楊劍鋒， 石戈戈， 周天奇， 高鋒陽

(1. 蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，蘭州 730070； 2. 蘭州交通大學(xué) 光電技術(shù)與智能控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730070)

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)自Huang等[1-2]提出后，由于其在處理非線性、非平穩(wěn)性信號(hào)方面的優(yōu)越特性，在工程實(shí)踐和研究領(lǐng)域得到了快速發(fā)展。由于該算法相關(guān)理論還有待完善，所以在數(shù)據(jù)分解過程中出現(xiàn)了一些問題，端點(diǎn)效應(yīng)就是其中很重要的一個(gè)[3]，嚴(yán)重影響了結(jié)果的準(zhǔn)確性和有效性。針對(duì)此問題，前后有許多研究人員致力于端點(diǎn)效應(yīng)抑制算法的研究。其間有很多端點(diǎn)效應(yīng)抑制算法被提出，由于基于波形匹配的端點(diǎn)延拓算法[4]不僅考慮了端點(diǎn)處的數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)同時(shí)還考慮到了原始波形內(nèi)部的數(shù)據(jù)變化，具有很好的端點(diǎn)效應(yīng)抑制效果，特別在信號(hào)規(guī)律性較強(qiáng)的情況下，所以在EMD端點(diǎn)效應(yīng)的抑制方面得到了廣泛的應(yīng)用。波形匹配延拓法抑制端點(diǎn)效應(yīng)效果的好壞很大程度上取決于波形匹配的精確度和效率，針對(duì)此種情況，本文提出了基于自適應(yīng)序貫相似檢測(cè)波形匹配延拓的端點(diǎn)效應(yīng)抑制方法。

1 端點(diǎn)效應(yīng)及抑制方法

Huang等認(rèn)為每個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)均是由若干個(gè)單一模態(tài)的振動(dòng)疊加而成，基于這個(gè)基本理念，提出了固有模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function，IMF)的概念和EMD的基本原理。EMD過程實(shí)際上就是通過信號(hào)極值點(diǎn)，形成上、下包絡(luò)，再通過反復(fù)篩選，按高階分量到低階分量的順序，分解出IMF的過程。正是借助于EMD過程，才使分解得到的IMF在做Hilbert變換后得到的瞬時(shí)頻率具有物理意義。

由于EMD分解時(shí)須對(duì)極值點(diǎn)進(jìn)行三次樣條插值形成包絡(luò)線。但是信號(hào)的端點(diǎn)往往并不是極值點(diǎn)，導(dǎo)致在端點(diǎn)處形成包絡(luò)時(shí)出現(xiàn)下包絡(luò)超越上包絡(luò)，一部分信號(hào)處于上、下包絡(luò)之外的情況，最終導(dǎo)致端點(diǎn)處的波形失真[5]。如果待處理的信號(hào)時(shí)間尺度大或信號(hào)短時(shí)，失真現(xiàn)象還會(huì)向中間部分延伸，造成最終的IMF準(zhǔn)確性受到很大影響，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)棺罱K分解出的IMF失去其意義，這種現(xiàn)象被稱為端點(diǎn)效應(yīng)[6-7]。

近年來，國(guó)內(nèi)學(xué)者通過深入學(xué)習(xí)和研究提出了不少算法來抑制端點(diǎn)效應(yīng)在信號(hào)EMD分解過程中帶來的不良影響。典型的有Huang等提出的特征波法；文獻(xiàn)[8]所提的鏡像閉合延拓法，該方法依據(jù)的是在左右對(duì)稱的極值點(diǎn)處采用鏡像原理使原始信號(hào)對(duì)稱延長(zhǎng)為原信號(hào)的兩倍，延長(zhǎng)后的信號(hào)首尾相接后便形成了一個(gè)閉環(huán)，消除了端點(diǎn)，也就消除了端點(diǎn)效應(yīng)[9]。這種方法直觀性強(qiáng)，操作也簡(jiǎn)單，但是對(duì)信號(hào)本身的對(duì)稱性要求高，在處理對(duì)稱性不強(qiáng)的信號(hào)時(shí)，容易產(chǎn)生誤差。2010年，Wu等[10]提出了一種新穎的基于數(shù)學(xué)模型的比例延拓法，該算法計(jì)算和原理均簡(jiǎn)單，在處理端點(diǎn)效應(yīng)上的效果也很好，但在有些情況下滿足不了極大值和極小值交錯(cuò)的條件。此外，還有多項(xiàng)式擬合法等[11-12]。隨著人工智能的興起，基于人工智能的算法也陸續(xù)被提出，比較典型的有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法(Artificial Neural Network，ANN)[13]和支持向量機(jī)回歸法(Support Vector Regression，SVR)[14]，ANN經(jīng)過大量的數(shù)據(jù)訓(xùn)練，可以處理復(fù)雜的非線性數(shù)據(jù)，抑制端點(diǎn)效應(yīng)產(chǎn)生，但是算法本身復(fù)雜，計(jì)算和訓(xùn)練耗時(shí)長(zhǎng)。SVR具有泛化能力好等優(yōu)點(diǎn)，但是在選取最優(yōu)核函數(shù)和模型參數(shù)時(shí)仍然存在問題。

2 自適應(yīng)序貫相似性檢測(cè)波形匹配延拓

在端點(diǎn)效應(yīng)抑制方面常用的一種算法還有波形匹配延拓法，該算法依據(jù)的理念是信號(hào)的變化趨勢(shì)除了在端點(diǎn)處有所表現(xiàn)外，信號(hào)內(nèi)部也有表現(xiàn)，尤其是規(guī)律性較強(qiáng)的信號(hào)[15]。具體的操作流程主要包含兩個(gè)部分：①在信號(hào)內(nèi)部尋找與端點(diǎn)處變化趨勢(shì)最為吻合的一段子波；②將匹配最佳的子波平移到端點(diǎn)處進(jìn)行延拓。該算法由于其端點(diǎn)效應(yīng)抑制效果的優(yōu)越，尤其在針對(duì)規(guī)律性較強(qiáng)的信號(hào)的端點(diǎn)效應(yīng)處理方面得到了廣泛的應(yīng)用。其最佳匹配子波的尋找算法是研究該算法的關(guān)鍵和熱點(diǎn)。針對(duì)此問題，本文提出了一種基于自適應(yīng)序貫相似性檢測(cè)波形匹配延拓的EMD端點(diǎn)效應(yīng)抑制方法。

序貫分析這一概念來源于數(shù)理統(tǒng)計(jì)，其名稱出自瓦爾德的一本同名著作，其主要的研究方向是序貫抽樣方案并用此種方案進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。其主要思想是在抽取樣本的過程中并不事先確定所需樣本個(gè)數(shù)，而是先抽取一小部分，再根據(jù)這一小部分樣本的結(jié)果決定是否進(jìn)行繼續(xù)抽樣工作，從而有效降低抽樣個(gè)數(shù)。

序貫相似性檢測(cè)算法由于其計(jì)算量低，精度高的優(yōu)點(diǎn)，在圖像匹配等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。其性能的主要影響因素是閾值的選取及其調(diào)整策略。

以往截止閾值的定義一般直接采用匹配子波和待匹配子波幅值差的絕對(duì)值或平方形式，并不考慮匹配子波的幅值，這樣做的不足之處就是很難直觀反映出兩者的匹配精度，不利于閾值的選取。所以在本文中采用的是差值除以原始子波極大值減去極小值再平方的方式，讓單純的匹配誤差轉(zhuǎn)化為具有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的匹配精度誤差，提高直觀性和降低因閾值選取而引入的誤差。同時(shí)，在截止閾值調(diào)整過程中采用何種策略對(duì)于計(jì)算量有很大影響，本文以對(duì)折的自適應(yīng)方式調(diào)節(jié)截止閾值，可以用最快的速率遍歷每個(gè)待匹配子波，用最少的時(shí)間選出最佳匹配子波。而且相對(duì)于通常均勻調(diào)整的方式，由于對(duì)折方式的收縮速度更快，所以還可減少初始閾值選取帶來的的計(jì)算量影響，增加算法性能的穩(wěn)定性。通過重復(fù)上述步驟，最終選取出最佳匹配波形，再經(jīng)過平移進(jìn)行端點(diǎn)延拓。

其具體操作步驟如下：

步驟1確定端點(diǎn)處的原始子波X，為了能較好的反映端點(diǎn)處波形的變化趨勢(shì)，選取的原始子波應(yīng)包含一個(gè)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，縱坐標(biāo)分別記為M和m，對(duì)原始子波進(jìn)行采樣，得到K個(gè)采樣點(diǎn)值；

步驟2對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行采樣，并形成若干與原始子波長(zhǎng)度相等的待匹配子波庫(kù)Y；

步驟3選擇初始截止閾值T1；

步驟6重復(fù)上述步驟，選出初始截止閾值下的若干種子波形；

步驟7若上述步驟選出的種子波形的數(shù)量N≥2時(shí)，減小截止閾值，重復(fù)上述步驟。N=0時(shí)，則增大截止閾值，重復(fù)步驟1～步驟5直到能選出種子子波；

步驟9重復(fù)步驟1～步驟8，直到選出的種子波形數(shù)量為1，該子波記為最佳匹配波形；

步驟10分別選出左右兩端的最佳匹配波形后，平移完成端點(diǎn)延拓。

3 模擬信號(hào)仿真分析

為了驗(yàn)證算法的有效性，本文引用了一個(gè)非線性的調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)，其表達(dá)式為

y(t)=(1+0.15 sin(2π×7.5t))cos(2π×30t+
0.6×sin(2π×15t))+sin(2π×120t)

(1)

式中： 采樣頻率為3 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為600，為了便于觀察算法結(jié)果的對(duì)比，下面給出了信號(hào)的組成分量和合成信號(hào)(見圖1)。

圖1 信號(hào)組成及合成信號(hào)Fig.1 Signal components and synthetic signal

圖2為沒有進(jìn)行端點(diǎn)處理直接進(jìn)行EMD得到的各個(gè)IMF分量及其余量，圖3為相應(yīng)的Hilbert譜，由圖2和圖3可知，在沒有進(jìn)行任何端點(diǎn)處理的情況下直接進(jìn)行EMD會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的端點(diǎn)效應(yīng)同時(shí)還產(chǎn)生了一個(gè)虛假固有模態(tài)分量。

圖2 原信號(hào)EMD結(jié)果Fig.2 EMD result of original signal

圖3 原信號(hào)EMD結(jié)果的Hilbert譜Fig.3 Hilbert spectrum of original EMD result

為了驗(yàn)證算法延拓的波形是否符合原信號(hào)的發(fā)展趨勢(shì)，本文將原信號(hào)左右兩端各自截去了50個(gè)采樣點(diǎn)的長(zhǎng)度，再通過算法在信號(hào)兩端分別進(jìn)行延拓，通過延拓后信號(hào)與原信號(hào)的對(duì)比來驗(yàn)證算法準(zhǔn)確性。圖4中，實(shí)線為未截取的信號(hào)，虛線部分為采用自適應(yīng)序貫相似性檢測(cè)波形匹配延拓的信號(hào)。由圖4可知，采用自適應(yīng)序貫相似性檢測(cè)波形匹配延拓的信號(hào)與原信號(hào)的相似度很高，表明本文算法具有很好的準(zhǔn)確性。

圖4 原信號(hào)與延拓后信號(hào)對(duì)比Fig.4 Contrast between extension result and original signal

圖5和圖6分別為采用本文算法處理后的EMD結(jié)果和相應(yīng)的Hilbert譜，由圖5和圖6可知，經(jīng)過本文算法處理，IMF分量的Hilbert譜端點(diǎn)處的波動(dòng)明顯降低很多同時(shí)還減少了一個(gè)偽分量，表明了本文算法對(duì)EMD過程中的端點(diǎn)效應(yīng)有很好的抑制效果。

圖5 延拓后EMD結(jié)果Fig.5 EMD result after extension

圖6 本文算法延拓后EMD結(jié)果的Hilbert譜Fig.6 Hilbert spectrum of proposed algorithm EMD result after extension

圖7和圖8分別為未經(jīng)端點(diǎn)處理的信號(hào)直接進(jìn)行EMD和幾種常見的端點(diǎn)效應(yīng)抑制方法處理后EMD產(chǎn)生的IMF1和IMF2和原信號(hào)高頻和低頻分量的對(duì)比。其中，虛線表示未進(jìn)行處理直接進(jìn)行EMD結(jié)果；點(diǎn)線表示鏡像延拓處理后的EMD結(jié)果;實(shí)線表示經(jīng)過本文算法處理后EMD結(jié)果；點(diǎn)畫線表示經(jīng)過多項(xiàng)式擬合法處理后EMD結(jié)果；星形線表示原信號(hào)的原始分量；由以上對(duì)比圖可以清晰看到經(jīng)過端點(diǎn)處理分解出的IMF分量較之未經(jīng)處理直接分解出的IMF分量，與原始分量更為相似，直觀上看，其中實(shí)線波形較之點(diǎn)線和點(diǎn)畫線波形，與星形線波形更為貼近。同時(shí)，通過調(diào)用MATLAB命令分別計(jì)算不同處理方法產(chǎn)生的IMF分量和與之相對(duì)應(yīng)的原始信號(hào)分量之間的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果也說明了本文算法對(duì)EMD過程中的端點(diǎn)效應(yīng)有相對(duì)更好的抑制效果。各種算法EMD結(jié)果與原始信號(hào)的相似度，如表1所示。

圖7 各種延拓方法EMD結(jié)果和原始正弦分量信號(hào)對(duì)比Fig.7 Contrast between original sine signal and EMD result of different extension methods

圖8 各種延拓方法和原始調(diào)幅信號(hào)對(duì)比Fig.8 Contrast between original amplitude modulated signal and EMD result of different extension methods

直接分解法鏡像延拓法本文算法多項(xiàng)式擬合法ρ-IMF10.933 40.995 10.998 30.993 5ρ-IMF20.926 50.994 90.997 60.994 6

4 實(shí)際信號(hào)分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法的有效性，本文選取了一段來自于美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)的電機(jī)驅(qū)動(dòng)端振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)來進(jìn)行分析，如圖9所示。直接進(jìn)行EMD和采取本文算法進(jìn)行端點(diǎn)處理后再進(jìn)行EMD的兩種情況分別進(jìn)行仿真對(duì)比。由圖10可知，直接進(jìn)行EMD會(huì)在IMF分量?jī)啥顺霈F(xiàn)較為嚴(yán)重的端點(diǎn)效應(yīng)；由圖11的分解結(jié)果可以看出采用本文算法進(jìn)行端點(diǎn)延拓后再進(jìn)行EMD可以很好的抑制端點(diǎn)效應(yīng)。

圖9 電機(jī)驅(qū)動(dòng)端振動(dòng)加速度信號(hào)Fig.9 Accelerometer data of motor drive end

圖10 振動(dòng)加速度信號(hào)EMD結(jié)果Fig.10 EMD result of drive end accelerometer data

圖11 本文算法處理后EMD結(jié)果Fig.11 EMD result of proposed algorithm

5 結(jié) 論

針對(duì)EMD過程中出現(xiàn)的端點(diǎn)效應(yīng)問題，本文在分析端點(diǎn)效應(yīng)產(chǎn)生原因的基礎(chǔ)上，提出了一種基于自適應(yīng)序貫相似性檢測(cè)波形匹配延拓的EMD端點(diǎn)效應(yīng)抑制方法。并對(duì)其進(jìn)行了仿真對(duì)比分析，驗(yàn)證了該算法在抑制EMD過程中的端點(diǎn)效應(yīng)具有很好的效果，并且該算法準(zhǔn)確性高，穩(wěn)健性強(qiáng)，匹配速度快，同時(shí)具有較強(qiáng)的通用性。但由于該算法是基于波形延拓的，所以對(duì)信號(hào)的規(guī)律性有一定要求，這也在一定程度上限制了它的應(yīng)用。同時(shí)，在選取最佳原始子波長(zhǎng)度等問題上也還需進(jìn)一步討論。