☉重慶市璧山區(qū)正則中學(xué) 李洪兵

☉重慶市璧山區(qū)正則中學(xué) 薛 霽

·重慶市璧山區(qū)中學(xué)數(shù)學(xué)段世彬名師工作室·

核心素養(yǎng)培養(yǎng)是當(dāng)下和今后一段時(shí)間深化教育教學(xué)改革的方向.章建躍老師曾告誡我們，“教學(xué)落實(shí)比理念追捧更重要”.曹培英老師說過，學(xué)科核心素養(yǎng)都是跨課時(shí)、跨學(xué)期、跨學(xué)年的，特別需要從整體到局部的研究，因此一線教師可以在“改進(jìn)、加強(qiáng)單元設(shè)計(jì)”實(shí)行“上掛下聯(lián)”的有效落實(shí)學(xué)科素養(yǎng)的可行政策.

藝術(shù)中有“一字立骨法”，是指以一個(gè)字、一個(gè)詞或一個(gè)煉語作為藝術(shù)構(gòu)思的焦點(diǎn)，并以之貫通全文的構(gòu)思寫作方法，它可以把零散的材料組織成一個(gè)有機(jī)的整體，把紛繁復(fù)雜的內(nèi)容歸攏集中到焦點(diǎn)上，從而使文章線索明晰、結(jié)構(gòu)縝密、主旨凝聚.基于史寧中先生“培養(yǎng)學(xué)生的三會(huì)”的追求，遠(yuǎn)離那種不符合“學(xué)生主動(dòng)參與”的“概念填空、例題精講、鞏固練習(xí)”式的復(fù)習(xí)課模式，筆者結(jié)合自己對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解及自己基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)主題復(fù)習(xí)上的教學(xué)實(shí)踐探索，借鑒藝術(shù)中的“一字立骨法”提出了以“一物立骨”在主題復(fù)習(xí)中“上掛下聯(lián)”落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的實(shí)施策略——用“一物”（實(shí)物）把零散的知識(shí)（抽象）串成一個(gè)有機(jī)的整體，把紛繁復(fù)雜的內(nèi)容歸攏集中到骨架周圍上，從而使復(fù)習(xí)課線索明晰、結(jié)構(gòu)縝密、主旨凝聚、活動(dòng)有趣.現(xiàn)以兩個(gè)單元主題復(fù)習(xí)為例說明.

一、一棍立骨——風(fēng)生水起源自跨學(xué)科的視角

數(shù)學(xué)學(xué)科培養(yǎng)核心素養(yǎng)，主要通過思考、推理解決問題的訓(xùn)練，能夠提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力、聚合思維和逆向思維的能力，然而這給人的印象就是枯燥的訓(xùn)練，復(fù)習(xí)課更是如此，所以數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)更應(yīng)該借助其他學(xué)科（領(lǐng)域）知識(shí)及學(xué)生的興趣點(diǎn)來助力數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成.

課題：探險(xiǎn)歷程：從一根金箍棒出發(fā)——一次函數(shù)之再看它一眼.（新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊第十九章一次函數(shù)主題復(fù)習(xí)）

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過實(shí)物棍子與一次函數(shù)知識(shí)的融合訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).

2.讓學(xué)生經(jīng)歷一次函數(shù)圖像及其性質(zhì)的探索和應(yīng)用，體會(huì)函數(shù)的模型思想，發(fā)展抽象思維能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

教具：一根裹著金箔紙的竹棒.

（一）文化起源

播放視頻動(dòng)畫片《孫悟空》中歌詞：白龍馬蹄朝西，馱著唐三藏跟著仨徒弟，西天取經(jīng)上大路，一走就是幾萬里.什么妖魔鬼怪，什么美女畫皮，什么刀山火海，什么陷阱詭計(jì)，都擋不住火眼金睛如意棒，護(hù)送師徒朝西去.

假如，你得到了孫悟空的如意金箍棒，你將如何揮灑你的青春呢？

設(shè)計(jì)意圖：播放視頻，由學(xué)生喜聞樂見的歌曲進(jìn)入復(fù)習(xí)課，一亮相就給學(xué)生驚奇！讓一次函數(shù)的圖像——直線幻化成了此時(shí)的金箍棒，有數(shù)魂的魔棒（將“棒”想象成“直線”），增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)一次函數(shù)的直觀印象，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀的核心素養(yǎng)，同時(shí)兼顧了數(shù)形結(jié)合的思想浸潤.

（二）取經(jīng)從一條如意金箍棒開始

活動(dòng)一：暖場活動(dòng).

活動(dòng)準(zhǔn)備：1.課前在黑板中間畫一個(gè)大的十字平面直角坐標(biāo)系.

2.一根用金箔紙包裹的竹棒.

活動(dòng)項(xiàng)目：（1）教師在黑板上擺竹棒，學(xué)生說出直線中k、b的取值范圍（師擺生說）；

（2）教師說出k、b的取值，學(xué)生在黑板上擺竹棒（師說生擺）；

（3）一個(gè)學(xué)生說k、b的取值，另一個(gè)學(xué)生在黑板上擺竹棒（生說生擺）.

設(shè)計(jì)意圖：以全體同學(xué)互動(dòng)參與的活動(dòng)，低起點(diǎn)，齊動(dòng)員，熱烈歡快的形式拉開一次函數(shù)單元復(fù)習(xí)的序幕，同時(shí)讓學(xué)生在活動(dòng)中復(fù)習(xí)一次函數(shù)圖像的性質(zhì)及k、b對(duì)直線的傾斜方向和位置的影響，一舉兩得.特別是活動(dòng)項(xiàng)目（3），留給學(xué)生足夠大的空間情境，讓學(xué)生自己提問同伴，在生生問道中觸及學(xué)生靈魂.

活動(dòng)二：探問之旅.

問題一：不變的棍子.求經(jīng)過C（1，-1）、D（-2，5）兩點(diǎn)的直線（棍子）的解析式.（復(fù)習(xí)待定系數(shù)法）

追問1：請(qǐng)畫出直線CD的圖像，并由圖像直接得出x為何值時(shí)，y＞0.（復(fù)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想和觀察能力）

追問2：若直線CD分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).（復(fù)習(xí)求已知直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）

追問3：求△ABO的周長和面積.（復(fù)習(xí)求已知直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及原點(diǎn)圍成的三角形的周長和面積）

追問4：求原點(diǎn)O到直線CD的距離.（復(fù)習(xí)用面積法求距離）

問題二：百變的棍子.剛才的棍子都是固定的，現(xiàn)在我們讓這跟棍子旋轉(zhuǎn)、移動(dòng)看看，會(huì)有什么精彩發(fā)生呢？求經(jīng)過點(diǎn)G（4，5）并與直線AB平行的直線的解析式.（考查平行于已知直線的解析式）

追問5：坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使△ABN為等腰三角形？若存在，則求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，則說明理由.（考查學(xué)生的分類思想和數(shù)形結(jié)合思想）

追問6：求直線CD（y1）與直線EF：y2=2x+3的交點(diǎn)，并直接得出x為何值時(shí)，y1＜y2.（考查一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系和數(shù)形結(jié)合思想）

追問7：過x軸上一動(dòng)點(diǎn)M（m，0）作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)P，交直線EF于點(diǎn)Q，問：m為何值時(shí)，P、Q距離為10？（考查動(dòng)點(diǎn)問題，培養(yǎng)學(xué)生的分類思想）

設(shè)計(jì)意圖：9個(gè)問題，起點(diǎn)低，立意高，其一，關(guān)注基礎(chǔ)，前5問，學(xué)生通過圖形可以在獨(dú)自練習(xí)中把新課標(biāo)要求的待定系數(shù)法等知識(shí)復(fù)習(xí)提升了；其二，問題漸次生長，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)思維螺旋上升”的特點(diǎn)，“后半程”指向中考熱點(diǎn)題“存在”問題、“動(dòng)點(diǎn)”問題，在學(xué)生完成問題解決后，教師可以點(diǎn)一下“這可是中考題型”讓學(xué)生體驗(yàn)解決中考題的成就感；其三，關(guān)注數(shù)學(xué)思想，整個(gè)問題串都隱含“有圖才有真相”——數(shù)形結(jié)合思想；其四，關(guān)注學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)，初中課標(biāo)對(duì)利用一次函數(shù)研究兩直線平行和垂直的關(guān)系沒做要求，而問題中出現(xiàn)了，目的是順帶讓學(xué)生窺見高中函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)有余力的孩子領(lǐng)略高中數(shù)學(xué)也是這么簡單，此處設(shè)計(jì)謀劃了學(xué)生的后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

活動(dòng)三：歌曲串燒.

課堂結(jié)尾處，教師教唱改編自課前《孫悟空》的《一次漢（函）》：

白龍馬蹄朝西，馱著一次函（數(shù)）跟著正比例，上下翻飛左右移①，雙令②面積b大上，什么待定系數(shù)③，什么骨頭熬湯④，什么將軍飲馬⑤，什么垂直平行⑥，都擋不住火眼金睛兵洪李⑦.（備注：①直線的平移：左右平移——左加右減；上下平移——上加下減；②一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求法：令x=0，求出對(duì)應(yīng)的y值，令y=0，求出對(duì)應(yīng)的x值，從而算出直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；③待定系數(shù)法；④將它的骨頭熬它的湯——反代思想；⑤將軍飲馬——牛飲水問題；⑥兩直線互相垂直——斜率互為負(fù)倒數(shù)，兩直線平行——斜率相等；⑦學(xué)生填上自己的名字的倒序即可，如袁清梅——梅清袁，吉小蕾——蕾小吉等）

設(shè)計(jì)意圖：通過一首朗朗上口的一次函數(shù)歌曲，再一次強(qiáng)化了一次函數(shù)在追問求解中的各種情況，這樣的歌曲結(jié)尾比教條式的“你有什么收獲，你有什么困惑”來得猛烈、刻骨銘心！

通過一根經(jīng)典的如意金箍棒，涵蓋眾多變化、題型，并自然生長、變式拓展，寓眾多豐富的函數(shù)問題于簡潔清晰的圖像之中，追求了歡快、簡潔且深邃的復(fù)習(xí)課堂，讓學(xué)生在主動(dòng)體驗(yàn)中培養(yǎng)了直觀想象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

二、一繩立骨——心花怒放來自真情境的視角

核心素養(yǎng)的教學(xué)應(yīng)該高度重視情境學(xué)習(xí)，將學(xué)生置于真正的情境中，基于現(xiàn)實(shí)世界的真實(shí)任務(wù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，讓他們把知識(shí)與真實(shí)的、現(xiàn)實(shí)的情境連接起來，有效解決真實(shí)任務(wù)從而獲得學(xué)有所得的幸福感.

課題：探險(xiǎn)歷程：從一根繩子出發(fā)——二元一次方程組之再看它一眼.（新人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊第八章二元一次方程組主題復(fù)習(xí)）

教學(xué)目標(biāo)：

1.由追問繩子的數(shù)量關(guān)系不同，讓學(xué)生經(jīng)歷“逐步抽象”到建立方程組，由方程組的解再到實(shí)際問題的答案，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

2.從繩子引發(fā)的追問中抽象出二元一次方程組，加深方程的建模意識(shí)，發(fā)展學(xué)生靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)和解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型的核心素養(yǎng)，嘗試讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，同時(shí)兼顧了學(xué)科立德樹人.

教具：一根繩子.

（一）文化起源

文化起源：播放跑男節(jié)目《奔跑吧兄弟》之《包貝爾妙解雞兔同籠》片段（3分鐘）.

設(shè)計(jì)意圖：雞兔同籠是我國《九章算術(shù)》上的經(jīng)典名題，小學(xué)生們就接觸過，這里通過學(xué)生喜歡的電視節(jié)目《奔跑吧兄弟》的視頻引出，一下子就點(diǎn)燃了學(xué)生復(fù)習(xí)二元一次方程組的狀態(tài)，同時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行了愛國主義教育，適時(shí)進(jìn)行了數(shù)學(xué)的學(xué)科育人.

（二）求索從一條如意繩開始

活動(dòng)一：探險(xiǎn)之旅.

問題：現(xiàn)有一根11米長的繩子，如果剪成兩段，每一段長度是多少？

追問1：如果剪成兩段，長度都是正整數(shù)，怎樣剪？

追問2：如果剪成兩段，且長的一段是短的一段的2倍，怎樣剪？

追問3：如果用這根繩子圍成一個(gè)長方形，且長方形的長比寬的2倍多1米，求這個(gè)長方形的長與寬.

追問4：如果用這根繩子圍成一個(gè)三角形，且其中兩邊的和等于第三邊的2倍，而這兩邊的差等于第三邊的求圍成的三角形三邊長.

追問5：現(xiàn)有一段舊圍墻長20米，李叔叔想緊靠這段圍墻圈一塊長方形空地種草莓.已知他圈好的空地如圖1所示，是一個(gè)長方形，它的一條邊用墻代替，另三邊用總長度為50米的繩子圍成.設(shè)垂直于墻的一邊的長度為a米，則a的取值范圍是多少呢？

設(shè)計(jì)意圖：（1）關(guān)注基礎(chǔ)，由問題有：x+y=11，就這么直白地宣告了“我就是二元一次方程”，概念孕育在繩子的設(shè)問中，追問1問在了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)——七年級(jí)學(xué)生還是喜歡整數(shù)，支架搭得也很妙；（2）關(guān)注思維的螺旋上升，從“長的一段是短的一段的2倍”繩子到繩子變形去圍成長方形甚至三角形，體現(xiàn)了思維的逐漸生長，利于學(xué)生思維素養(yǎng)的培養(yǎng)；（3）關(guān)注知識(shí)的“跨界”，追問5考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)平行于墻的一邊的長度不大于20米、大于0米，列出不等式組，放在最后看似不可能，實(shí)際上也是必然，二元轉(zhuǎn)場到了一元，方程組轉(zhuǎn)場到了不等式組，期末的單元主題復(fù)習(xí)不失為一個(gè)很好過渡的綜合題，繩子串起了方程組與不等式組，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)了數(shù)形結(jié)合思想.

活動(dòng)二：紅繩來了，怎么接？

追問6：古有紅娘牽紅繩的說法，如今講究的是自由戀愛.A男、B男同時(shí)愛上某女，A男對(duì)該女說，我愛你是他愛你的100倍；B男對(duì)該女說，我愛你是他愛你的1000倍，請(qǐng)問：這兩男誰最愛該女？請(qǐng)你幫C女出謀劃策.

A.A男 B.B男 C.都不愛 D.都愛

學(xué)生一看題目，樂了，數(shù)學(xué)課還探討這種現(xiàn)實(shí)世界中的戀愛問題，時(shí)髦而新鮮！全都躍躍欲試地開始討論起來……

設(shè)計(jì)意圖：現(xiàn)實(shí)世界，怎么思考？學(xué)生愛起哄的戀愛問題，又怎么思考？此時(shí)有形的繩子轉(zhuǎn)場到無形的紅繩，給學(xué)生自由討論的時(shí)間和空間，先獨(dú)立思考再小組探究，接著讓學(xué)生代表小組起來說說自己小組的結(jié)論和理由.讓學(xué)生從不同的角度去思考這個(gè)棘手的戀愛問題，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)和邏輯推理能力.

最后老師停頓一下：戀愛面前，一千個(gè)人就有一千種回答，我們數(shù)學(xué)也有數(shù)學(xué)的思考：

設(shè)A男愛的程度為a，B男愛的程度為b.若兩種同時(shí)成立，

解得a=b=0.

原來都不愛?。▽W(xué)生張大嘴，覺得不可思議）

本活動(dòng)素材取之于生活，學(xué)生感興趣，而且建立在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)（學(xué)生剛學(xué)完二元一次方程組），讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活世界，最后又培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考生活，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)化神奇為腐朽的強(qiáng)大.

此處還有許多意外生成，驚喜連連.

驚喜一，不要以為初中生還小，其實(shí)他們的身體正處在高速發(fā)展的青春期，心理上也朝著自己的人生觀逐漸完善，同時(shí)帶著些許青春的叛逆，他們對(duì)此題的回答，包羅萬象，有些對(duì)戀愛的認(rèn)識(shí)讓我嘆為觀止，其中一個(gè)女孩說選C，都不愛.我當(dāng)時(shí)很驚訝，以為她算出來了.我馬上追問，為什么？她站起來說，因?yàn)?，愛情是專一的，不可以進(jìn)行比較，這兩個(gè)男的都在對(duì)比，所以不可?。∥衣牶?，立馬帶頭為她鼓掌，同時(shí)我說明為她鼓掌的原因：“這個(gè)女生說得很好，愛情是專一的，不能進(jìn)行比較，如果我的孩子是女兒，我一定會(huì)把你的這番話告訴我女兒的！”學(xué)生也報(bào)以熱烈的掌聲并投以贊揚(yáng)的眼神.

驚喜二，筆者在算出a=b=0后，隨即清唱了“你是風(fēng)兒，我是沙……天可崩、地可裂，?？煽?、石可爛……”，最后話鋒一轉(zhuǎn)：孩子們，純真的愛情是美好的！但請(qǐng)謹(jǐn)記：什么季節(jié)開什么花，我們學(xué)習(xí)的時(shí)候就要努力學(xué)習(xí)完善自我，不可過早涉足愛河啊，為什么呢？因?yàn)椤安粚Ｒ弧钡暮Ｊ纳矫嗽跀?shù)學(xué)面前都等于零！（學(xué)生早已大聲說了）此處無痕的學(xué)科德育教育，達(dá)到了春雨潤物細(xì)無聲的效果，而且這節(jié)課的經(jīng)典場面會(huì)讓學(xué)生刻骨銘心，這無形中落實(shí)了數(shù)學(xué)學(xué)科“立德樹人”的精神，讓學(xué)生少走彎路，健康陽光地成長，真正培養(yǎng)了學(xué)生的核心素養(yǎng)，謀劃了學(xué)生的長遠(yuǎn)利益.

通過一根變化的繩子，涵蓋眾多可能、題型，并自然生長、變式拓展，最后演變到紅繩，讓復(fù)習(xí)達(dá)到高潮，寓眾多豐富的二元一次方程組問題于簡潔、清晰的繩子之中，追求了多變、簡約且驚喜的復(fù)習(xí)課堂，讓學(xué)生在主動(dòng)表達(dá)中培養(yǎng)了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

以上兩例，都是在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)和興趣點(diǎn)選取一“物”，圍繞某一數(shù)學(xué)主題知識(shí)量身定做一系列螺旋上升的問題串！一節(jié)課，教師眼中有“人”，耳中有“聲”，心中有“問”；學(xué)生眼中有“物”，口中有“數(shù)”，心中有“魂”.

一物立骨，是數(shù)學(xué)主題復(fù)習(xí)的一種嘗試實(shí)踐，因?yàn)樗屩R(shí)聚焦整合，讓復(fù)習(xí)課堂化繁為簡，讓復(fù)習(xí)高效簡約.以一物縱橫全課，支撐起了整堂課的教學(xué)，使復(fù)習(xí)課充滿未知的神奇歷程.這一物，就是房屋的“橫梁”，若干問題串就是屋頂兩邊的人字梁，課堂生成就是房屋的墻，屋頂決定房屋的牢固性和永久性，課堂生成決定了房屋的高度.我理解的可立一課之“物”，可以是一根棍子，一條繩子，一個(gè)習(xí)題，等等.這樣一堂課，起于一個(gè)物體，止于一個(gè)物體，參懂了一個(gè)物體，研透了一個(gè)主題知識(shí)，復(fù)習(xí)得回腸蕩氣，體驗(yàn)得入木三分.