陳 軍

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

本文以文獻(xiàn)[1]建立的火焰彎曲理論侵蝕函數(shù)方程為基礎(chǔ),發(fā)展了一種能夠預(yù)測(cè)AP固體復(fù)合推進(jìn)劑平均侵蝕函數(shù)的理論方法,并進(jìn)行了算例驗(yàn)證。

1 固體火箭復(fù)合推進(jìn)劑平均侵蝕函數(shù)預(yù)測(cè)的理論模型

以火焰彎曲理論為基礎(chǔ),文獻(xiàn)[1]給出了固體火箭復(fù)合推進(jìn)劑的火焰彎曲理論侵蝕函數(shù)方程,即

[(K3p2)2-1]m2ε6+[2(1+K2)m-m2b2-2m(K3p2)2]ε4+[(K3p2)2+2(1+K2)mb2-(1+K2)2]ε2-(1+K2)2b2=0

(1)

燃?xì)饬魉賤是影響侵蝕燃燒的主要因素,文獻(xiàn)[1]以方程(1)為模型,研究了固體火箭復(fù)合推進(jìn)劑ε-v的變化關(guān)系,從而得到侵蝕函數(shù)ε(v)。該侵蝕函數(shù)主要應(yīng)用于一維內(nèi)彈道計(jì)算。分析方程(1)可知,該方程綜合考慮了燃?xì)饬魉賤、壓強(qiáng)p、推進(jìn)劑性質(zhì)等因素對(duì)侵蝕的影響。由固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)原理可知,燃通比反映了這種綜合關(guān)系[6]:

(2)

設(shè)ε(v)=α+βv,其中,α,β為待求系數(shù),則速度平均侵蝕函數(shù)為

式中:Lp為固體火箭推進(jìn)劑的裝藥長(zhǎng)度,x為發(fā)動(dòng)機(jī)軸向坐標(biāo)。

一般地,燃?xì)饬魉賤-x需要通過求解一維內(nèi)彈道來獲得。為簡(jiǎn)化計(jì)算,不妨設(shè):

(3)

則

(4)

故有

(5)

式中:v2為裝藥末端的燃?xì)饬魉?可通過氣體動(dòng)力學(xué)關(guān)系J=q(λ)來計(jì)算[7],其中,J為喉通比,q(λ)為氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù),λ為速度系數(shù)。

(6)

式中:π(λ2)為氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù),λ2為裝藥末端的燃?xì)饬魉傧禂?shù)。因此,裝藥末端的燃通比2為

(7)

2 侵蝕函數(shù)ε()的求解

獲得系數(shù)K1,K2,K3,可以直接利用MATLAB求解一元三次方程函數(shù)roots(·)的方法求解火焰彎曲理論侵蝕函數(shù)方程(1)[1,8]。與文獻(xiàn)[1]不同的是,這里需要考慮壓強(qiáng)的影響,并求出對(duì)應(yīng)的燃通比。

ε()=0.981 5+0.003 808+0.000 002 9892

(8)

表1 求解得到的不同燃通比(末端)的侵蝕函數(shù)值

圖1 擬合得到的侵蝕函數(shù)ε()曲線與離散數(shù)據(jù)的比較

3 平均侵蝕函數(shù)的計(jì)算

由固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)原理知,通過對(duì)侵蝕函數(shù)式(8)進(jìn)行平均,即可得到平均侵蝕:

(9)

以某中口徑固體火箭推進(jìn)劑為例,已知其平均侵蝕函數(shù)為

(10)

(11)

(12)

(13)

圖2為預(yù)測(cè)的侵蝕函數(shù)式(13)與原侵蝕函數(shù)式(10)的對(duì)比曲線,由圖可見,二者符合度較好。取該火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的最大,即=155.5,此處誤差最大,預(yù)測(cè)的侵蝕比為1.404 9,原侵蝕比為1.387 5,相對(duì)誤差為1.3%,滿足一般工程的精度要求。

圖2 預(yù)測(cè)的平均侵蝕函數(shù)與原侵蝕函數(shù)的比較

4 預(yù)測(cè)平均侵蝕函數(shù)的應(yīng)用分析

上述過程可以完全確定固體火箭復(fù)合推進(jìn)劑的平均侵蝕函數(shù)。為驗(yàn)證該方法的通用性,下面以不同于前述口徑的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)為例來進(jìn)一步計(jì)算和分析。

1)侵蝕函數(shù)ε()的求解。

首先按文獻(xiàn)[1]的方法擬合得出所研究固體火箭推進(jìn)劑燃速公式中的系數(shù)K1,K2,K3。計(jì)算得出該小口徑火箭發(fā)動(dòng)機(jī)K1=0.763 2,K2=19.908 9,K3=0.106 1。獲得系數(shù)K1,K2,K3后,直接利用MATLAB的roots(·)函數(shù)求解火焰彎曲理論侵蝕函數(shù)方程,得出不同燃?xì)饬魉傧娄?數(shù)據(jù)點(diǎn),最后擬合得到ε-的變化關(guān)系:

ε()=0.982 9+0.002 778+0.000 002 1712

(14)

對(duì)式(14)平均,可得平均侵蝕函數(shù):

(15)

(16)

將預(yù)測(cè)的侵蝕函數(shù)式(16)代入該火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的內(nèi)彈道模型,計(jì)算曲線如圖3所示,圖中,t為工作時(shí)間。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的比較如表2所示,表中,e為相對(duì)誤差,p0為初始?jí)簭?qiáng),pmax為最大壓強(qiáng)。由圖3、表2結(jié)果可見,預(yù)測(cè)侵蝕在初期偏小,但相差很小,精度較好,滿足一般工程精度要求。

圖3 某固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)壓強(qiáng)預(yù)測(cè)值與原始數(shù)據(jù)曲線的比較

表2 利用預(yù)測(cè)平均侵蝕函數(shù)計(jì)算的某固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)工作壓強(qiáng)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較

5 結(jié)論

通過對(duì)某中口徑復(fù)合推進(jìn)劑的建模、對(duì)某小口徑復(fù)合推進(jìn)劑的應(yīng)用分析,本文研究結(jié)果表明,利用火焰彎曲理論預(yù)測(cè)平均侵蝕函數(shù)的方法是可行的。該過程步驟如下:①求解侵蝕函數(shù)ε()。首先回歸出火焰彎曲理論燃速公式的系數(shù)K1,K2,K3,再求解火焰彎曲理論侵蝕函數(shù)方程,得出不同燃?xì)饬魉贂r(shí)ε-數(shù)據(jù)點(diǎn),擬合得到ε()的變化關(guān)系。②求解預(yù)測(cè)平均侵蝕函數(shù))。首先對(duì)ε()求平均,得到平均侵蝕函數(shù)),然后采用曲線積分面積相等的原則進(jìn)行變換,得到最終形式的平均侵蝕函數(shù))。

在使用該方法時(shí),文獻(xiàn)[1]中有關(guān)修正系數(shù)、尺寸效應(yīng)的應(yīng)用規(guī)律同樣適用,且保持?jǐn)?shù)值不變,這說明火焰彎曲理論在預(yù)測(cè)固體復(fù)合推進(jìn)劑的侵蝕函數(shù)方面具有比較好的規(guī)律性與合理性。另外,本研究只是針對(duì)AP復(fù)合推進(jìn)劑,是否適用于其他推進(jìn)劑還需要進(jìn)一步研究。