韓克禎 耿雪 張芳 葛筱璐 劉曉娟 秦華

(山東理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院 山東 淄博 255049)

物理學(xué)家Max Planck 于1901發(fā)表在德國《物理年鑒》的論文中，提出了與經(jīng)典電磁場理論完全不同的輻射能量量子化假設(shè)[1](網(wǎng)絡(luò)上有英文翻譯版，如加拿大英屬哥倫比亞大學(xué)的網(wǎng)頁[2])，得到了在低頻和高頻電磁波段都與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合的黑體輻射公式，成功地開啟了物理學(xué)的新紀(jì)元.Planck黑體輻射公式在原子物理學(xué)[3]、量子力學(xué)[4]和激光原理[5]等本科課程中都有提及，是本科階段教學(xué)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，在從經(jīng)典電磁學(xué)到現(xiàn)代物理學(xué)的過渡中起到了承上啟下的銜接作用.

1 普朗克黑體輻射曲線頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率和波長的困惑

Planck黑體輻射公式中，黑體輻射能量體密度按照頻率分布和波長分布的公式分別為

(1)

(2)

ρν(ρλ)的物理意義為：熱力學(xué)平衡狀態(tài)下，熱力學(xué)溫度為T時(shí)，黑體的電磁輻射在頻率ν處(波長處)、單位頻率間隔內(nèi)(單位波長間隔內(nèi))的能量體密度.因此，式(1)和式(2)可以寫為

(3)

(4)

以溫度為3 000 K為例，處于熱平衡狀態(tài)的黑體，其輻射能量體密度按照頻率分布和波長分布函數(shù)ρν和ρλ的曲線如圖1所示.

圖1 黑體輻射能量體密度分布(T=3 000 K)

這是一個(gè)超越方程，其數(shù)值解為

即黑體輻射能量密度極大值對(duì)應(yīng)的頻率

(5)

這也是一個(gè)超越方程，其數(shù)值解為

即黑體輻射能量密度極大值對(duì)應(yīng)的波長

(6)

從上式可以得到

(7)

式(7)正是著名的維恩位移定律[3]. 很明顯

即

乍看之下，該結(jié)果令人疑惑：對(duì)于給定的熱力學(xué)溫度T，黑體輻射能量密度取極大值時(shí)的νm和λm竟然不是對(duì)應(yīng)的？

2 人們對(duì)該問題的認(rèn)識(shí)現(xiàn)狀

3 本文的分析討論

我們經(jīng)過思考分析之后，關(guān)于這個(gè)問題得到以下幾點(diǎn)認(rèn)識(shí).

(1)ρνdν=ρλdλ是正確的.

圖2 黑體輻射能量體密度分布函數(shù)測量過程示意圖[9]

因此，我們認(rèn)為文獻(xiàn)[7]是不合適的. 實(shí)際上，我們可以通過關(guān)系式

以及

這兩個(gè)關(guān)系式，從表達(dá)式(3)得到式(4)，或者從表達(dá)式(4)得到式(3).

(2) 我們認(rèn)同文獻(xiàn)[8]的觀點(diǎn)，黑體輻射能量密度取極大值時(shí)的νm和λm不相對(duì)應(yīng)的根源來自于波長和頻率不是線性關(guān)系. 鑒于文獻(xiàn)[8]僅一句帶過，本論文中我們進(jìn)行詳細(xì)說明如下.

我們利用Mathematica軟件作圖進(jìn)行輔助說明，如圖3所示.

圖3 黑體輻射能量體密度分布的深入理解(T=3 000 K)

在波長表示的ρλ分布曲線上，取等間隔分布的13個(gè)波長，從小到大依次為λ1，λ2，…,λ13，相鄰兩個(gè)波長之間的柱狀圖依次用1～12表示，如圖3(a)所示. 容易發(fā)現(xiàn)，圖3(a)的曲線頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的波長在λ4附近. 根據(jù)黑體輻射體密度波長表示的定義

以及

與λ1，λ2，…,λ13對(duì)應(yīng)的頻率ν1，ν2，…,ν13則是不等間隔并且是從大到小反向排列的，這一點(diǎn)在圖3(b)中有明顯體現(xiàn). 根據(jù)黑體輻射體密度頻率表示的定義

我們發(fā)現(xiàn)，由于ν1，ν2，…,ν13是不等間隔的，其曲線頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率不是在ν4附近，而是在ν11附近.

(3) 結(jié)合上面(1)和(2)的說明可以發(fā)現(xiàn)，維恩位移定律對(duì)應(yīng)于黑體輻射能量密度的波長表示. 并且為了避免引起困擾，建議以后對(duì)黑體輻射的Planck公式加上說明，分別為“波長表示的黑體輻射公式”和“頻率表示的黑體輻射公式”.

4 結(jié)論

本文揭示了黑體輻射曲線頂點(diǎn)在頻率表示和波長表示下看似矛盾的根源所在，并結(jié)合Mathematica作圖進(jìn)行了直觀詳細(xì)地說明，有助于學(xué)生深刻理解黑體輻射能量密度ρν和ρλ的物理意義并培養(yǎng)學(xué)生精準(zhǔn)理解物理概念的習(xí)慣和科學(xué)素養(yǎng).我們希望本文能夠給該問題帶來的困擾畫一個(gè)明了的休止符.