☉浙江省海鹽縣博才實(shí)驗(yàn)學(xué)校 郭瑞華

王友峰老師在文1中，以“有理數(shù)加法”情境創(chuàng)設(shè)為例闡釋了“基于算理概括法則，潛移默化熏陶素養(yǎng)”的教學(xué)追求，讀來引發(fā)筆者共鳴.我們知道，有理數(shù)的加法法則是加法運(yùn)算的基礎(chǔ)，然而不少版本中引入加法法則時多是一些生活情境，或利用數(shù)軸上的蝸牛移動，或利用點(diǎn)的平移等情境方式歸納出“繞口令”式的有理數(shù)加法法則（如“取絕對值較大加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值”這樣繞口的法則，讓學(xué)生怎么理解和記憶），再進(jìn)行例題講解與同類訓(xùn)練，這樣的教學(xué)年復(fù)一年，大家似乎沒有找到更好的方法.筆者多年以來，也是這樣開展教學(xué)的.最近，覺得可以借助數(shù)軸，基于相反數(shù)的定義（互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0）來推導(dǎo)、歸納生成有理數(shù)法則，再對教材上的表述進(jìn)行理解，取得了一定的教學(xué)效果.下面就從這段教學(xué)引入說起，再引發(fā)一些教學(xué)理解和教學(xué)建議，供大家討論.

一、借助數(shù)軸引入有理數(shù)加法法則

問題1：如圖1，數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示a、b，且a＞0，b＞0.

圖1

教學(xué)組織：安排學(xué)生根據(jù)a、b的取值范圍，賦值舉例，并計算出a+b的值，引導(dǎo)學(xué)生對應(yīng)到A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離與a+b的大小關(guān)系.讓學(xué)生復(fù)習(xí)正數(shù)相加，就是小學(xué)階段所學(xué)的兩個算術(shù)數(shù)相加.

問題2：如圖2，數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示a、b，且a＜0，b＜0.

圖2

教學(xué)組織：安排學(xué)生根據(jù)a、b的取值范圍，賦值舉例，并計算出a+b的值，引導(dǎo)學(xué)生對應(yīng)到A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離與a+b的大小關(guān)系.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個負(fù)數(shù)的和為負(fù)數(shù)，并用兩個數(shù)的絕對值相加.提醒學(xué)生，兩個負(fù)數(shù)相加，要注意先確定符號，再用它們的絕對值相加（就是小學(xué)階段的算術(shù)數(shù)相加）.

問題3：如圖3，數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示a、b，且a＞0，b＜0.

圖3

（1）當(dāng)a=2，b=-2時，a+b=_______.

教學(xué)組織：學(xué)生知道互為相反數(shù)的兩數(shù)的和為0，這其實(shí)也是之前在學(xué)習(xí)相反數(shù)時就可作為相反數(shù)的定義告知學(xué)生的.

（2）當(dāng)a=5，b=-2時，求a+b.

教學(xué)組織：學(xué)生會直接看出答案為3.教師可追問為什么等于3，并預(yù)設(shè)兩種方法，方法1：5+（-2）=5-2=3；方法2：5+（-2）=3+2+（-2）=3+［2+（-2）］=3+0=3.

要向?qū)W生指出，利用方法1，還可解決（-2）+5=-2+5=5-2=3；方法2則靈活利用運(yùn)算律（加法交換律、結(jié)合律），符號化簡的方法，互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0等依據(jù)，可以將符號不同的兩個數(shù)相加.

在此基礎(chǔ)上，可引導(dǎo)學(xué)生再舉一些類似的例子（符號不同的兩個數(shù)相加，且正數(shù)的絕對值較大），安排小組內(nèi)交流計算結(jié)果.

（3）當(dāng)a=2，b=-6時，求a+b.

教學(xué)組織：學(xué)生會直接看出答案為-4.教師可追問為什么等于-4，并預(yù)設(shè)方法：2+（-6）=2+［（-2）+（-4）］=2+（-2）+（-4）=［2+（-2）］+（-4）=-4.

在此基礎(chǔ)上，可引導(dǎo)學(xué)生再舉一些類似的例子（符號不同的兩個數(shù)相加，且負(fù)數(shù)的絕對值較大），安排小組內(nèi)交流計算結(jié)果.

在充分舉例交流計算結(jié)果之后，出示教材上“有理數(shù)加法法則”（限于篇幅，這里不給出），讓學(xué)生理解，并交流他們是如何理解的.先由小組內(nèi)推薦學(xué)生代表本小組上臺作全班交流，匯報他們是如何理解教材上這段“有理數(shù)加法法則”的，如果學(xué)生感覺該法則有點(diǎn)“繞口”，也可舉例來談自己的理解.在學(xué)生講解他們各自的理解時，教師注意做好講后點(diǎn)評，點(diǎn)評時要注意強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：

第一，與小學(xué)加法運(yùn)算相比，有理數(shù)的加法運(yùn)算更加復(fù)雜，首先要學(xué)會辨識類型，即看清兩個加數(shù)的正、負(fù)，然后選準(zhǔn)加法運(yùn)算法則的具體依據(jù)；

第二，有理數(shù)加法運(yùn)算，要培養(yǎng)先確定符號再運(yùn)算的習(xí)慣，即培養(yǎng)符號優(yōu)先的意識；

第三，在符號確定之后，要善于把兩個數(shù)的加法轉(zhuǎn)化為與它們的算術(shù)數(shù)有關(guān)的加或減的運(yùn)算，對于符號不同的兩個數(shù)相加，常常用較大的絕對值減去較小的絕對值；

第四，有時要靈活選用運(yùn)算律，比如加法交換律、結(jié)合律，當(dāng)然熟練地化簡、去括號也是很有必要的.

接下來給出一組例題（主要來源于教材例、習(xí)題，限于篇幅，這里不給出），先由教師示范不同的運(yùn)算方法，規(guī)范運(yùn)算步驟，并引導(dǎo)學(xué)生體會有理數(shù)運(yùn)算方法的“殊途同歸”，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的靈活性.

二、關(guān)于有理數(shù)加法法則的教學(xué)理解

學(xué)生進(jìn)入初中之后，與小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相比，通常會有幾個地方容易出現(xiàn)一些不適應(yīng)，具體來說，分布在不同年級，比如七年級上學(xué)期有理數(shù)的運(yùn)算可算一處；然后是平面幾何的入門階段；再有就是函數(shù)的學(xué)習(xí).剛進(jìn)入初中所學(xué)的有理數(shù)運(yùn)算為什么會讓學(xué)生不適應(yīng)呢？背后的情況很復(fù)雜，以有理數(shù)加法為例，有理數(shù)加法運(yùn)算需要分很多類型，在準(zhǔn)確識別類型之后，要有符號優(yōu)先的意識，再恰當(dāng)轉(zhuǎn)化為與算術(shù)數(shù)有關(guān)的加或減的運(yùn)算，而這些都可看成綜合程度很高的較難題范圍，所以有理數(shù)加法運(yùn)算是很多學(xué)生進(jìn)入初中后的第一道“坎”.

如何幫助學(xué)生邁過這道“坎”？不同的老師有不同的方法，多數(shù)老師的經(jīng)驗(yàn)和做法是依據(jù)教材按部就班地講解、訓(xùn)練、糾錯、再練，以達(dá)到熟能生巧的程度.然而，我們認(rèn)為，最初接觸有理數(shù)加法法則時就有必要十分重視算理的教學(xué)，并且重視訓(xùn)練學(xué)生觀察、識別、步步有據(jù)等良好的運(yùn)算習(xí)慣，這樣對于搞好運(yùn)算教學(xué)都是非常有益的.以下再提出幾點(diǎn)關(guān)于有理數(shù)加法法則的教學(xué)理解或教學(xué)建議.

1.從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，依靠數(shù)軸這個平臺探究并歸納加法法則

“最近發(fā)展區(qū)”理論是得到很多人認(rèn)可的教育理論.結(jié)合有理數(shù)加法法則的引入，可以結(jié)合該理論設(shè)計教學(xué)情境，比如，學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則之前，已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是有理數(shù)及相關(guān)概念，這就包括了數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值這三個十分重要的有理數(shù)相關(guān)概念.從數(shù)軸出發(fā)，研究有理數(shù)加法的不同情況，學(xué)生有個直觀的平臺進(jìn)行分析，容易直接讀出兩個不同有理數(shù)的和，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合已有的“相反數(shù)和為0”的性質(zhì)，更好地理解符號不同的兩個數(shù)的和可以借助相反數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行拆分、部分消去，從而得出解答.分組舉例后，再結(jié)合絕對值（對應(yīng)小學(xué)階段的算術(shù)數(shù)）歸納出有理數(shù)加法法則.

2.重視算理教學(xué)，讓學(xué)生在運(yùn)算過程中養(yǎng)成“步步有據(jù)”的習(xí)慣

不少版本中關(guān)于有理數(shù)加法法則的情境引入，多屬于猜想歸納出有理數(shù)加法法則，缺少必要的算理推導(dǎo)式的味道.基于這種不足，我覺得，雖然七年級新生還不能進(jìn)行嚴(yán)格意義上的推理證出有理數(shù)加法法則，但是至少可以讓學(xué)生在進(jìn)入初中之后，初步感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.在上面的課例概述中，我就是借用數(shù)軸這個平臺，變式舉例，通過不同方法演算、推理出符號不同的兩個數(shù)的加法法則，在這個過程中，反復(fù)利用了運(yùn)算律進(jìn)行推理式運(yùn)算，這就向?qū)W生滲透了“步步有據(jù)”的運(yùn)算意識.

3.促進(jìn)學(xué)生明辨運(yùn)算的兩套系統(tǒng)：運(yùn)算法則與運(yùn)算通性

記得有的數(shù)學(xué)家（中科院李文林研究員）曾把數(shù)學(xué)簡化為兩個字：算與證.“算”的話題太大，就拿有理數(shù)運(yùn)算來說，也是需要學(xué)生傳遞兩套系統(tǒng)的依據(jù)，一是運(yùn)算法則，二是運(yùn)算通性.運(yùn)算法則是剛性的，運(yùn)算通性（運(yùn)算律）是柔性的.前者針對不同的數(shù)系有不同的運(yùn)算法則，而運(yùn)算通性則游走在不同數(shù)系（包括以后整式的運(yùn)算）之間，都是通用的.這些也可以在運(yùn)算過程中向?qū)W生進(jìn)行講解、滲透，優(yōu)秀學(xué)生是能體會出這些運(yùn)算要點(diǎn)的，而且可以訓(xùn)練他們明辨“嚴(yán)守法則不出錯”與“靈活選用運(yùn)算律求簡化”之間的辯證關(guān)系.