南通大學(xué)附屬中學(xué) 尤榮勇

基于問題的教學(xué)設(shè)計是以問題設(shè)計為中心，把學(xué)生置于有意義的問題學(xué)習(xí)環(huán)境中，通過解決系列問題而獲得自主學(xué)習(xí)能力和解決問題的技能，達到教學(xué)目標的達成。筆者以《對數(shù)的概念》為例，以若干問題為載體進行教學(xué)設(shè)計，是對概念課教學(xué)的一次嘗試，旨在拋磚引玉，還請專家、同行斧正。

一、教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容分析

本節(jié)課是普通高中標準實驗教科書數(shù)學(xué)必修1（蘇教版）中第三章對數(shù)函數(shù)內(nèi)容的第一課時，也是對數(shù)函數(shù)的入門。對數(shù)函數(shù)是本章研究的三大初等函數(shù)之一，在指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上對函數(shù)類型的一次拓廣，它在解決一些日常生活問題及科研中起十分重要的作用。

二、目標和目標解析

1.通過實例使學(xué)生認識對數(shù)的模型，體會引入對數(shù)的必要性；通過師生觀察、分析得出對數(shù)的概念及對數(shù)式與指數(shù)式的互化。

2.通過學(xué)生分組探究進行活動，理解對數(shù)的重要性質(zhì)。通過練習(xí)，使學(xué)生感受到理論與實踐的統(tǒng)一。

3.培養(yǎng)學(xué)生的類比、分析、歸納能力，嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)以及在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生探究的意識。

三、教學(xué)過程設(shè)計

（一）情景引入

1．類比運算，已知到未知，鋪墊新概念

問題1：求出下列式子中的三個未知量，并說明它們分別是什么運算？

（1）23=x；（2）y3=8；（3）2t=8。

設(shè)計意圖：對學(xué)生來說，求出未知量不難，（1）（2）分別是冪的運算、開方運算，但對（3）式是什么運算學(xué)生還不清楚，產(chǎn)生認知沖突，從而為導(dǎo)出對數(shù)運算做鋪墊。通過問題讓新舊概念建立起實質(zhì)的、非人為的聯(lián)系！

2．感受實例，突出必要性，引入新課題

問題2：海爾集團總裁張瑞敏問自己的員工：你堅持每天提高1%的效率，那么經(jīng)過多少天，你的工作水平就能提升一倍？你能幫幫他的員工嗎？如果你不能，退一步，你列個方程可以嗎？

(1+1%)x=2。

問題3：2t=8與(1+1%)x=2有什么共性？對于2t=8，易求t=3，而(1+1%)x=2你能否求出x的值？

設(shè)計意圖：從生活中的實際背景入手，讓學(xué)生進一步產(chǎn)生認知沖突，對學(xué)習(xí)新概念的必要性產(chǎn)生需求，并主動去發(fā)現(xiàn)新概念，為此引進一個數(shù)學(xué)符號表示這個數(shù)，那就是對數(shù)。

（二）概念建構(gòu)

定義：一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次冪等于N，即ab=N，那么就稱b是以a為底N的對數(shù)，記作logaN=b，a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)。

問題：ab=N與logaN=b這兩個等式有何關(guān)系？

設(shè)計意圖：水到渠成，從具體到抽象引入新概念，強調(diào)對數(shù)的書寫格式和讀法。a、b和N位置的不同以及它們各自的含義?；セw現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化這個重要的數(shù)學(xué)思想。

（三）數(shù)學(xué)運用

1．互動練習(xí)、交流總結(jié)，感知對數(shù)概念

（1）請你寫幾個指數(shù)式，并請你的同座將其改為對數(shù)式。

（2）思考問題：在你們寫的對數(shù)式logaN=b中，a，N，b的取值范圍各是什么？

設(shè)計意圖：對一些寫法中的錯誤或不規(guī)范寫法，讓學(xué)生相互糾正、去偽存真。通過這種互動的方式，讓學(xué)生自己感知對數(shù)式和指數(shù)式之間的關(guān)系，根據(jù)字母范圍的研究，培養(yǎng)學(xué)生類比、分析、歸納的能力。

2．典例選講，鞏固概念，滲透轉(zhuǎn)化思想

例1 將下列各指數(shù)式改寫成對數(shù)式：

問題：指數(shù)式改成對數(shù)式本質(zhì)是什么？

例2 將下列對數(shù)式改寫成指數(shù)式：

問題：對數(shù)式改成指數(shù)式本質(zhì)是什么？

設(shè)計意圖：通過例1和例2的師生活動，讓學(xué)生內(nèi)化指數(shù)式和對數(shù)式是一個式子的兩種形式，是等價的、可以互化的，它揭示了數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵。

例3 求下列各式的值：（1）log264；（2）log927。

問題：求對數(shù)值的本質(zhì)是什么？真數(shù)是底數(shù)的多少次冪？

設(shè)計意圖：回扣指數(shù)，理解對數(shù)，滲透化歸思想。

3．歸納特殊，探究規(guī)律，生成新的知識生長點

練習(xí)1：求下列對數(shù)的值：

（1）log51；（2）log101；（3）log1.011。

問題：你知道還有哪些數(shù)的對數(shù)值也是0？

練習(xí)2：求下列對數(shù)的值：

（1）log55；（2）log33；（3）log100100。

你知道還有哪些數(shù)的對數(shù)值也是1？

練習(xí)3：求下列各式的值：

通過上式的計算你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你會證明嗎？

練習(xí)4：求下列各式的值：

通過上式的計算你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你會證明嗎？

設(shè)計意圖：通過4組練習(xí)的運算，旨在讓學(xué)生產(chǎn)生四個新的知識生長點（對數(shù)四個性質(zhì)）：1的對數(shù)等于零，底數(shù)的對數(shù)等于1以及對數(shù)恒等式

4．特值計算，引入特殊對數(shù)，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價值

練習(xí)5：求下列各式的值：

我們通常將以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù)。為了簡便，N的常用對數(shù)log10N簡記作lgN。在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無理數(shù)e=2.71828……為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù)，為了簡便，N的自然對數(shù)logeN簡記作lnN。

設(shè)計意圖：若直接給出常用對數(shù)和自然對數(shù)符號，學(xué)生會對lg與ln這兩種特殊對數(shù)的符號產(chǎn)生疑問，有些突兀。這樣從問題計算入手，介紹數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的實際背景，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，使新舊知識有了連貫性。

5．知識升華，拓展訓(xùn)練

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生深層次理解對數(shù)的性質(zhì)、特殊對數(shù)的運算、指數(shù)之間對數(shù)的互化，在概念的應(yīng)用過程中培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力。

（四）歸納小結(jié)

知識：對數(shù)的概念、性質(zhì)。

思想：轉(zhuǎn)化與化歸。

方法：特殊到一般。

四、幾點思考

1．概念課教學(xué)不妨嘗試設(shè)計問題串，實現(xiàn)“講授型”向“探索型”轉(zhuǎn)變

傳統(tǒng)概念教學(xué)注重講授，把一些重要概念稍加分析，再通過習(xí)題鞏固，這樣處理根本達不到對概念本質(zhì)的理解，概念課教學(xué)應(yīng)該力求體現(xiàn)學(xué)生主體性的原則，以學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)作為新概念的生長點。不妨通過設(shè)計一些問題串，將所要學(xué)習(xí)的對數(shù)概念還原到已有指數(shù)概念的認識上，通過步步設(shè)問啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生去體驗對數(shù)與指數(shù)之間的聯(lián)系、啟迪思考對數(shù)中底數(shù)、真數(shù)的符號，通過練習(xí)、問題探究，讓學(xué)生去感受特殊對數(shù)的對數(shù)值。教學(xué)是一種慢的藝術(shù)，要不溫不火，充分發(fā)動學(xué)生，通過舉例、說理、交流等活動，給學(xué)生提供各種探索的機會，調(diào)動他們學(xué)習(xí)的積極性、求知欲。

2．概念課教學(xué)應(yīng)符合學(xué)生的認知規(guī)律，應(yīng)由“知識型”向“過程型”轉(zhuǎn)變

對數(shù)概念的獲得，應(yīng)符合學(xué)生的認知規(guī)律，教師不能直接告知知識、拋出定義。教材所呈現(xiàn)的是經(jīng)過數(shù)學(xué)專家整理過的數(shù)學(xué)知識，不一定完全符合學(xué)生的認知習(xí)慣，不可照本宣科。事實上，學(xué)生已學(xué)習(xí)了指數(shù)及指數(shù)函數(shù)，明白了指數(shù)運算是已知底數(shù)和指數(shù)求冪值，而對數(shù)則是已知底數(shù)和冪值求指數(shù)，二者是互逆的關(guān)系，這樣水到渠成地產(chǎn)生了對數(shù)的概念，從而讓學(xué)生感知了概念形成過程，既加深了學(xué)生對指數(shù)的理解，又為后面對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)做了充分準備。