陳 輝

(永康市第一中學(xué),浙江 金華 321300)

在物理中有一類細(xì)線和輕繩,材質(zhì)柔軟質(zhì)量不能忽略,均勻分布,這樣的模型叫均質(zhì)鏈繩.與鏈繩有關(guān)的靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)問題是高中物理競賽重點(diǎn)考察內(nèi)容之一,題設(shè)非常簡潔,又能很好地考察學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決物理問題的綜合能力,鏈繩問題與高考題型截然不同,用常規(guī)解題思路難以入手.在重視物理核心素養(yǎng)的教學(xué)背景下,中學(xué)物理教學(xué)應(yīng)有意識地多角度分析問題,歸納比較形成一套思想方法體系,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性,思維靈活性、創(chuàng)造性.[1]本文通過一道經(jīng)典均質(zhì)鏈繩競賽題的多樣化思路教學(xué)探索培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀思維品質(zhì)的教學(xué)途徑.

圖1 均質(zhì)鏈繩

均勻不可伸長的繩子如圖1,兩端懸掛在A、B兩點(diǎn),B比A高h(yuǎn).在A點(diǎn)繩子張力為TA,繩子的質(zhì)量為m,繩長為l.

(1) 求B點(diǎn)繩子的張力;

(2) 假設(shè)有一根與AB繩一樣形狀的光滑彎曲管道,繩恰好鋪在整根管道中,A、B兩端用手拉住,求放手瞬間繩子的加速度大小.

1 靜力學(xué)分析

圖2 等效建模

求B點(diǎn)繩子張力是一個(gè)靜力學(xué)問題,可分別運(yùn)用微元積累、補(bǔ)償法、虛功原理3種思想方法.

1.1 微元積累

圖3 受力分析

每段繩子沿x正方向的拉力比負(fù)方向的拉力大ΔT,因?yàn)棣痢?、β→0,Ti+1cosα≈Ti+1,Ticosβ≈Ti,所以ΔT=Ti+1-Ti=Δmgsinθi,兩邊累加可得

B、A′張力差值為∑ΔT=TB-TA′,∑Δxsinθi是該段繩Δx在豎直方向上的投影，∑Δxsinθi=∑Δhi=h,整理得

圖4 等效建模

1.2 補(bǔ)償法

補(bǔ)償法指對原模型進(jìn)行填補(bǔ),然后對填補(bǔ)部分進(jìn)行分析,以達(dá)簡化問題的方法.

用長為L的光滑斜面放在A、B兩點(diǎn),加段直繩沿著斜面將原來繩子接通,如圖4.原鏈繩與直繩整體處于平衡狀態(tài),A、B兩點(diǎn)相當(dāng)于架設(shè)兩個(gè)定滑輪,直繩兩端張力分別等于鏈繩兩端張力大小.

1.3 虛功原理

本題也可用虛功原理求解,虛功原理∑Fiδri=0,表示物體在力系作用下處于平衡狀態(tài),若由于其他原因使物體產(chǎn)生符合約束條件的連續(xù)微小虛位移δri,則所有主動(dòng)力(外力和內(nèi)力)在虛位移上所做的虛功為零.這是由伯努力1717年提出的,到1764年拉格朗日進(jìn)一步完善.[1]由于高中生已接觸一些基礎(chǔ)的導(dǎo)數(shù)和微積分思想,在中學(xué)教學(xué)中滲透虛功原理思想是可行的.

圖5 微小虛位移

2 動(dòng)力學(xué)分析

3 方法比較評析

牛頓定律及在此基礎(chǔ)上的理論為牛頓力學(xué)(也稱矢量力學(xué)),拉格朗日方程及此理論基礎(chǔ)上的理論為拉格朗日力學(xué)(也稱分析力學(xué)),[2]下面對4類不同教學(xué)思路比較評析.

(1) 解法1是牛頓力學(xué)法,原則上所有的靜力學(xué)問題都可由此方法解決．本題研究對象為曲線,若用常規(guī)解法學(xué)生還不具備高等數(shù)學(xué)水平,找不準(zhǔn)重心位置、算不出角度大小,無從下手.“微元積累”思路上雖可行,但需畫出復(fù)雜受力圖，列方程組,數(shù)形結(jié)合能力要求高,只適合少數(shù)高水平學(xué)生.

(2) 解法2采用補(bǔ)償法,實(shí)現(xiàn)模型等效轉(zhuǎn)換,將模型化曲為直,化陌生為熟悉,運(yùn)用基本方法即輕松解決,通俗易懂,此思路最妙,此法適合所有層次學(xué)生.

(3) 解法3虛功原理是分析力學(xué)中的重要方法,新穎獨(dú)特,學(xué)生感嘆有如此神奇的方法,腦洞大開,對啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維作用顯著,解法1和解法3推薦給今后有物理研究方向的學(xué)生.

(4) 第(2)問求繩瞬時(shí)加速度采用功能關(guān)系同樣非常巧妙,和解法1比避開復(fù)雜作圖，列方程組,用功能關(guān)系列方程找出速度與微位移關(guān)系,間接求出了加速度,和解法3異曲同工.

(5) 解法3和第(2)問解法都用了圖5進(jìn)行分析,難道思想方法相同嗎?虛功原理只適用處于平衡狀態(tài)的物體系,解法3可用.而求瞬時(shí)加速度是動(dòng)力學(xué)問題,虛功原理顯然行不通,采用的是功能關(guān)系.功能關(guān)系既可用于靜力學(xué)問題,又可用于動(dòng)力學(xué)問題,適用范圍更廣.

(6) 以上解法表明,當(dāng)研究對象特殊,牛頓力學(xué)方法不可行時(shí),學(xué)生應(yīng)采用能量方法如虛功原理和功能關(guān)系.

4 多樣化教學(xué)啟示

對均質(zhì)鏈繩這一類經(jīng)典力學(xué)問題的分析,在習(xí)題教學(xué)中,要有意識地拓展分析思路與方法,不應(yīng)局限于某種方法,舉一反三,在教學(xué)中拓展,引申如微元積累、補(bǔ)償法、虛功原理、功能關(guān)系等重要規(guī)律和方法輔助分析,可高效拓展學(xué)生的分析思維,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,優(yōu)化創(chuàng)造性思維品質(zhì),提高綜合運(yùn)用知識的能力.