☉江蘇省無錫市太湖格致中學 尤曉珍

☉江蘇省無錫市濱湖區(qū)教研中心 王華民

☉江蘇省無錫市太湖格致中學 周建平

在2018年3月召開的無錫市初三數(shù)學教學研討會上，筆者執(zhí)教了一堂專題復習課——一線三等角，經(jīng)歷了三次備課、試講及教后反思，對復習課教學有了進一步的認識.以下簡要記錄幾次備課的設計方案，呈現(xiàn)設置意圖及優(yōu)點和不足，從中獲得不少感悟，與數(shù)學同行分享.

一、三次備課經(jīng)歷

【第一次備課簡案】

（一）導入

觀察圖形，如圖1，當∠A=∠B=∠CPD時，△CAP與△PBD有什么關(guān)系？

圖1

（引導學生得出△CAP △PBD及相似的理由）

（二）模型

（1）常見“一線三等角模型”圖譜（如圖2）.

（2）所謂“一線三等角模型”，即兩個相等的角一邊在同一直線上，另一邊在該直線的同側(cè)或異側(cè)，第三個與之相等的角的頂點在前一組等角的頂點所確定的線段上或線段的延長線上，該角的兩邊分別位于一直線的同側(cè)或異側(cè)，并與兩等角兩邊相交，就會形成一組相似三角形，習慣上把該組相似三角形稱為“一線三等角”型相似三角形.（通俗地講，一條直線上有三個相等的角一般會存在相似三角形）

圖2

（三）載體

（1）等腰或等邊三角形底邊上的“一線三等角”模型（如圖3）.

圖3

（2）矩形或正方形中的“一線三等角”模型（“K”字型）（如圖4）.

圖4

（3）平面直角坐標系中的“一線三等角”模型（如圖5）.

（四）應用

例1 如圖6，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點D、E分別在BC、AC上，連接AD、DE，使∠1=∠B.

圖5

圖6

（1）當BD=2時，求線段CE的長；

（2）求線段CE的最大值；

（3）當△ADE為等腰三角形時，求BD的長.

例2 （2017年無錫中考副卷第28題改編）如圖7，在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點放于P處，三角板的兩直角邊分別與AB、BC邊相交于點E、F，連接EF.

圖7

圖8

（2）將三角板從圖7中點的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當點E與點A重合時停止.

①∠PEF的大小是否發(fā)生變化？

②寫出從開始到停止，線段EF的中點所經(jīng)過的路線長.

例3 在平面直角坐標系中，如圖9，直線l1∶y=-2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，將△OAB沿l1翻折，求O的對稱點P的坐標.

圖9

（五）總結(jié)

1.“一線三等角”模型提煉、變式和運用；

2.從復雜圖形中提煉出基本圖形、快速靈活運用基本結(jié)論、反思、拓展.通過知識間的串聯(lián)，找出一些通性、通法，提高解題效率.

（六）拓展

（2015年無錫）已知：平面直角坐標系中，四邊形OABC 的頂點分別為 O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.

（1）問：是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

（2）當∠AOC與∠OAB的平分線的交點Q在邊BC上時，求m的值.

【設計意圖】設計環(huán)節(jié)由導入、模型等六個環(huán)節(jié)組成，清晰明了，用了一個具體問題導入，引導學生探究圖形中的相似三角形，提煉出“一線三等角”模型，力求幫助學生認識圖形及鞏固對圖形的認識，為之后從復雜圖形中抽象模型做鋪墊.載體為常見的“一線三等角”模型的背景圖，出示最常用的三角形、四邊形以及平面直角坐標系，其中矩形或正方形中的“一線三等角”模型就是學生熟悉的“K”字型.應用部分與載體部分匹配，各出一個相應例題，直觀清晰，利于學生準確掌握.

不足點：上課伊始就出現(xiàn)“一線三等角”的模型，顯得較為突兀.其一，對學生而言，直截了當?shù)爻尸F(xiàn)模型，學生沒有體驗，不清楚為何要學習“一線三等角”.

（1）如圖8，當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合，求此時PC的長.實踐證明，如果不明白學習的必要性，學習的效率自然要打折扣.其二，拓展部分鏈接中考，雖與“一線三等角”有關(guān)，亦能通過其他方法求解，并不能體現(xiàn)此法解決問題的必要性和唯一性.因此放于此處價值不高.其三，教師鋪設太多，學生思維訓練尚不到位，似乎缺少了思辨的味道.

根據(jù)備課組同行提出的上述不足點，筆者進行第二次備課.

【第二次備課簡案】

（一）情景再現(xiàn)

問題：（濱湖區(qū)初三期末卷第27題）如圖10，在等邊△ABC中，D是BC邊上的一點，把△ABC折疊，使點A落在BC邊上的點D處，折痕為MN，

圖10

（通過學生的回顧、解答，抓住解題過程中的關(guān)鍵詞相似、“三等角”，凸顯解題方法——運用相似解決三角形中的邊角關(guān)系問題）

（二）抽象模型

點P在線段AB上（如圖2）.

點P在線段AB的延長線上（如圖11）.

圖11

（三）問題探究

問題：第一次備課的例1，減少（3）.

變式1：第一次備課的例2，減少（2）中的②.

變式2：（1）第一次備課的例3；

（2）直線l2過點P，且與直線l1的夾角是45°，求兩直線l1、l2的交點的坐標.

（四）回顧反思

1.“一線三等角”模型的特征，以及模型的提煉、變式和運用；

2.從復雜圖形中提煉基本模型、快速靈活運用基本結(jié)論、反思、拓展.

（五）課后思考

1.如圖12，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，有∠MDN=∠B，請找出圖中所有的相似三角形.

圖12

變式1：在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC上任一點，∠MDN=∠B.若DM⊥AB，是否有可能使S△DNC=4S△DMB？如果有可能，求BD的長.

變式2：在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC上任一點，∠MDN=∠B.若BD=4，是否存在這樣的位置，使△DMN成為直角三角形？若存在，求BM的長.

【設計意圖】第二次備課是以無錫市濱湖區(qū)初三上學期期末數(shù)學試卷的第27題作為導入，是基于以下考慮，其一，出示熟悉的考試題，讓學生有一種親切感，便于喚醒記憶，激發(fā)興趣；其二，通過回顧較難問題的解法，從等邊三角形中逐步抽象出“一線三等角”模型，讓學生體會到學習這一模型的必要性和現(xiàn)實意義；其三，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)——數(shù)學抽象.等邊三角形是強條件，在此基礎上弱化條件——等腰三角形，只要底邊上出現(xiàn)一個與底角相等的角，就可以得到一條直線上的三個等角，由三等角可得相似，進而能研究三角形中的邊角關(guān)系，以此讓學生覺得有必要深入研究“一線三等角”模型.緊接著呈現(xiàn)“一線三等角”兩類圖譜，讓學生找出其中的異同點，顯得非常自然，當然本課側(cè)重于研究第一類常見圖譜.讓學生了解“一線三等角”模型可以把復雜的數(shù)學問題變得直觀、簡潔，便于歸納和內(nèi)化，有助于探索解決問題的思路.

在問題探究環(huán)節(jié)，有兩條主線.一是以“一線三等角”使用過程中的載體不同，分為三角形、四邊形，當然它還能跟其他的如梯形、圓、拋物線等相結(jié)合，但都能回歸到三角形、四邊形這樣的基本圖形.而把平面直角坐標系單獨分為一類，是因為得到相似后它有自己獨特的處理方式——坐標法.第二條線是“一線三等角”的應用也分三種不同情況，與前一條線結(jié)合起來運用.已經(jīng)存在“一線三等角”，直接應用模型解題，如果已有一線二等角，可以補上一等角后，利用模型解題，或者只有直線上一個角，可補上兩個等角，再利用模型解題.尤其是最后一種情況常作為壓軸題，當給定一個特殊角或者指定該角的三角函數(shù)時，經(jīng)常通過構(gòu)造“一線三等角”解決.這樣設計，一方面，對原來幾個例題用“問題探究+變式”這條主線串起來，外延更清晰；另一方面，豐富了“一線三等角”模型的內(nèi)涵.課后思考部分主要是增加思維點，繼續(xù)研究模型，研究方向之一是點的特殊化，D為中點，得到三相似及兩角平分線；研究方向之二是角的特殊化，出現(xiàn)直角，可以結(jié)合三角函數(shù)進行.整堂課采用從特殊到一般，再由一般回到特殊的方式展開教學活動.

不足點：以一道試題導入，學生難以抽象出“一線三等角”模型，對于實例進行的抽象，一般實例不小于三個；這道試題作為一份試卷的壓軸題，難度較大，費時偏多，有違課堂教學“低起點，高落點”的原則，雖然該班層次較高，但作為導入還是欠妥.在問題探究部分，課堂上引導學生識別“一線三等角”，還原“一線三等角”，創(chuàng)設“一線三等角”模型，即3個問題都是通過“一線三等角”模型解題，有點固化學生的思維，束縛其手腳，不利于學生思維的發(fā)展.我們可以預見，層次好的班級的學生必有不同解法，不妨提出來交流，師生一起比較不同解法的優(yōu)劣，促進思維的碰撞.

根據(jù)同行的建議，筆者進行第三次備課.

【第三次備課簡案】

（一）情景再現(xiàn)

問題1：如圖13，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點P為BC邊上的點，過點P作∠MPN=30°，將∠MPN繞點P旋轉(zhuǎn)，∠MPN的兩邊分別交AB、AC于點E、F時，問：△BPE與△PCF是否相似？證明你的結(jié)論.

圖13

圖14

問題2：如圖14，在等邊△ABC中，邊長為6，點D是BC上的動點，∠MDN=60°，當BD=1，NC=3時，求BM的長.

問題3：如圖15，在正方形ABCD中，邊長為1，點E在線段B，邊EF交DC于F，求EF的長.

圖15

（二）抽象模型：同第二次備課

（三）問題探究

問題：如圖16，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點D、E分別在BC、AC上，連接AD、DE，使∠1=∠B.求線段CE的最大值.

變式1：同第二次備課.

變式2：同第二次備課.

圖17

圖16

變式2解答后，問學生：還有其他思路嗎？

另解：如圖17，連接OP，過P作PC⊥x軸交x軸于點C.

之后，讓學生對比、優(yōu)化，通過不同的解題方式，讓學生體會構(gòu)造不同的基本圖形的價值，感悟解題策略.

（四）回顧反思

1.“一線三等角”模型的特征，以及模型的提煉、變式和運用；

2.從復雜圖形中提煉基本模型、快速靈活運用基本結(jié)論、反思、拓展；

3.心中有模型，但不拘泥于模型，要重在分析、思考.

（五）課后思考：同第二次備課

【設計意圖】導入部分以三個小題切入，先讓學生獨立思考完成，再小組交流，在特殊角度下，學生比較容易上手，在交流過程中，感悟三小題的解題通法.接著引導在特定條件下抽象圖形，得到“一線三等角”模型，同時兼顧了大部分學生的認知水平和學習能力，生成自然.之后進行的問題探究是模型之應用，并多了一個一題多解環(huán)節(jié)，讓學生感受到過度依賴模型不利于培養(yǎng)自身分析問題的能力.在回顧反思部分不僅有“四基”的總結(jié)，也有對數(shù)學模型的認識.

二、教學感悟

有了前兩次備課、試講的經(jīng)驗教訓，按著第三次備課方案，筆者在初三教學研討會上進行了公開課展示，受到與會者的積極評價，大家認為該課設計合理，在教師引導下，學生積極參與做數(shù)學活動，師生互動默契，從發(fā)現(xiàn)問題到解決問題再到拓展問題.在學生思維最近發(fā)展區(qū)提出問題，建立數(shù)學新知與已知的聯(lián)系，保持數(shù)學的連貫性、思維的一致性，并將學生學習的熱情延伸到了課外，培養(yǎng)了分析問題的能力，培養(yǎng)了學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模的素養(yǎng)，數(shù)學能力得到螺旋式鞏固與提升.通過這次教學實踐，筆者在初三復習教學設計方面有如下感悟：

（一）教學設計要有高立意

利用好模型解決一類數(shù)學問題，這是基于中考的基礎目標.數(shù)學課程標準指出：“數(shù)學教學應該從學生已有的社會經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并理解運用.”數(shù)學模型是指將現(xiàn)實問題歸結(jié)為相應的數(shù)學問題，并在此基礎上利用數(shù)學的概念、方法和理論進行深入分析和研究，從而從定性或定量的角度刻畫實際問題，并為解決現(xiàn)實問題提供精確的數(shù)據(jù)或可靠的指導.“模型思想”是課程標準提出的十個核心概念之一，因此，對于這一節(jié)數(shù)學模型課，以問題為載體，培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力和發(fā)現(xiàn)、提出問題的能力，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)——數(shù)學建模和數(shù)學抽象，是數(shù)學復習教學更為重要的目標，如此立意能提升教學的品位.因為數(shù)學模型需要有一個建構(gòu)的過程，它要求學生親身經(jīng)歷將實際問題提煉成數(shù)學問題，這也是一個數(shù)學抽象的過程，一種是“從對強條件的弱化”提煉“一線三等角”模型，另一種是“從三個具體實例”抽象提煉到“一線三等角”模型，當然后者更具合理性.筆者第二次備課不夠合理，主要原因是忽視了這一點.

（二）心中有模型，但不拘泥于模型

數(shù)學模型的意義，其一，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的需要（見上）；其二，不僅為數(shù)學表達和交流提供了有效途徑，也為解答數(shù)學問題提供了重要的工具，可以幫助學生準確、清晰地認識、理解數(shù)學，解答問題，所以數(shù)學模型常作為中考復習微專題的一個重要內(nèi)容；其三，如果解決問題過度依賴模型，機械套用模型，會削弱學生分析問題的能力.這也是第二次備課不合理的主要原因之一.因此，對待數(shù)學模型，正確的態(tài)度是心中要有模型，但不拘泥于模型，更重要的是要學會分析、思考問題.

（三）數(shù)學教學要追求自然

人教A版教材主編寄語有這樣一句話：“數(shù)學是自然的、數(shù)學是清楚的”，樸實的話語道出了數(shù)學的真諦.關(guān)于“自然”，有兩重含義，一個是指自然界、大自然；另一個是口語上的自然而然、當然.第一次備課，筆者直接出示“一線三等角”模型，設計中無法體現(xiàn)提煉模型的必要性和重要意義，學生也缺乏體驗建模的過程，腦海中沒有留下深刻的印象，教學效果自然就差.通過這三次磨課，我深刻感受到不論是新授課、習題課還是復習課，都要追求自然的設計和有效實施，一位特級教師在復習課的教學建議中提出：（1）通過自然的導入，教學生了解知識的背景與應用的前景；（2）通過自然的推理，教學生學會由代數(shù)方程推出幾何性質(zhì)；（3）通過自然的探究，教學生學習探究性學習的方法；（4）通過自然的問題導引，教學生學會歸納解決問題的方法.在習題課解決問題中，有時需要追本溯源，產(chǎn)生自然的思路，有時需要緊扣特征，產(chǎn)生自然的轉(zhuǎn)化.總之，“水”到可以“渠”成，教師在課堂教學中，要追求自然的設計和有效實施，促學生理解數(shù)學，教學生學會思考，便于學生產(chǎn)生自覺的行動.