用.本題可以通過(guò)操作去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，從兩塊三角板的擺放、旋轉(zhuǎn)通過(guò)數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，可以直觀感受圖形的變化，聚焦直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模，又通過(guò)等量關(guān)系列出一元一次方程，通過(guò)方程求解，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，可以說(shuō)本道壓軸題既考查七年級(jí)上冊(cè)的核心知識(shí)，又充分聚焦了初中數(shù)學(xué)的幾大核心素養(yǎng).

2.突出數(shù)學(xué)思想，兼顧人文關(guān)懷

從試題的設(shè)計(jì)初衷到最后的敲定終稿，除了關(guān)注核心知識(shí)的考查，還尤為關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的考查，從初稿的角平分線的分類討論，到定稿角二倍關(guān)系研究中的分類討論，由“形”：圖形的運(yùn)動(dòng)中的分界位置（本題中AO與DO重合時(shí)）前后變化，對(duì)應(yīng)“數(shù)”（∠AOD由120°減小到0°，再變大的過(guò)程），都突出了數(shù)學(xué)思想方法的考查.另外定稿的降低難度，以及答案分值的設(shè)定，都充分體現(xiàn)對(duì)不同階段學(xué)生的人文關(guān)懷，七、八、九三個(gè)年級(jí)可以逐步提高一點(diǎn)難度，這使得這份試卷既有深度又有溫度，命制一份試卷真的要從多方面思考，不容易.

對(duì)于最后一題的解答，能解答完整的學(xué)生也不太多，30名學(xué)生的一個(gè)考場(chǎng)平均比例不到15%.統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示嘉興市海鹽縣整卷的平均分為77分，前15%學(xué)生的分?jǐn)?shù)線在92分，較好地達(dá)成了預(yù)定目標(biāo).