王愛法，王麗麗

(1. 西北大學數(shù)學學院，陜西西安710127；2. 重慶理工大學理學院，重慶400054)

1 預備知識

設(S,+,·)是一個(2，2)-型代數(shù).若(S,+,·)滿足：

(i) (S,+)和(S，·)都是半群，

(ii) (S，+，·)滿足等式x(y+z)≈xy+xz和(x+y)z≈xz+yz，

則稱(S，+，·)是半環(huán).進一步，如果(S，+)是一個半格，則稱(S,+，·)為ai-半環(huán).在ai-半環(huán)(S,+，·)上，可以自然地引入偏序關系≤：

a≤b?a+b=b.

一個典型的ai-半環(huán)是半格的自同態(tài)半環(huán).事實上，每一個ai-半環(huán)都可以嵌入到某一個半格的自同態(tài)半環(huán)中.眾所周知，所有的ai-半環(huán)形成一個簇.近年來，關于ai-半環(huán)特別是ai-半環(huán)簇的研究已經(jīng)成為半環(huán)理論的一個研究熱點，取得了一系列重要的研究成果[1-8].特別地，一些學者對某些ai-半環(huán)簇的自由對象進行了刻畫，給出了由某些特定等式所確定的ai-半環(huán)簇的自由對象的模型[6-7，9].特別地，在文獻[7]中，該文作者引入了如下的ai-半環(huán)簇的自由對象.

令S是一個半群.用P(S)和Pf(S)分別來表示S的所有子集的集合和所有非空子集的集合.在P(S)上定義運算：A+B=A∪B，AB={ab|a∈A,b∈B}，則P(S)和Pf(S)在上述運算下形成ai-半環(huán).事實上，若X+表示非空集合X上的一個自由半群，則Pf(X+) 是ai-半環(huán)簇中相對于映射k:X→Pf(X+),x→{x}的自由對象.

設Sg(m,2,1)表示由附加恒等式(x1x2…xm)2≈x1x2…xm定義的半群簇，Sr(m,2,1)表示由附加恒等式(x1x2…xm)2≈x1x2…xm定義的ai-半環(huán)簇.近年來，一些學者對Sg(m,2,1)和Sr(m,2,1)進行了研究.例如，2002年，Ren等[6]利用半群的閉子半群給出了Sr(1,2,1) 中自由對象的模型.2005年，Pastijn等[2，5]證明了Sr(1,2,1)的所有子簇形成一個78階的分配格，并且證明了這個簇的每一個子簇都是有限基底和有限生成的.

本文中引入半群的(m,2,1)-閉子半群的概念，并利用Sg(m,2,1)的自由對象來構造Sr(m,2,1)的自由對象.其結果將推廣和豐富文獻[6-7]中的結果.以下，用[n]表示集合{1,2,…，n}.其他概念和術語，讀者可參考文獻[10-12].

2 Sr(m,2,1)的自由對象

令S是一個半群，M?S，稱M為S的(m,2,1)-閉子集，如果

pai11ai22…aimmq∈M(?p,q∈S1,ai11,…,aimm∈S，i1,…,im=1,2)?pb11b12…b1mb21b22…b2mq∈M(?bs∈{ai|?∈[m]},s=1,2,∈[m]).

特別地，當m=1時，M即為文獻[6]中引入的閉子集：稱M是S的閉子集，如果對任意的p,q∈S1,a1,a2∈S，pa1q,pa2q∈M?pa1a2q∈M.顯然，M是閉子集當且僅當M是(1，2，1)-閉子集.設A是半群S的一個子集.容易驗證，S的所有包含A的(m,2,1)-閉子集(至少，S是一個包含A的閉子集)的交集仍然是S的一個(m,2,1)-閉子集并且是包含A的S的最小的(m,2,1)-閉子集.本文中稱其為由A生成的S的(m,2,1)-閉子集，記作[A].如果A是一個有限子集，則稱[A]是有限生成的.

引理1令S是一個半群且A是其子集.定義A(k)(k≥0)如下：

1)A(0)=A;

2)A(k+1)={pb11b12…b1mb21b22…b2mq|p,q∈S1，ai1,ai2，…，aim∈S,i1,…,im=1，2，pai1ai2…aimq∈A(k),bs∈{ai|?∈[m]},s=1,2,∈[m]}∪A(k).

則對任意的A，B∈P(S)，有

(i)A(0)?A(1)?…?A(k)?A(k+1)?…;

(ii)A?B?(?k≥0)A(k)?B(k);

證明(i) 是顯然的.

(ii) 令A?B.當k=0時，顯然有A(0)?B(0).假設k≥0且A(k)?B(k)，證明A(k+1)?B(k+1).令x∈A(k+1)，需要考慮下列兩種情況：

1)x∈A(k).因為A(k)?B(k)，有x∈B(k).由B(k)?B(k+1)可以推出x∈B(k+1).

2)x=pb11b12…b1mb21b22…b2mq,p,q∈S1，ai1,ai2,…,aim∈S，pai1ai2…aimq∈A(k),i1,…,im=1,2,bs∈{ai|?∈[m]},s=1,2,∈[m].因為A(k)?B(k)，有{pai1ai2…aimq|ai1,ai2,…,aim∈S，i1,…,im=1,2}?B(k)，因此x=pb11b12…b1mb21b22…b2mq∈B(k+1).

從而證明了A(k+1)?B(k+1).由歸納法可知，對任意的k，都有A(k)?B(k).

1)x∈A(k).因為A(k)?M，有x∈M.

2)x=pb11b12…b1mb21b22…b2mq,p,q∈S1，ai1,ai2,…,aim∈S，pai1ai2…aimq∈A(k),i1,…,im=1,2,bs∈{ai|?∈[m]}，s=1,2,∈[m].由A(k)?M，得到{pai1ai2…aimq|ai1,ai2,…,aim∈S，i1,…,im=1,2}?M.因為M是(m,2,1)-閉子集，從而可推出x=pb11b12…b1mb21b22…b2mq∈M.

引理2令S∈Sg(m,2,1)，則對任意的k和A,B,C∈P(S),

A?B(k)?AC?(BC)(k),CA?(CB)(k).

證明由對偶原理，只需要證明對任意的k和A,B,C∈P(S)，

A?B(k)?AC?(BC)(k).

當k=0時，如果A?B(0)，則A?B.進一步，有AC?BC.從而推出AC?(BC)(0).假設k≥1且A?B(k).令a∈A，c∈C.因為a∈B(k),只需要考慮下列情況:

1)a∈B(k-1).由假設知ac∈(BC)(k-1),又由(BC)(k-1)?(BC)(k)可得ac∈(BC)(k).

2)a=pb11b12…b1mb21b22…b2mq,p,q∈S1,ai1,ai2,…，aim∈S，pai1ai2…aimq∈B(k-1),i1,…,im=1,2,bs∈{ai|?∈[m]},s=1,2,∈[m].顯然，{pai1ai2…aimq|ai1,ai2,…,aim∈S,i1,…,im=1,2}?B(k-1).由假設有{pai1ai2…aimqc|ai1,ai2,…,aim∈S,i1,…,im=1,2}?B(k-1)，從而可以得到ac=pb11b12…b1mb21b22…b2mqc∈(BC)(k)，因此有ac∈(BC)(k).從而有AC?(BC)(k).

由歸納法可知結論成立.

令S是一個半群.在Pf(S)定義二元關系ρ如下：

(A,B)∈ρ?[A]=[B].顯然，ρ是Pf(S)上的一個等價關系.事實上，有

定理1令S∈Sg(m,2,1)，則ρ是Pf(S)上的一個半環(huán)同余且Pf(S)/ρ∈Sr(m,2,1).

證明令A，B，C∈Pf(S)且(A,B)∈ρ.要證明ρ是一個半環(huán)同余，只需證明(A∪C，B∪C)∈ρ,(AC,BC)∈ρ和(CA，CB)∈ρ.

要證Pf(S)/ρ∈Sr(m,2,1)，只需證A1,…,Am∈Pf(S)，((A1…Am)2，A1…Am)∈ρ，即，[(A1…Am)2]=[A1…Am].令bi∈Ai，這里i∈[m]，則b1…bm=(b1…bm)2∈(A1…Am)2.因此A1…Am?(A1…Am)2，進一步有[A1…Am]?[(A1…Am)2].如果x∈(A1…Am)2，則存在ai1ai2…aim∈A1…Am,ai1,ai2,…,aim∈S，i1,…，im=1,2,bs∈{ai|?∈[m]},s=1,2,∈[m]使得x=pb11b12…b1mb21b22…b2mq.因為pb11b12…b1mb21b22…b2mq∈(A1…Am)(1)?[A1…Am],所以x=pb11b12…b1mb21b22…b2mq∈[A1…Am].因此(A1…Am)2?[A1…Am]并且[(A1…Am)2]?[A1…Am].因此得到[(A1…Am)2]=[A1…Am].

引理3設(S,·)∈Sg(m,2,1),(T,+,·)∈Sr(m,2,1)，令φ是由半群S到半環(huán)T的乘法導出半群上的一個半群同態(tài)，則對任意的自然數(shù)k及A，B∈Pf(S),有

2)a=pb11b12…b1mb21b22…b2mq,p,q∈S1，ai11,ai22,…,aimm∈S，pai11ai22…aimmq∈B(k-1),i1,i2,…,im=1,2,bs∈{ai|?∈[m]},s=1,2,∈[m].由歸納假設可得進一步，

φ(p)(φ(a11)+φ(a21))(φ(a12)+

φ(a22))…(φ(a1m)+φ(a2m))φ(q)=

φ(p)((φ(a11)+φ(a21))(φ(a12)+

φ(a22))…(φ(a1m)+φ(a2m)))φ(q)≥

φ(pb11b12…b1mb21b22…b2mq)=φ(a).

上面是對于p,q∈S的情況的證明.p?S或q?S的情況可類似證明.

下面利用Sg(m,2,1)的自由對象來構造Sr(m,2,1)的自由對象.這一結果推廣了文獻[7]中的定理3.5.

定理2令X是一個非空子集，F(xiàn)X是X上Sg(m,2,1)相應于映射ι：X→FX的自由對象，則Pf(FX)/ρ是X上Sr(m,2,1)相應于映射κ:X→Pf(FX)/ρ,x→{ι(x)}ρ的自由對象.

證明由定理1可知Pf(FX)/ρ∈Sr(m,2,1).假設S∈Sr(m,2,1)且λ:X→S是任意一個映射.因為(S，·)∈Sg(m,2,1)且FX是Sg(m,2,1)的自由對象，則存在唯一的一個φ:FX→(S,·)使得

是一個交換圖，即φ°ι=λ.定義映射ψ:Pf(FX)/ρ→S如下：

首先，對任意的A,B∈Pf(FX)，

ψ((Aρ)+(Bρ))=

ψ(Aρ)+ψ(Bρ),

ψ((Aρ)(Bρ))=ψ((AB)ρ)=

因此ψ是Pf(FX)到S上的半環(huán)同態(tài).

其次，對任意的x∈X，(ψ°κ)(x)=ψ(k(x))=ψ({ι(x)}ρ)=φ(ι(x))=(φ°ι)(x)=λ(x)，因而ψ°κ=λ.

最后，令θ:Pf(FX)/ρ→S是一個半環(huán)同態(tài)且使得θ°κ=λ，定義映射α:FX→(S,·)如下：

α(a)=θ({a}ρ)(a∈FX).

[A]+[B]=[A∪B]，

[A]°[B]=[AB](A,B∈Pf(S)).