☉安徽省合肥市第四十八中學 程龍軍

☉安徽省合肥市第四十八中學 史承灼

“數(shù)a的倒數(shù)是什么？”這是筆者在聽一節(jié)七年級公開課“有理數(shù)的乘法”時遇到的問題.對于這個問題，學生的回答頗讓人意外.

一、教學片段

“有理數(shù)的乘法”一課教學中，在講完了有理數(shù)的乘法法則之后，教師按照教材上的要求開始講倒數(shù)的概念.

師略停頓，對答案不夠滿意，繼續(xù)個別追問.

生2：數(shù)a的倒數(shù)也可能是a.

生5（反駁生3）：0沒有倒數(shù).

生6：0的倒數(shù)是0，1的倒數(shù)是它本身，a要是1的話，那它的倒數(shù)就是它本身.

……

對于這樣一個看似簡單的問題竟然出現(xiàn)了這么多種答案，令人頗為意外.我們不禁會問：答案背后隱藏了學生怎樣的想法？同齡學生之間為何有如此大的差異？學生對“字母表示數(shù)”有怎樣的理解？

二、案例分析

對上述答案稍加分析，我們不難看出：

生1和多數(shù)學生一樣，能夠認識到字母a可以表示具體的有理數(shù)，但可能只是局限于字母作為一個靜態(tài)對象對于數(shù)字的“替代”作用（如：3的倒數(shù)是，-2的倒數(shù)是-，a只是替代了3和-2而已），對字母的取值缺少分類的意識，也未能把字母看作變量，進而從a的由負到正的連續(xù)變化過程中進行排查和篩選，這說明學生還無法從抽象的水平上理解字母表示的對象.

生2既沒有理解倒數(shù)的概念，也對字母a可以表示有理數(shù)認識模糊，只是考慮了倒數(shù)等于本身的特殊數(shù)1（在課后談話中，問：哪些數(shù)的倒數(shù)等于自己.生2：數(shù)1的倒數(shù)等于1）.

生4、生6、生7的理解進了一步，考慮到了a的取值中的特例，對a取值的一般性和特殊性有了一定的思考，也有了分類的意識，只是沒有意識到1和-1的倒數(shù)也可以表示為，這說明當a作為分母時，學生的分類標準還比較模糊，對整體和局部包含關系的認識還有欠缺.

生3也考慮到a取值的特殊性，盡管把0的倒數(shù)理解錯了，但是已經較為準確地把握了分類的標準（即“a作分母時，分母是否為0”），也更接近了問題的實質.對于這個有價值的回答，教師如果稍加引導，結論就將呼之欲出，學生不僅知道了a的倒數(shù)是什么，而且可以較為深刻地理解字母a取值的一般性、特殊性，分類的重要性及數(shù)學結論的完備性.

三、尋根問底

1.問卷調查

為了了解學生對這一問題的普遍認識，筆者在七、八、九年級各選擇了一個自然教學班分別進行了問卷調查，問題有三個：（1）數(shù)a的倒數(shù)是什么？（2）簡要說出你的想法；（3）你認為數(shù)學中的字母a可以代表什么？調查結果如表1所示.

表1

2.結果分析

對這個問題的回答，七、八年級之間不存在顯著差異，而七年級與九年級、八年級與九年級之間均存在顯著差異.

雖然七、八年級的學生回答上述問題的正確率僅僅分別為12.1%和16.2%，但是一個有意思的現(xiàn)象是：大多數(shù)學生在第（3）問中都認為a可以表示任意一個有理數(shù)或實數(shù).那么值得思考的問題是：既然學生能認識到a可以表示任意一個實數(shù)，當然要把0包括在內考慮，那為什么在答a的倒數(shù)時沒有將0找出來單獨考慮呢？筆者認為，一方面，學生雖然知道a可以代表任意有理數(shù)，但只是起到“替代”功能，沒有經歷具體數(shù)字符號化和形式化的抽象過程，以及靜態(tài)數(shù)字一般化、動態(tài)化的活化過程，或者說學生對這樣的抽象過程和活化過程體驗不深.之后進一步的訪談也證實了這一點（七年級某生：3的倒數(shù)是，-3的倒數(shù)是-，a的倒數(shù)不就是嗎）.另一方面，也有學生缺少“分類”“變量”意識及考慮問題不夠全面的原因.從這個意義上說，學生要真正理解“字母表示數(shù)”，特別是在特定情境下，理解a取值的一般性和特殊性，還有很長的路要走，還需要不斷感悟和深化.在此前提下，在七年級進行這樣的訓練就顯得很有意義而且非常必要，如：求代數(shù)式的值、用字母探索規(guī)律、解方程、解不等式等，其中“求代數(shù)式的值”是溝通數(shù)與式的橋梁，應成為貫穿第三學段的一項基本訓練.

與七、八年級相比，九年級學生回答上述問題的正確率達到了52.9%，對字母a的理解有了一個質的提升，在用字母表示數(shù)量關系時能自覺進行分類.這里，相應的數(shù)學學習內容起到了關鍵的作用，特別是對函數(shù)的學習，如：自變量的取值范圍、求函數(shù)的解析式、畫函數(shù)的圖像等，使學生對字母有了“變量”的意識，因而理解字母時也更為全面.

3.調查結論

通過上述調查分析，可以看出初中生對字母的認識有如下特點：

（1）字母變量的抽象性，導致初中生對“字母表示數(shù)”的認識差異較大，存在著較為特殊的年齡特征.

（2）初中生對字母的分類意識比較缺乏，對字母取值的一般性、特殊性的認識處在較低水平.

（3）在涉及字母的較抽象問題時，一般地，學生還不能脫離開問題的實際內容，從抽象層次理解數(shù)量關系.

（4）相應的數(shù)學課程內容對學生符號意識的發(fā)展有顯著影響.

（5）七、八年級是學生符號意識發(fā)展的萌芽期，九年級是學生符號意識、分類意識和變量意識發(fā)展的關鍵期.

四、教學建議

1.結合認知特點加強學生對字母表示數(shù)的理解

英國兒童數(shù)學概念發(fā)展水平的研究（CSMS）表明，學生對字母表示數(shù)的理解方式可以概括為6個水平：

（1）對字母直接賦值.一看到字母，就直接給它賦予一個數(shù)值.

（2）忽略字母的意義.對題中的字母視而不見，不理睬，或者承認其存在，但對它不賦予任何意義.

（3）把字母當作物體.把代數(shù)式中的字母看作具體物體的記號，或直接看作物體.

（4）把字母看作特定的未知量.字母在兒童心中是某個（具體的）未知數(shù)的記號，可以直接參與計算.

（5）把字母看作廣義的數(shù).在兒童心中，字母是數(shù)，而且可以取多個值.

（6）把字母看作變量.兒童把字母看作可在一定范圍內的變數(shù)，兩組這種數(shù)之間有一種系統(tǒng)的關系.

由上述研究可以看出，七、八年級學生對字母的認識主要介于水平（4）、（5）之間，在這一階段，用字母表示數(shù)、求代數(shù)式的值、用字母探索規(guī)律、解方程、解不等式等都是發(fā)展學生符號意識的良好素材.此外，教學中還需要不斷滲透對字母取值的分類意識，如有理數(shù)在不同標準下的分類、數(shù)軸上的點表示的數(shù)的分類、絕對值問題中的分類等，在此過程中加深對字母取值一般性和特殊性的認識，理解字母既可以表示具體的數(shù)，也可以表示數(shù)量關系或其他某種關系，還可以表示變化規(guī)律.而九年級學生對字母的理解則主要介于水平（5）、（6）之間，少部分學生把字母看作變量，在這一階段，函數(shù)自變量的取值范圍、解析式、圖像的理解等內容則直接影響到學生的變量意識的發(fā)展.

2.結合現(xiàn)實情境進一步了解用字母表示數(shù)的意義

在數(shù)學發(fā)展史上，從丟番圖用縮寫的字母表示數(shù)到韋達用字母表示一般意義上的數(shù)，用了大約1200年.要學生在較短的時間內走過人類認識提升的大段歷史，關鍵在于體會從具體數(shù)字到抽象字母的抽象過程，而這些抽象過程仍然需要借助現(xiàn)實的問題和情境.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）在第二學段中雖然也要求“在具體情境中能用字母表示數(shù)”，但學生的實際情況與我們想象的還有很大差距.《標準》指出：在第三學段仍然要借助于現(xiàn)實情境了解代數(shù)式，進一步了解用字母表示數(shù)的意義.教學過程中要盡可能通過實際問題或情境的創(chuàng)設，引導、幫助學生理解符號及表達式、關系式的意義，或引導學生對現(xiàn)實情境問題進行符號的抽象和表達，在此過程中使學生逐漸認識到字母既可以表示已知量又可以表示未知量，既可以表示常量又可以表示變量，還可以表示數(shù)量關系和變化規(guī)律；逐步感悟“用字母表示數(shù)”不僅是字母“代替”文字和數(shù)的過程，而且更是具體數(shù)符號化和形式化的抽象過程，是人類認識從算術到代數(shù)的一次質的飛躍.

3.對字母表示數(shù)的理解需要“慢”教育

一方面，學生用符號表達數(shù)學對象是一個由簡單到復雜、由具體到一般的抽象過程.比如用數(shù)字符號表示現(xiàn)實中的多少，用單一的運算符號表示數(shù)的運算關系，其抽象度顯然不及用字母代替數(shù)及用字母表示某種關系，前者是后者的基礎，后者對前者來說是一個質的飛躍.而用符號關系式或一定的數(shù)學模式語言表示特定的變化規(guī)律則又更抽象和復雜.這表明關于數(shù)學表達的符號意識的發(fā)展是一個逐漸積累變化的過程.另一方面，人類對于數(shù)學的抽象經歷了兩個漫長階段：第一階段的抽象是基于現(xiàn)實的，是現(xiàn)實世界中的數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系，抽象成數(shù)學基本概念、研究對象的定義、刻畫研究對象關系的術語和計算方法，是從感性具體到理性具體的抽象過程；第二階段的抽象是基于邏輯的，合理解釋了第一次抽象得到的概念，以及概念之間的關系，實現(xiàn)了數(shù)學的符號化、形式化、公理化，是從理性具體到理性一般的抽象過程.對于“字母表示數(shù)”的抽象過程，只能是學生在學習活動中，通過對研究的數(shù)學對象的觀察、分析、歸納、概括，從現(xiàn)實的具體情境中抽象出其共同特征及其本質屬性，并在此基礎上進行數(shù)學符號化和形式化.同時，學生對“字母表示數(shù)”的理解與知識的獲得不具有共時性，而表現(xiàn)出延遲性.數(shù)學抽象過程的思維特征和這種延遲性，決定了教學過程中的“慢”，只有慢，才能讓學生在掌握知識的同時，有足夠的時間面對字母意義構建的延遲性和抽象性.因此，“用字母表示數(shù)”及其之前的教學過程，需要教師以極大的耐心，精雕細琢地對待相關內容，如用正、負數(shù)表示具有相反意義的量、有理數(shù)的概念及其分類、數(shù)軸及數(shù)軸上的點與有理數(shù)之間的關系、絕對值的含義等，同時還要讓學生認識到一些特殊的數(shù)的地位和作用，如-1、0、1等.數(shù)學教育家傅種孫先生曾言：“幾何之務不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然.”“幾何之務”如此，“‘用字母表示數(shù)’之務”亦如此.

需要特別指出的是，大量快節(jié)奏、重復、煩瑣的關于字母的形式運算訓練，并不能提高學生對符號運算的理解.教學中要適當、循序漸進地對學生進行符號運算訓練，并且要注意理解符號運算的基本過程和思想，畢竟，對字母表示數(shù)的理解關鍵在于“悟”而不在于“快”和“多”.