顧志旭，鄭堅(jiān)，彭威，支建莊

陸軍工程大學(xué) 火炮工程系，石家莊 050003

端羥基聚丁二烯(HTPB)推進(jìn)劑是一種廣泛應(yīng)用于航空航天和軍事武器推進(jìn)系統(tǒng)的顆粒增強(qiáng)型復(fù)合材料，其力學(xué)行為直接影響到彈箭武器的使用可靠性[1]。建立準(zhǔn)確高效的本構(gòu)模型，是分析其力學(xué)行為的重要前提。

顆粒增強(qiáng)型復(fù)合材料的力學(xué)行為，不僅取決于組分的性質(zhì)，更依賴于組分間的細(xì)觀結(jié)構(gòu)。當(dāng)加載應(yīng)力或應(yīng)變較小時(shí)，材料通常表現(xiàn)出基體的黏彈性特征，而當(dāng)應(yīng)力或應(yīng)變較高時(shí)，顆粒/基體界面容易出現(xiàn)“脫濕”損傷而形成微空洞，微空洞生長融合形成微裂紋，微裂紋擴(kuò)展匯合形成宏觀裂紋，材料又表現(xiàn)出非線性特征[2]。為了描述上述黏彈性損傷行為，許多學(xué)者建立了不同的本構(gòu)模型。一方面，Xu等[3]基于熱力學(xué)理論和彈性-黏彈性對(duì)應(yīng)原理建立了熱黏彈性損傷本構(gòu)模型，該模型能夠預(yù)測(cè)寬泛溫度范圍下推進(jìn)劑的本構(gòu)行為。Yun等[4]引入軟化和循環(huán)加載效應(yīng)函數(shù)，建立了可以反映材料Mullins效應(yīng)的損傷本構(gòu)模型。此外，還有Park[5]、Ozupek[6]和Jung[7-8]等的一些工作。上述模型主要是從宏觀角度出發(fā)，忽略了材料損傷的具體細(xì)節(jié)，建立的各向同性損傷模型，通常具有較高的計(jì)算效率，但模型中往往含有若干物理意義并不十分明確的待定參數(shù)，如Xu模型[3]和Park模型[5]中的C(S)線。另一方面，Chen[9-10]，Tohgo[11]，Xu[12]以及Hur[13]等認(rèn)為顆粒/基體界面的脫濕是材料損傷的主要機(jī)制，利用空洞代替脫濕的顆粒，基于細(xì)觀均勻化理論，建立了不同的細(xì)觀模型。然而在低應(yīng)力三軸度時(shí)，顆粒/基體界面的脫濕并不完全，顆粒在界面完好的方向仍具有承載能力，上述模型難以反映材料此時(shí)表現(xiàn)出的宏觀各向異性特征。從另一個(gè)角度，彭威等[14]將界面的脫濕視為微裂紋的擴(kuò)展，采用微裂紋擴(kuò)展區(qū)的概念，建立了一個(gè)能夠表征各向異性損傷的本構(gòu)模型，但因需要確定多個(gè)損傷內(nèi)變量，并不方便于應(yīng)用。同時(shí)，由于采用了應(yīng)力強(qiáng)度因子作為微裂紋擴(kuò)展的判據(jù)，該模型不能反映材料的蠕變損傷特征。

由于HTPB材料的高填充比特性(高達(dá)85%)，脫濕形成的微空洞容易融合而形成微裂紋[15]。因此，本文在一個(gè)較大的觀察尺度上，將材料的主要損傷機(jī)制視為微裂紋的擴(kuò)展和匯合，而將顆粒脫濕、微空洞變形等細(xì)觀損傷視為裂尖失效區(qū)的演化變形。進(jìn)一步，在Abdel-Tawab宏觀本構(gòu)方程的基礎(chǔ)上，考慮微裂紋偏折擴(kuò)展的情形，建立了一個(gè)能夠反映材料損傷的應(yīng)變率和溫度依賴性，以及各向異性損傷特征的黏彈性本構(gòu)模型。

1 宏觀黏彈性損傷本構(gòu)方程

Abdel-Tawab和Weltsman[16]基于不可逆熱力學(xué)和疊加原理，假定損傷對(duì)材料柔量的平衡和瞬態(tài)部分具有相同的影響，推導(dǎo)出了如式(1)的本構(gòu)方程。

(1)

式(1)表明，可以通過有效應(yīng)力來考慮損傷的影響，但應(yīng)用的關(guān)鍵在于確定損傷映射張量的具體形式。下文基于微裂紋均勻化理論，推導(dǎo)損傷映射張量的一般的形式。

2 損傷映射張量和損傷內(nèi)變量

定義損傷內(nèi)變量為

(2)

式中：ai為微裂紋的半徑；ni為裂紋面的單位法向矢量；η為體密度；g(ai)和r(ni)分別為尺寸和取向分布函數(shù)；N為微裂紋群數(shù)(定義取向和尺寸均相同的微裂紋為一個(gè)群)；?表示并矢。

根據(jù)稀疏估計(jì)方法，當(dāng)忽略摩擦效應(yīng)時(shí)，彈性材料中微裂紋引入的柔度增量可以近似為[17]

ΔSijkl≈

(3)

式中：E0和υ0分別為無損材料的彈性模量和泊松比；ωik為損傷內(nèi)變量ω的分量；δjl為Kronecker符號(hào)。

(4)

式中：S0為無損彈性材料的柔度張量；ΔS(ω)為式(3)定義的柔度增量的張量形式。

根據(jù)式(1)中損傷映射張量的定義，有

(5)

將式(3)和式(4)代入式(5)，整理得損傷映射張量為

(6)

記Stest為實(shí)驗(yàn)測(cè)定的柔度張量，Scurrent為微裂紋擴(kuò)展至當(dāng)前狀態(tài)時(shí)的損傷柔度張量，則根據(jù)損傷映射張量的定義，有

Stest=S0:Pinitial

(7)

Scurrent=S0:Pcurrent

(8)

式中：Pinitial和Pcurrent分別為初始微裂紋和當(dāng)前微裂紋狀態(tài)對(duì)應(yīng)的損傷映射張量，由式(6)求得。顯然，S0和Scurrent是未知的。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需要找到由Stest向Scurrent映射的損傷映射張量。根據(jù)式(7)和式(8)，不難得到

(9)

3 黏彈性裂紋擴(kuò)展演化

3.1 能量擴(kuò)展準(zhǔn)則

(10)

根據(jù)式(10)，裂紋尖端的張開位移場(chǎng)可以表示為

(11)

式中：ρ為極徑；υ為泊松比。

同時(shí)，應(yīng)力場(chǎng)為

(12)

裂紋擴(kuò)展長度為Δc時(shí)所需能量為

(13)

式中：σγy和uγ分別由式(12)和式(11)給出；s為裂紋擴(kuò)展長度。

考慮Ⅰ型開裂，令φ=0，將式(11)和式(12)代入式(13)，有

(14)

式中：c為裂紋擴(kuò)展Δc前的尺寸。

裂紋擴(kuò)展的能量釋放率為

(15)

將式(15)推廣，考慮復(fù)合型開裂時(shí)，有

(16)

由式(10)和式(16)可見，在蠕變加載下，裂尖的能量釋放率為加載時(shí)間的遞增函數(shù)。若在加載初期穩(wěn)定的裂紋(G

3.2 裂紋偏折

假定初始缺陷半徑為a的錢幣形裂紋，則裂尖前緣任一點(diǎn)Q處的應(yīng)力強(qiáng)度因子為[19]

(17)

將式(17)代入式(16)，得Q點(diǎn)處的能量釋放率為

GQ(φ)=A1+A2sin2φ+A3cos2φ+A4sin(2φ)

(18)

式中：

假定在裂尖法向平面內(nèi)，裂紋沿周向應(yīng)力最大的方向進(jìn)行擴(kuò)展，則裂紋前緣不同點(diǎn)處的偏折角θk滿足:

(19)

式(19)表明，不同點(diǎn)處的偏折角通常并不相同。同樣，A和A′點(diǎn)的偏折角為最大，而B和B′點(diǎn)的偏折角為最小0(發(fā)生自相似擴(kuò)展)。故偏折擴(kuò)展后的幣形裂紋如圖2所示，裂紋前緣為一橢圓周線，長軸為CC′，短軸為DD′。

3.3 等效裂紋

對(duì)于圖2所示的三維偏折裂紋，分析其對(duì)材料柔量的影響時(shí)，存在著較大的困難。簡(jiǎn)化起見，采用Francois和Dascalu[20]的方法，將其等效為長軸為CC′，短軸為DD′的橢圓形裂紋，并且有

(20)

(21)

式中：an和an+1分別為擴(kuò)展前后的尺寸，如圖3所示；l為偏折擴(kuò)展的長度，由3.4節(jié)擴(kuò)展速率方程的確定；θkmax為幣形裂紋在A點(diǎn)的偏折角。

為了沿用損傷內(nèi)變量式(2)的定義，根據(jù)Sevostianov和Kachanov[21]的研究，用幣形裂紋來近似上述橢圓形裂紋，兩者的幾何關(guān)系為

(22)

式中：L為等效幣形裂紋的半徑；k=f/e,e和f分別為橢圓的長半軸和短半軸；Ξ(k)為第一類完全橢圓積分。

3.4 擴(kuò)展速率方程

Schapery[22]基于圖4所示的裂紋模型，得到的裂紋擴(kuò)展速率方程為

(23)

式中：Π為裂紋擴(kuò)展所需的斷裂能；σm為失效應(yīng)力；KI為Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子；C1和n為平面蠕變?nèi)崃緾v(t)≈C1tn時(shí)對(duì)應(yīng)的系數(shù)。圖4所示中，P為真實(shí)裂尖，P′為表觀裂尖，α為裂尖失效區(qū)長度，d為裂紋張開位移。

假定上一t1時(shí)刻，真實(shí)裂尖到達(dá)H點(diǎn)，表觀裂尖在I點(diǎn)，如圖5所示。當(dāng)前時(shí)刻t，裂紋向前擴(kuò)展α長度，真實(shí)裂尖和表觀裂尖分別到達(dá)J和H點(diǎn)。

在Δt=t-t1時(shí)間段內(nèi)，H點(diǎn)的張開位移由0增加到dm[24]，

(24)

假定KI與t呈冪函數(shù)關(guān)系，即KI～tμ，并注意到Cv(t)≈C1tn，則有

(25)

式中：r=2μ；κn=Γ(r)Γ(1+n)/Γ(1+n+r)。

裂紋擴(kuò)展長度為α?xí)r所需斷裂能為[24]

(26)

將式(26)代入式(23)，可得

(27)

(28)

式(28)即為裂紋擴(kuò)展的速率方程。

4 模型驗(yàn)證

利用ABAQUS二次開發(fā)接口UMAT，將上述模型嵌入其中，進(jìn)行分析計(jì)算。本構(gòu)方程式(1)的離散方法參見文獻(xiàn)[25]，而速率演化方程式(28)采用Euler方法求解，以節(jié)省計(jì)算量。損傷內(nèi)變量的計(jì)算更新流程如圖6所示。

假定材料初始狀態(tài)為各向同性，初始微裂紋空間均勻分布，尺寸為其統(tǒng)計(jì)平均值a0。模型參數(shù)a0、σm和N對(duì)本構(gòu)曲線的影響，同微裂紋自相似擴(kuò)展的情形[26]，此處不再贅述。

T/℃Gc/(mJ·mm-2)σm/MPaε=5 min-1ε=0.5 min-1ε=0.05 min-1ε=0.005 min-1-400.013.652.321.150.88 200.0010.780.510.420.28 600.000 10.450.370.300.20

表2 臨界能量釋放率Gc的擬合值Table 2 Fitted values of critical energy release rate Gc

不同溫度和應(yīng)變率下，臨界能量釋放率Gc的擬合值見表2。可見在同一溫度下，Gc受應(yīng)變率的影響有限，最大變幅為17%。故在表1中將其近似取為常數(shù)，并不影響預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性，如圖7所示。然而，其受溫度的影響較大，隨著溫度的升高而減小。

為便于說明，定義損傷應(yīng)力-應(yīng)變曲線偏離無損曲線的起始點(diǎn)為臨界損傷點(diǎn)(圖7中虛線與實(shí)線的交叉點(diǎn))，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力為臨界損傷應(yīng)力，記為σd。不同溫度和應(yīng)變率下，σd的近似估計(jì)值見表3。結(jié)合表1可見，失效應(yīng)力σm取值約為臨界損傷應(yīng)力σd的1～1.3倍，并且隨著應(yīng)變率的降低和溫度的升高而減小。這是由于，一方面本文采用了稀疏估計(jì)的方法，微裂紋周圍的平均應(yīng)力就為遠(yuǎn)場(chǎng)加載應(yīng)力。另一方面，受裂尖應(yīng)力放大效應(yīng)和脫濕卸載效應(yīng)的共同影響，裂尖失效區(qū)內(nèi)的平均應(yīng)力大于微裂紋周圍的平均應(yīng)力。

表3 臨界損傷應(yīng)力σd的近似值Table 3 Approximate values of critical damage stress σd

圖8給出了20 ℃，5/min應(yīng)變率加載下，部分微裂紋的擴(kuò)展情況。由圖8可見，在單軸x2向加載下，初始θ=90°的微裂紋不發(fā)生擴(kuò)展，而初始θ=7.95°的微裂紋擴(kuò)展尺寸最大，介于兩者之間的微裂紋，擴(kuò)展尺寸隨著初始θ角的增大而減小，等效微裂紋向垂直于加載軸的方向偏轉(zhuǎn)。

(29)

(30)

最后，檢驗(yàn)3.4節(jié)中的基本假設(shè)KI～tμ。圖10給出了初始θ=7.95°,58.59°的2個(gè)微裂紋，分別對(duì)應(yīng)圖1中A和B點(diǎn)的KI-t曲線。其中離散點(diǎn)為UMAT計(jì)算的KI值，實(shí)線為KI～tμ關(guān)系的擬合曲線。由圖10可見，對(duì)于不同取向的微裂紋，假設(shè)KI～tμ近似成立，但μ的取值并不相同。為便于應(yīng)用，進(jìn)一步假定不同微裂紋的μ值相同。當(dāng)μ取0.5時(shí)，式(28)與文獻(xiàn)[24]中的式(76)相同，此時(shí)的KI～t0.5擬合曲線如圖9中虛線所示?？梢姡谝欢ǖ恼`差范圍內(nèi)，可以用KI～t0.5來近似KI～tμ，而不影響模型的預(yù)測(cè)精度，見圖7。

5 結(jié) 論

1) 基于黏彈性微裂紋偏折擴(kuò)展模型建立的損傷本構(gòu)模型，能夠有效反映材料損傷的應(yīng)變率和溫度依賴性，以及各向異性損傷特征。

2) 裂尖失效區(qū)內(nèi)的失效應(yīng)力隨著應(yīng)變率的降低和溫度升高而減小，取值約為臨界損傷應(yīng)力的1～1.3倍。臨界能量釋放率隨著溫度的升高而減小，而受應(yīng)變率的影響較小，同一溫度下可近似為常數(shù)。

3) 損傷映射張量具有非完全對(duì)稱性，其物理意義是，用等效應(yīng)力空間中各向同性材料的復(fù)雜的多軸加載，模擬真實(shí)應(yīng)力空間中各向異性材料的多軸加載。