戴曉鳴 ，王維國

（1.東北財(cái)經(jīng)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，遼寧 大連 116025；2.大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028）

0 引言

在統(tǒng)計(jì)分析和計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中，往往通過建立統(tǒng)計(jì)或經(jīng)濟(jì)變量之間相互關(guān)系的模型，并通過一定的回歸方法對(duì)模型進(jìn)行估計(jì)。一般而言，回歸模型需要做一定的假設(shè)，其中隨機(jī)誤差項(xiàng)的同方差就是其中一項(xiàng)重要前提假設(shè)。但是，在實(shí)際回歸分析過程中，隨機(jī)誤差項(xiàng)同方差的假定往往不能得到滿足，也就是說，回歸模型存在一定的異方差性。大多數(shù)的情況都不能充分滿足隨機(jī)誤差項(xiàng)同方差這個(gè)條件的，因此大多數(shù)的模型都存在一定的異方差性。這種異方差性的存在，是多種原因共同作用而引起的，其中，模型變量選取的偏誤、截面數(shù)據(jù)各單位偏差較大等因素是造成回歸模型異方差的主要原因。如果在變量選取中出現(xiàn)重要變量疏漏，那么該變量便歸入模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)中，結(jié)果便造成了異方差。而截面數(shù)據(jù)中，各個(gè)單位之間的偏差可能較大，從而內(nèi)生性地造成模型的異方差。異方差模型下，普通的OLS方法進(jìn)行估計(jì)得到的結(jié)果具有明顯的有偏性，這與無偏性的假設(shè)相悖，因而OLS方法已不適用。當(dāng)然，目前學(xué)術(shù)界已采用多種方法檢驗(yàn)、修正或應(yīng)用于異方差模型。本文嘗試提出基于正交表的方法的一種新的兩階段最小二乘法，并比較它與傳統(tǒng)兩階段最小二乘法在異方差模型的應(yīng)用。

1 傳統(tǒng)兩階段最小二乘法對(duì)異方差模型估計(jì)

多元回歸模型中，假定 (x1i，x2i，…，xpi，yi) ，(i=1，2，3，…，n)為兩組樣本收據(jù)。首先，要利用多元線性回歸的方法，將上述模型變?yōu)橐辉€性回歸模型。然后，對(duì)每一個(gè)線性回歸模型進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。為了具體分析模型的模型的有限性，下面引入一個(gè)自變量xi，對(duì)模型進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。步驟1：將樣本數(shù)據(jù)按照自變量的x1按照數(shù)據(jù)大小順序進(jìn)行排列，其他自變量與對(duì)應(yīng)變量的相對(duì)關(guān)系保持不變。步驟2：將樣本分為N組，第i組有ni個(gè)元素，則n滿

步驟3：令x1i為i組的第一個(gè)自變量的組中值，x2ij為i組 的 第 二 個(gè) 變 量 ，以 此 類 推 ，滿 足 定 (x1i，x2ij，…，xpij，yij) ，(i=1，2，3，…，n;j=1，2，3，…，ni)。

步驟4：假定分組數(shù)據(jù)滿足如下多元回歸模型：

其中，誤差項(xiàng)為εij，滿足。接著，對(duì)式（1）進(jìn)行變換，等式兩端同時(shí)除以σi，可得：

則誤差項(xiàng)為εij/σi。

步驟6：進(jìn)行第二階段估計(jì)，將估計(jì)量代入變換后的新模型，則新模型的OLS系數(shù)估計(jì)量為原模型的GLS系數(shù)估計(jì)。

2 改進(jìn)兩階段估計(jì)法對(duì)異方差模型估計(jì)

當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較小時(shí)，通過分組產(chǎn)生的重復(fù)數(shù)據(jù)會(huì)導(dǎo)致信息失真，部分樣本信息丟失，是的回歸模型的精度不高。為了提高回歸模型的精度，消除重復(fù)數(shù)據(jù)的影響，借鑒前人的研究，采用正交表的方法來改進(jìn)二階段估計(jì)法的第一階段。

假定樣本 (x1i，x2i，…，xpi，yi)，(i=1，2，3，…，m)，滿足如下回歸模型：

在模型（2）中，變量x1是引起異方差性的關(guān)鍵性變量。考慮到計(jì)算的簡化性與典型性，先假定p=3，利用正交表，產(chǎn)生重復(fù)設(shè)局L9(34)，然后對(duì)數(shù)據(jù)按照大小順序近分組，并進(jìn)行兩階段估計(jì)。

步驟1：利用正交表獲取重復(fù)數(shù)據(jù)，Δ=0.01,第i個(gè)樣本數(shù)據(jù)通過變換后產(chǎn)生的數(shù)據(jù)如下：

步驟2：假定每一個(gè)因變量yi的觀測值滿足正態(tài)分布N(yi，θ2)，從正態(tài)分布中隨機(jī)產(chǎn)生9個(gè)數(shù)據(jù)，記作yij，其中i=1，2，…，m;j=1，2，…，9;θ2=0.01 ，且yij與 (x1ij，x2ij，x3ij)相對(duì)應(yīng)。

步驟3：對(duì)i個(gè)樣本產(chǎn)生的觀測值按自變量從小到大排列，其他變量與自變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系保持不變，將與第i個(gè)樣本進(jìn)行排序后的數(shù)據(jù)記作第i組，滿足i=1，2，…，m，該組的第一個(gè)自變量的組中值為x(1i)分組后的數(shù)據(jù)為(x(1i)，x(2ij)，x(3ij))。

步驟4：利用模型（3）對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行變化，兩邊同時(shí)除以σi，可得變換后的同方差模型：

其中，εi/σi～N(0，σ2)。

步驟5：進(jìn)行第一階段估計(jì)，由于：

這里的ni為正交表的試驗(yàn)數(shù)，因此可采用第i組的方差估計(jì)第i個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的平方。

步驟6：進(jìn)行第二階段估計(jì)，將估計(jì)量=代入變換后的新模型，則新模型的OLS系數(shù)估計(jì)量為原模型的GLS系數(shù)估計(jì)。

3 改進(jìn)的兩階段最小二乘法估計(jì)異方差模型的數(shù)據(jù)模擬

通過簡單的數(shù)據(jù)模擬，對(duì)改進(jìn)后的兩階段最小二乘法和傳統(tǒng)的兩階段最小二乘法分別進(jìn)行估計(jì)和檢驗(yàn)，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較，以判斷改進(jìn)的兩階段最小二乘法在異方差模型應(yīng)用中是否有效。

首先，假定簡單的回歸模型如下：

其中，i=1，2，3，…，n；隨機(jī)誤差項(xiàng)εi服從正態(tài)分布，且滿足不同樣本i下的隨機(jī)誤差項(xiàng)之間相互獨(dú)立。根據(jù)傳統(tǒng)的兩階段最小二乘估計(jì)方法，通過改變分組數(shù)k，便可能改變模型估計(jì)的誤差。這里，分別列出當(dāng)取3、6和10時(shí)的回歸結(jié)果。為了使結(jié)果比較更加清晰，這里模擬時(shí)假定樣本容量較小，取n=30。其中，x1i、x2i、xpi,的數(shù)據(jù)序列由本文自行給定，但限于篇幅，此處略去具體數(shù)據(jù)。

本文給出均勻分布和正態(tài)分布兩種情況下的結(jié)果，具體模擬結(jié)果分別如表1、表2所示。其中MAEΣ、MAEy分別表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的平均絕對(duì)誤差、被解釋變量觀測值的平均絕對(duì)誤差；R2為模型的可決系數(shù)；βi(i=0，1，2，3)為回歸系數(shù)。

表1 均勻分布條件下的兩種兩階段最小二乘法估計(jì)結(jié)果比較

表2 正態(tài)分布條件下的兩種兩階段最小二乘法估計(jì)結(jié)果比較

根據(jù)表1和表2的估計(jì)結(jié)果可知，不管是采用均勻分布類型還是正態(tài)分布類型，改進(jìn)的兩階段最小二乘法估計(jì)的MAEΣ、MAEy和R2值都優(yōu)于傳統(tǒng)兩階段最小二乘法，變量系數(shù)值βi也都比傳統(tǒng)兩階段最小二乘法得到的系數(shù)值精確。由表3和表4（見下頁）可以明顯地看出，運(yùn)用改進(jìn)的兩階段最小二乘法估計(jì)得到的系數(shù)，與既定系數(shù)之間的偏差率要明顯低于傳統(tǒng)兩階段最小二乘法的偏差率。例如，對(duì)于β2而言，運(yùn)用改進(jìn)的兩階段最小二乘法在均勻分布條件下估計(jì)得到的系數(shù)值，與既定系數(shù)的偏差率僅為-0.77%，而用傳統(tǒng)兩階段最小二乘法估計(jì)得到的系數(shù)值，對(duì)于k=3、k=6和k=10時(shí)，與既定系數(shù)的偏差率分別達(dá)到了-11.03%、-7.59%和-5.34%。因此，通過以上數(shù)值模擬可以充分表明，運(yùn)用改進(jìn)后的兩階段最小二乘法對(duì)異方差模型進(jìn)行估計(jì)，得到的結(jié)果相對(duì)更加接近既定的模型參數(shù)，估計(jì)效果要優(yōu)于傳統(tǒng)的兩階段最小二乘法。

表3均勻分布條件下不同方法估計(jì)系數(shù)結(jié)果與既定系數(shù)的偏差率（單位：%）

表4正態(tài)分布條件下不同方法估計(jì)系數(shù)結(jié)果與既定系數(shù)的偏差率（單位：%）

雖然通過適當(dāng)控制分組數(shù)k，可以適當(dāng)降低傳統(tǒng)兩階段最小二乘法估計(jì)異方差模型得到的誤差，提高精確度，但是這比想象之中要復(fù)雜得多。從表3的偏差率可以看出，當(dāng)k取值為6時(shí)，四個(gè)參數(shù)的偏差率都要小于其他兩種取值（k=3和k=10）。但是，從表4偏差率又可以發(fā)現(xiàn)，在k取值分別為3、6、10時(shí)，四個(gè)參數(shù)的偏差率各有千秋，并不能指明到底k取值為何值時(shí)精度相對(duì)最高。在這種情況下，可能需要對(duì)k的取值進(jìn)一步斟酌。在實(shí)際運(yùn)用于異方差模型的過程中，這樣的情況難免會(huì)對(duì)模型處理帶來困難。但慶幸的是，運(yùn)用改進(jìn)的兩階段最小二乘法，在一定程度上可以解決這一問題。至少對(duì)于本例而言，無論是均勻分布條件還是正態(tài)分布條件，運(yùn)用改進(jìn)后的兩階段最小二乘法都能獲得相對(duì)理想的估計(jì)結(jié)果。

4 改進(jìn)兩階段最小二乘法估計(jì)異方差模型運(yùn)用的實(shí)例

為了進(jìn)一步從經(jīng)驗(yàn)上證明改進(jìn)的兩階段最小二乘法在運(yùn)用于異方差模型時(shí)，相比傳統(tǒng)兩階段最小二乘法更具優(yōu)越性，下面本文通過一則與我國經(jīng)濟(jì)運(yùn)行直接相關(guān)的案例進(jìn)行分析。這里重點(diǎn)考察我國城鎮(zhèn)居民人均服務(wù)性消費(fèi)支出與收入水平、地區(qū)宏觀經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平、服務(wù)業(yè)發(fā)展水平之間的關(guān)系。因變量Y代表城鎮(zhèn)居民人均服務(wù)性消費(fèi)支出；自變量X1代表城鎮(zhèn)居民人均可支配收入、X2代表地區(qū)生產(chǎn)總值（GDP）、X3代表第三產(chǎn)業(yè)增加值。

采用2015年我國31個(gè)省、市、自治區(qū)的橫截面數(shù)據(jù)作為樣本。首先，通過普通的OLS估計(jì)，結(jié)果如下：

yi=-0.2103+0.2861x1i，+0.1927x2i+ …+0.6383xpi，+εI（9）

其中，可決系數(shù)R2僅為0.5278，F(xiàn)值也僅為3.6593，通過Goldfeld-Quandt檢驗(yàn)法和帕克檢驗(yàn)法都顯示了上述回歸模型存在異方差。

下面，利用上述改進(jìn)的二階段估計(jì)模型，對(duì)這些變量進(jìn)行分析。由于分組數(shù)據(jù)每組的樣本數(shù)據(jù)是一定的，為了避免每個(gè)樣本個(gè)數(shù)大，保證樣本數(shù)據(jù)的有限性，對(duì)傳統(tǒng)的二階段估計(jì)法進(jìn)行改進(jìn)。改進(jìn)后的二階段估計(jì)不僅避免了樣本個(gè)數(shù)較大的缺陷，也增強(qiáng)了精度。為了突出改進(jìn)方法的優(yōu)越性，對(duì)比原方法與改進(jìn)方法的參數(shù)估計(jì)差別，分別計(jì)算因變量Y的平均絕對(duì)誤差MAEy與系數(shù)R2，具體結(jié)果見表5所示。

表5 普通OLS估計(jì)法、兩種兩階段最小二乘法估計(jì)法的結(jié)果比較

由表5可以看出，城鎮(zhèn)居民人均服務(wù)性消費(fèi)支出與其可支配收入、地區(qū)生產(chǎn)總值、第三產(chǎn)業(yè)增加值都呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)性。無論是改進(jìn)的二階段參數(shù)估計(jì)，還是傳統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)都的得出相一致的變化結(jié)果。具體來看，人均服務(wù)性消費(fèi)支出與其可支配收入的估計(jì)系數(shù)為0.5791，說明當(dāng)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入每增加一個(gè)單位時(shí)，城鎮(zhèn)居民人均服務(wù)性消費(fèi)支出將增加0.5791個(gè)單位。人均服務(wù)性消費(fèi)支出與地區(qū)生產(chǎn)總值的估計(jì)系數(shù)為0.429，說明地區(qū)生產(chǎn)總值每增加一個(gè)單位時(shí)，城鎮(zhèn)居民人均服務(wù)性消費(fèi)支出將增加0.429個(gè)單位。人均服務(wù)性消費(fèi)支出與第三產(chǎn)業(yè)增加值的估計(jì)系數(shù)為0.8627，說明第三產(chǎn)業(yè)增長值每增加一個(gè)單位時(shí)，城鎮(zhèn)居民人均服務(wù)性消費(fèi)支出將增加0.8627個(gè)單位。改進(jìn)后的系數(shù)與分組的數(shù)據(jù)基本一致，相對(duì)而言，改進(jìn)的數(shù)據(jù)比分組的數(shù)據(jù)更為穩(wěn)定，基本位于分組數(shù)據(jù)的變動(dòng)范圍內(nèi)。

從平均絕對(duì)誤差MAEy來看，改進(jìn)的二階段估計(jì)模型的平均絕對(duì)誤差更小，說明擬合程度更優(yōu)，說明改進(jìn)的二階段模型更有利于因變量的值接近實(shí)際的觀測值。隨著分組數(shù)的增加，估計(jì)的精度也會(huì)隨之提升。從系數(shù)R2來看，改進(jìn)的二階段估計(jì)模型的系數(shù)明顯提高，由原來的0.9617、0.9633與0.9593提升到0.9937。由此可知，改進(jìn)的二階段估計(jì)模型能更好地解釋實(shí)際結(jié)果。

5 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種基于正交表的方法的改進(jìn)兩階段最小二乘法，將其應(yīng)用于異方差模型中。通過比較該方法與傳統(tǒng)兩階段最小二乘法在異方差模型的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)這種新型方法具有更高的估計(jì)精度，也在一定程度上解決了傳統(tǒng)兩階段最小二乘法在估計(jì)截面數(shù)據(jù)模型模型時(shí)因分組所帶來的精度問題。因此，本文認(rèn)為所提出的這種改進(jìn)的兩階段最小二乘法在處理異方差模型方面具有較高的實(shí)用性。盡管如此，本文所采用的改進(jìn)兩階段最小二乘法在應(yīng)用于異方差模型時(shí)仍帶有局限性，因?yàn)榛谡槐頂U(kuò)大數(shù)據(jù)樣本之后，也會(huì)產(chǎn)生新的變量隨機(jī)性，也可能對(duì)估計(jì)誤差帶來影響。所以，在以后的研究中，需要對(duì)此問題探索新的方法，并作出相應(yīng)修正，以使估計(jì)方法更加可靠。