☉江蘇省泰州市高港區(qū)教師發(fā)展中心 姚娟妹

我國現(xiàn)行的中學(xué)幾何教材，就其邏輯而言，基本上沿用了歐幾里德《幾何原本》的體系.利用它來發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).歐式幾何是數(shù)學(xué)眾多門類中最古老的分支之一.前人早就研究出諸條結(jié)論，創(chuàng)造了眾多經(jīng)典.為后人的學(xué)習(xí)提供了一系列的訓(xùn)練平臺.多年來全國各地的中考幾何命題多源自經(jīng)典.因此傳承經(jīng)典、推陳出新已成為數(shù)學(xué)人研究的課題之一.筆者通過一個經(jīng)典的幾何問題，借用近年來中考中出現(xiàn)的優(yōu)秀試題，試圖了解其命題思路，厘清一類幾何問題之間的關(guān)聯(lián).

原題 如圖1，正方形ABCD中，以A為頂點(diǎn)作∠EAF=45°，其兩邊分別交BC、DC于點(diǎn)E、F.

圖1

求證：EF=BE+DF.

分析：只要將△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，或用“補(bǔ)短”法在CB的延長線上取BG=DF即可.

以此為例，介紹幾種常用的改造方法.

一、延伸結(jié)論

①EA平分∠BEF，AF平分∠DFE；

②△CEF的周長=2BC（定值）；

如果以圓的視角觀察，還有：

④EF與以A為圓心，AB為半徑的圓相切.

二、互換因果

把原題中的“∠EAF=45°”與結(jié)論“EF=BE+DF”或結(jié)論①之一，或②③④互換得到五個新的命題，可以證明它們都是成立的.即上述六個性質(zhì)中，只要其中一個成立，其余五個都成立.

圖2

（注：其實(shí)運(yùn)用余弦定理可一步到位求cos∠EAF）

思路3：如圖3，延長AF、BC得到交點(diǎn)M.由于F是CD的中點(diǎn)，易得CM=BC.連接AC，得∠ACB=45°，因此只要證△EAC △EMA，通過計(jì)算可得

圖3

三、變化點(diǎn)線

例2 （2016年揚(yáng)州）如圖4，已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與邊BC、DC的延長線交于點(diǎn)E、F，設(shè)CE=a，CF=b.

（3）探索∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式.（注：原題三問，只取第（3）問）

圖4

分析：本題與原題相比，只多了三個字“延長線”，即把∠EAF與BC、CD的交點(diǎn)置于其延長線上，研究的對象也發(fā)生了變化（不再是EF），因此，我們的思路也應(yīng)隨之變化，從構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)換到探索三角形相似方面，正如例1的思路3一樣.

連接AC，則∠ACE=∠ACF=135°，證△CAE △CFA還缺一個條件.

如果把原題中的兩點(diǎn)E1、F1標(biāo)上，還有△E1AC

倘若把此題中“BC的延長線”改為“CB的延長線”，又可以得到新的圖形，如圖5，則又有新的結(jié)論：EF=DFBE，讀者自證.

圖5

圖6

四、增改條件

在正方形的架構(gòu)下，以本文“二”中所云六個條件之一為基礎(chǔ)，再增設(shè)其他條件提出問題.

例3 如圖6，在邊長為3的正方形ABCD中，E是BC邊上的一個動點(diǎn)，作EP⊥AE，且EP=AE，交邊CD于點(diǎn)F.

（3）求DP的最小值.

（注：此題由2013年呼和浩特中考題改編所成）

對于問題（2），要證∠PCG=45°，即證∠ECP=135°，則要構(gòu)造全等三角形，如果由“小”補(bǔ)“大”，從P作PD的垂線段則不能奏效，只有將“大”改“小”，在AB上取AH=EC，得△ECP △AHE，有∠ECP=∠AHE，又由AB-AH=BC-EC得BH=BE，于是得出∠PCG=∠BHE=45°.

對于問題（3），由（2）知，不論P(yáng)點(diǎn)怎樣移動，它都在∠DCG的平分線上，因此DP的最小值應(yīng)在DP⊥CP時取得（垂線段最短），此時△DCP為等腰直角三角形，DP=

五、寓形于數(shù)

例4 如圖7，直線y=-x+1與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，M（a，b）為雙曲線上的動點(diǎn)，MG⊥OA，G為垂足，交AB于F，MH⊥OB，H為垂足，交AB于E.

圖7

求證：（1）S矩形OGMH=S△OAB；

（2）∠EOF=45°.

（注：此題源自2015年資陽）

六、聯(lián)想類比

例5 如圖8，菱形ABCD中，∠BAD=120°，以A為頂點(diǎn)，作∠EAF=60°，兩邊分別交BC于點(diǎn)E，CD于點(diǎn)F.

圖8

（1）求證△AEF為等邊三角形（2015年富順）；

（2）連接BD，分別交AE于點(diǎn)G，AF于點(diǎn)H，若∠BAG=15°，試判斷由BG、GH、HD這三條線段所構(gòu)成的三角形的形狀.

思路：對于問題（1），只要證AE=AF.連接AC，得∠ABC=60°，△ABC是等邊三角形，由此易證△ABE△ACF.

我們再回看原題，本題與原題有一個共同點(diǎn)：“以某角的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個角等于它的一半”，只不過大前提有所不同，由正方形改成菱形，改成頂角為120°的等腰三角形，可以推想當(dāng)大前提為矩形、一般四邊形、等腰直角三角形、等邊三角形等圖形時也會有不少結(jié)論，這里不再贅述，相信讀者只要畫出圖形必有斬獲.