☉山東省濱州市鄒平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 郭春梅

☉山東省淄博市周村區(qū)王村中學(xué) 鄭學(xué)濤

一、問題提出

關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵一直以來眾說紛紜，界定不一，但對于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的終極取向，一線教師的定位基本一致，即培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力和必備品格，體現(xiàn)在課堂中就是綜合利用所學(xué)知識更快、更好地解決問題的能力，助力自己的成長和社會(huì)發(fā)展所需.考試是評價(jià)學(xué)生核心素養(yǎng)養(yǎng)成效果的重要手段，因此基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的題目命制就要立足于綜合問題的解決，考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、幾何直觀等幾方面核心素養(yǎng)的調(diào)度、配合和切入能力，同時(shí)讓學(xué)生獲得終身受益的思維、能力和品格.

二、研發(fā)立意

命制試題的范圍主要包括的章節(jié)有全等三角形、軸對稱現(xiàn)象、勾股定理、實(shí)數(shù)、平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù).根據(jù)知識的特點(diǎn)和核心素養(yǎng)的終級目標(biāo)的要求，壓軸題的命制落腳在重點(diǎn)考查一次函數(shù)的部分知識和技能，此外本次命題還有另外三個(gè)立意：第一，基于學(xué)生已經(jīng)做過的習(xí)題，主要以教材例題和習(xí)題為主，增加原有問題的深度和廣度，設(shè)計(jì)新問題，使學(xué)生在解答問題時(shí)思維能夠快速切入新問題內(nèi)部；第二，由于命制的題目為期末考試的壓軸題，因此要體現(xiàn)出一定的綜合性，最后的效果要保證解題需要應(yīng)用兩個(gè)或者兩個(gè)以上的一級核心知識點(diǎn)或者核心技能，試圖挖掘?qū)W生對知識和技能的調(diào)配能力；第三，題目必須有一定的區(qū)分性，能夠立足于不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，將具備不同數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生區(qū)別開來，體現(xiàn)出考試的區(qū)分性價(jià)值，便于教師作出學(xué)期末教學(xué)評價(jià).

三、題目呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A（0，2）和B（2，4）.

（1）如圖1，請?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中找出這兩點(diǎn)的位置；（2分）

（2）如圖1，請?jiān)趚軸上找一點(diǎn)P，使得PA=PB，請使用尺規(guī)作圖找到P點(diǎn)的位置，并結(jié)合具體運(yùn)算求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，驗(yàn)證尺規(guī)作圖所求點(diǎn)的正確性；（3分）

（3）如圖2，請?jiān)趚軸上找一點(diǎn)Q，使AQ+BQ的值最小，找到Q的位置，并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；（3分）

（4）如圖3，請?jiān)趚軸上找一點(diǎn)M，使MB-MA的值最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，并簡要說明理由.（3分）

圖1

圖2

圖3

四、研發(fā)說明

本題依托平面直角坐標(biāo)系命制，第一問體現(xiàn)出一定的基礎(chǔ)性，而第二問、第三問的首要要求是借助尺規(guī)作圖找到點(diǎn)的位置，其用到的知識、技能是作已知線段的垂直平分線和作已知點(diǎn)關(guān)于已知直線的對稱點(diǎn)，由于教材中有相關(guān)例題和習(xí)題，加之平時(shí)訓(xùn)練充分，因此學(xué)生具有良好的思維和習(xí)慣基礎(chǔ)，能夠獲得一定的分?jǐn)?shù).而對于求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，按照筆者的預(yù)想，需要用到三角形全等和線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等兩個(gè)一級知識點(diǎn)，或者應(yīng)用已知坐標(biāo)求兩點(diǎn)之間的距離和線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等兩個(gè)知識點(diǎn)，雖然利用坐標(biāo)求兩點(diǎn)之間的距離是立足于勾股定理這個(gè)一級知識點(diǎn)下的二級知識點(diǎn)，但學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)有所觸及，也并非難題，也即從方法生成的角度來看，學(xué)生的選擇余地較大，視野也較為開闊，尺規(guī)作圖之后的幾何直觀能為學(xué)生提供良好的解題視角和端口.而第三問求Q點(diǎn)的坐標(biāo)對于學(xué)生來說難度較大，要用到一次函數(shù)的模型解決問題，對于剛剛接觸一次函數(shù)模型的學(xué)生來說有一定的難度，但是只要學(xué)生擁有良好的“兩點(diǎn)確定一條直線”和“在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求得過這兩點(diǎn)的直線表達(dá)式”及“Q點(diǎn)是直線與x軸的交點(diǎn)”的線性統(tǒng)籌能力，也能快速解決問題，獲得一定的分?jǐn)?shù)，當(dāng)然這需要學(xué)生有良好的幾何直觀（觀察Q的位置）、邏輯推理（幾何問題聯(lián)想代數(shù)方法）、數(shù)學(xué)建模（構(gòu)造一次函數(shù)圖像模型）及數(shù)學(xué)運(yùn)算（求一次函數(shù)表達(dá)式）等核心素養(yǎng)的調(diào)度統(tǒng)籌能力.第四問是本題的壓軸問，也是本試卷的壓軸一問，雖然并不難以計(jì)算，但對七年級學(xué)生來說，利用“三角形兩邊之差小于第三邊”求線段的最大值問題還是較為困難的，況且還要用到求一次函數(shù)的表達(dá)式的知識點(diǎn)，雖然二者均為課標(biāo)規(guī)定的一級知識點(diǎn)或技能，但是二者跨度大，對優(yōu)秀和良好的學(xué)生來說具有良好的區(qū)分性.

五、實(shí)際效果

從考查的知識點(diǎn)的全面性來說，本題基本達(dá)到了要求，這一點(diǎn)從題目的具體解答和本文所述的研發(fā)說明中即可看出.從考試的成績來看，本題基本達(dá)到預(yù)設(shè)的效果，本題滿分11分，全年級平均分為6.26分，與預(yù)設(shè)的難度系數(shù)0.6基本一致；而從閱卷卷面來看，幾乎所有的學(xué)生都能寫和畫，改變了以往學(xué)生看到壓軸題只字未寫的局面，而且本題的滿分率（優(yōu)秀率）為8.37%，良好（8分）率為21.79%，基本實(shí)現(xiàn)了區(qū)分性；從考后的效果來看，試題具備了誘導(dǎo)反思的價(jià)值.由于七年級學(xué)生具備一定的反思能力，考試之后學(xué)生自發(fā)進(jìn)行了幾方面的反思，主要體現(xiàn)在：第一，對于教師強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)知識、重要技能的掌握不夠精致，好高騖遠(yuǎn)的思想普遍存在；第二，計(jì)算能力有待于提高（一些學(xué)優(yōu)生將一次函數(shù)的表達(dá)式求錯(cuò)）；第三，也是最重要的一點(diǎn)，體會(huì)數(shù)學(xué)各部分知識的整體性和聯(lián)系性對于解決綜合問題的價(jià)值，要更加注重課堂深度探究和深度思考，同時(shí)學(xué)生對教師的課堂教學(xué)增進(jìn)了信任并產(chǎn)生合理范圍內(nèi)的知識信仰.總體而言，題目對于學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成較為客觀的反映，對學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)方法具有一定的引導(dǎo)和糾正價(jià)值.

六、命題感悟

1.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)命題要以公認(rèn)的核心知識、技能為背景

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有高度聚合性，它是學(xué)生將來走上社會(huì)處理復(fù)雜問題經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)知識和技能，也是在教學(xué)中方便統(tǒng)籌其他數(shù)學(xué)知識和技能的“好東西”，因此教師在命題的時(shí)候要立足于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查進(jìn)行問題的設(shè)置，在本題中，解決第二問所用知識不但是課程標(biāo)準(zhǔn)明確規(guī)定的而且是所有版本教材中都會(huì)涉及的問題，先設(shè)計(jì)尺規(guī)作圖，實(shí)則是筆者想通過作圖幫助學(xué)生建立一定的幾何直觀，無論是利用全等還是兩點(diǎn)間的距離解決問題都要首先觀察到P點(diǎn)到A點(diǎn)和B點(diǎn)的距離是相等的，且證明全等和求兩點(diǎn)間的距離（其內(nèi)涵還是勾股定理）都是數(shù)學(xué)核心的知識和技能，第二問和第三問的最終結(jié)果都是通過求解一次函數(shù)的表達(dá)式然后求一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)得到，能夠有效考查學(xué)生的建模思想和運(yùn)算能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).新課標(biāo)修訂組負(fù)責(zé)人王尚志教授認(rèn)為，在整個(gè)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)處于中心地位，“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是數(shù)學(xué)學(xué)科六個(gè)核心素養(yǎng)之一，因此考試題目的設(shè)置要基于一定量的計(jì)算，但考試設(shè)置“壓軸題”并不是為了為難學(xué)生，尤其是期末考試并非結(jié)業(yè)考試，試題不僅能對以前所學(xué)知識進(jìn)行檢驗(yàn)，也能夠?yàn)閷W(xué)生下一步的學(xué)習(xí)指明方向.

2.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)命題要具有積極的教學(xué)導(dǎo)向價(jià)值，更加有益于教與學(xué)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是著眼于學(xué)生未來的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力，數(shù)學(xué)教學(xué)的問題性、過程性、整體性是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的必由之路.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一個(gè)學(xué)段的目標(biāo)，而是終身學(xué)習(xí)的開始，因此每個(gè)學(xué)期學(xué)生所學(xué)的知識都會(huì)成為將來學(xué)生核心素養(yǎng)大廈中的一磚一瓦，為此數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)命題要具有積極的教學(xué)導(dǎo)向價(jià)值，要使學(xué)生充分認(rèn)識到課堂教學(xué)和課堂中的積極思考對于解決問題的價(jià)值，說教師不能說，言教師無法言的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵，通過只可意會(huì)不可言傳的自覺反省、自覺頓悟傳遞給學(xué)生一些信息.數(shù)學(xué)的教育終歸是思維的教育，而無論這種思維是用數(shù)學(xué)的眼光看待具體的數(shù)學(xué)問題，還是通過解決數(shù)學(xué)問題培養(yǎng)了意志力、理想情操，只要題目設(shè)計(jì)得好都可以讓學(xué)生有所斬獲.本題很多小問題衍生于平時(shí)訓(xùn)練的題目，如尺規(guī)作圖，求到兩點(diǎn)的距離相等和求距離之和最小，但是又對平時(shí)所解答的問題做出延伸，它讓學(xué)生認(rèn)識到，隨著知識的學(xué)習(xí)，許多問題可以進(jìn)行更加深入的思考和研究，包括學(xué)習(xí)新知識之后對舊問題更加細(xì)致的研究和探討，而教師通過這種手段進(jìn)行價(jià)值引導(dǎo)，讓學(xué)生更加專注于課堂中的探索性問題，學(xué)生對教師的引導(dǎo)也能夠產(chǎn)生積極的信任，有益于下一步的教和學(xué)的達(dá)成，以便更好地在核心素養(yǎng)的養(yǎng)成中添磚加瓦.