孫 櫻， 萬(wàn)雨婷， 陳力奮， 郭其威

(1. 復(fù)旦大學(xué) 航空航天系，上海 200433；2. 上海市空間飛行器機(jī)構(gòu)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109)

間隙和限位是實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中常見(jiàn)的、典型的非線性形式，常見(jiàn)的有鉸間隙、齒輪間隙等，如大型網(wǎng)架式可展空間結(jié)構(gòu)中有許多含間隙的運(yùn)動(dòng)副，可能導(dǎo)致空間結(jié)構(gòu)展開(kāi)時(shí)的非線性振動(dòng)、磨損以及結(jié)構(gòu)各部分展開(kāi)不同步等問(wèn)題[1]；限位則往往是考慮安全或功能需求而對(duì)物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置進(jìn)行了約束，如為了防止橋梁上部結(jié)構(gòu)在地震中發(fā)生落梁破壞而在伸縮縫處安裝的限位裝置[2]。大量研究表明，系統(tǒng)中的間隙或限位對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性影響顯著[3-5]。

含間隙結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析主要涉及間隙內(nèi)碰撞過(guò)程的處理和整體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程的求解。目前，根據(jù)結(jié)構(gòu)部件相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系的假設(shè)不同，可以將間隙內(nèi)碰撞過(guò)程歸結(jié)為四類模型[6]：連續(xù)接觸模型、有限元模型、經(jīng)典碰撞模型和接觸變形模型。Hertz基于接觸變形模型，對(duì)于能量耗散只考慮變形位移和變形速度的綜合作用，針對(duì)碰撞接觸面較小的靜態(tài)接觸問(wèn)題，提出了將間隙內(nèi)碰撞過(guò)程的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)近似地等效為分段線性的非線性模型?？紤]到限位約束的結(jié)構(gòu)特征，國(guó)內(nèi)外學(xué)者一般也將其簡(jiǎn)化為分段線性系統(tǒng)，如厲行軍等[7]將隔振裝置中的限位器簡(jiǎn)化為帶限位的單自由度單層隔沖系統(tǒng)。

對(duì)于系統(tǒng)中含有分段線性等非線性元件的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程，線性理論中的模態(tài)分析法或譜分析法不能適用，一般只能采用半解析方法或數(shù)值方法。常見(jiàn)的半解析方法有諧波平衡法、描述函數(shù)法、Volterra級(jí)數(shù)法[8]等。Maezawa等[9]首先將諧波平衡法應(yīng)用于分析單自由度分段線性問(wèn)題；Shaw等[10]將帶限位器的小車運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為分段線性單自由度系統(tǒng)，運(yùn)用映射手段獲得了系統(tǒng)的周期解析；Moussi等[11]對(duì)帶雙邊限位器的倒立擺系統(tǒng)用諧波平衡法和漸近法得到正弦激勵(lì)下的相圖，研究了第一、第二階共振頻率同激勵(lì)幅值的關(guān)系；吳志強(qiáng)等[12]將彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為對(duì)稱的分段線性模型，運(yùn)用平均法求得幅頻特性與相頻特性，基于約束分岔理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。數(shù)值方法則能夠精確地提供時(shí)域和頻域的信息。盧緒祥等[13]建立了含對(duì)稱間隙結(jié)構(gòu)的碰撞振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，采用Runge-Kutta法數(shù)值求解，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)隨著頻率比、激振力幅值和間隙的改變，出現(xiàn)了周期、倍周期和混沌運(yùn)動(dòng)；Onesmus等[14]研究了不同接觸力模型下的含兩間隙的平面剛體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性；林道福等[15]給出了帶有限位器的浮筏隔振系統(tǒng)在局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣表達(dá)，用紐馬克積分法計(jì)算結(jié)構(gòu)在基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。半解析法的特點(diǎn)在于計(jì)算效率快，但如果結(jié)構(gòu)過(guò)于復(fù)雜，一般難以得到其理論解形式；而數(shù)值解法對(duì)各種結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)均可計(jì)算，但耗時(shí)較長(zhǎng)，對(duì)相關(guān)參數(shù)的選取較為困難。

綜合國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究成果，對(duì)系統(tǒng)中含有分段線性非線性元件的結(jié)構(gòu)，目前的研究主要還是局限在單自由度或者少自由度系統(tǒng)，針對(duì)一般的有限元模型的分析方法尚不成熟。本文主要對(duì)于含單面限位分段線性模型的局部非線性結(jié)構(gòu)的主頻響應(yīng)分析方法展開(kāi)研究，采用描述函數(shù)表征單面限位非線性元件的頻域特性，基于迭代的逆陣更新方法快速求解大型多自由度結(jié)構(gòu)的主頻響應(yīng)，通過(guò)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，驗(yàn)證本文所提出分析方法的有效性。

1 基于描述函數(shù)的逆陣更新方法

受周期性諧波激勵(lì)的含有限個(gè)非線性元件的局部非線性結(jié)構(gòu)振動(dòng)微分方程為

(1)

式中：N(t)為結(jié)構(gòu)中的非線性內(nèi)力向量。由于非線性內(nèi)力的存在，使得式(1)所示的非線性系統(tǒng)頻響特性和激勵(lì)方式、激勵(lì)幅值有關(guān)；系統(tǒng)響應(yīng)可能包含激勵(lì)頻率以外的諧波成分，且振動(dòng)能量在這些頻率上的分布情況和激勵(lì)幅值密切相關(guān)。本文采用描述函數(shù)對(duì)非線性內(nèi)力進(jìn)行頻域特性表征，針對(duì)局部非線性結(jié)構(gòu)利用迭代的逆陣更新方法進(jìn)行非線性頻響的快速計(jì)算。

1.1 非線性內(nèi)力的描述函數(shù)表示

非線性內(nèi)力向量N(t)中的第k個(gè)分量Nk表示節(jié)點(diǎn)k與節(jié)點(diǎn)j之間的非線性內(nèi)力在第k個(gè)自由度上的分量nkj之和，即

(2)

式中：k=1,2,…，N；j=k為一端接地情形。如式(1)所示的非線性系統(tǒng)受周期性諧波Fsin(ωt)激勵(lì)時(shí)，設(shè)其試探解為

x(t)=Xsin(ωt+θ)

(3)

節(jié)點(diǎn)k與j之間的頻域相對(duì)位移Ykj為

(4)

式中：Xk為節(jié)點(diǎn)k的頻域位移響應(yīng)。

將式(3)所示的試探解代入式(1)，可知各非線性內(nèi)力形如nkj=nkj(sinωt,cosωt)，將其展開(kāi)成簡(jiǎn)諧形式

(5)

含有限個(gè)非線性元件的局部非線性結(jié)構(gòu)一般關(guān)注其主頻響應(yīng)，其對(duì)應(yīng)的非線性內(nèi)力也僅取其基頻項(xiàng)，即

nkj?Akj(X,ω)sin[ωt+φ1(X,ω)]=Akj(X,ω)sinψ(6)

式中：ψ=ωt+φ1，將Akj(X,ω)用傅里葉積分表示

(7)

令

Dkj(X,ω)

則有

(9a)

(9b)

式(8)所定義的Dkj(X,ω)即為文獻(xiàn)[16]中所示的非線性控制中的描述函數(shù)，若已知節(jié)點(diǎn)k與節(jié)點(diǎn)j之間的非線性內(nèi)力，則可由式(9a)和式(9b)計(jì)算描述函數(shù)Dkj(X,ω)。由式(8)不難發(fā)現(xiàn)，描述函數(shù)Dkj(X,ω)是節(jié)點(diǎn)k與節(jié)點(diǎn)j之間，一個(gè)周期內(nèi)的平均非線性內(nèi)力與相對(duì)位移之比，相當(dāng)于等效線性剛度

為了評(píng)價(jià)等效線性系統(tǒng)式(6)和原非線性系統(tǒng)式(5)的貼近程度，引入誤差函數(shù)

(10)

當(dāng)系統(tǒng)式(1)受到Fsin(ωt)={Fk(t)}激勵(lì)時(shí)，由文獻(xiàn)[17]可知，當(dāng)且僅當(dāng)

φf(shuō)kj nkj(τ)=φf(shuō)kj nkj,lin(τ)

(11)

成立時(shí)的等效線性系統(tǒng)式(6)才能使式(10)所示的誤差E取值最小。式(11)中φ為相對(duì)輸入fkj(t)=Fk(t)-Fj(t)與非線性內(nèi)力nkj(t)的互相關(guān)函數(shù)

(12)

不難驗(yàn)證，系統(tǒng)式(1)受到Fsin(ωt)激勵(lì)時(shí)，式(5)所示的原非線性內(nèi)力與式(6)所示的等效非線性內(nèi)力滿足式(11)，由此表明，式(6)為最優(yōu)準(zhǔn)線性化系統(tǒng)。

對(duì)于結(jié)構(gòu)中第k個(gè)自由度存在如圖1所示的單面限位非線性約束的系統(tǒng)，忽略摩擦及碰撞接觸時(shí)的動(dòng)量和能量損失，非線性內(nèi)力nkk由質(zhì)量塊與限位彈簧接觸前后剛度系數(shù)發(fā)生突變的非光滑因素而導(dǎo)致，可簡(jiǎn)化為圖2所示的雙線性模型，其中δ為間隙寬度，k1為接觸前剛度，接觸后剛度則為k1+k2，滿足

(13)

圖1 單面限位示意圖Fig.1 Diagram of single-sided limitation system

圖2 單面限位非線性模型Fig.2 Characteristic of nonlinear internal force

由式(9a)和式(9b)，可得單面限位非線性內(nèi)力nkk(t)的描述函數(shù)為

此即等效非線性內(nèi)力nkk(t)滿足式(8)的頻域表征。

1.2 逆陣更新方法(Inverse Matrix Update Method, IMUM)

將式(3)代入式(1)，考慮到式(2)和式(6)，則結(jié)構(gòu)的振動(dòng)微分方程式(1)可以化為

[-ω2M+iωC+K+Δ(X)]·X(ω)=F

(15)

其中非線性內(nèi)力向量N(t)的頻域幅值向量

G(X,ω)=Δ(X)·X(ω)

(16)

當(dāng)結(jié)構(gòu)僅含有限個(gè)非線性元件時(shí)，如在節(jié)點(diǎn)k處存在接地非線性元件，在節(jié)點(diǎn)i和j以及節(jié)點(diǎn)m與n之間存在非線性元件，則Δ(X)矩陣具有如下稀疏特性

上述Δ(X)可以進(jìn)一步寫(xiě)成表示非線性元件位置的向量δ以及非線性內(nèi)力描述函數(shù)的低階矩陣D的乘積

Δ(X)=δ·D·δT

(18)

其中用描述函數(shù)表示的非線性程度矩陣

(19)

非線性位置向量

(20)

第i列 第j列 第k列 第m列 第n列

式中：M為系統(tǒng)中非線性元件的個(gè)數(shù)。記α=(-ω2M+iωC+K)-1為結(jié)構(gòu)中線性部分的動(dòng)柔度矩陣，令

θ(X)=[α-1+Δ(X)]-1

(21)

稱θ(X)為非線性結(jié)構(gòu)的擬動(dòng)柔度矩陣。利用Sherman-Morrison法則[18]，由式(18)可得

(22)

由此即把局部非線性結(jié)構(gòu)擬動(dòng)柔度矩陣θ(X)的N階矩陣求逆問(wèn)題轉(zhuǎn)化為M階矩陣的求逆。一般來(lái)說(shuō)，局部非線性結(jié)構(gòu)中，非線性元件個(gè)數(shù)M遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)N，即M<

X(ω)=θ(X)·F

(23)

利用式(22)能極大地提高式(23)求解的計(jì)算效率，稱該方法為逆陣更新方法[19]。

1.3 非線性頻響的迭代求解

式(23)所示為關(guān)于非線性頻響X(ω)的非線性代數(shù)方程組，將通過(guò)構(gòu)造迭代格式進(jìn)行求解。為了改善迭代收斂的穩(wěn)定性，引入加權(quán)參數(shù)λ，構(gòu)造Mann迭代[20]格式

X(j+1)(ω)=λ(j)X(j+1)*(ω)+(1-λ(j))X(j)(ω),λ(j)∈(0,1)

(24)

式中：X(j+1)*(ω)=θ(X(j)(ω))·F具體算法流程見(jiàn)圖3。

圖3 逆陣更新的算法流程Fig.3 Flow chart for the computational algorithm IMUM

實(shí)際計(jì)算結(jié)果表明，λ取值越小迭代格式式(24)越容易收斂，但收斂速度越慢；且對(duì)于不同的頻率點(diǎn)ωi，迭代收斂的差異性較大，如當(dāng)激勵(lì)頻率接近系統(tǒng)固有頻率時(shí)較難收斂。為此，采用一種自適應(yīng)的λ取值算法[21]：如果在頻率ωi時(shí)迭代不收斂，取λ(j)(ωi)=λ(j)(ωi)·r(其中0

2 單面限位單自由度系統(tǒng)的仿真研究

研究如圖4所示含單面限位的T字型梁結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)由試件、實(shí)驗(yàn)平臺(tái)、激振器、數(shù)據(jù)控制采集系統(tǒng)、加速度和力傳感器組成。試件為一矩形截面懸臂梁，一端用壓塊固定，靠近另一自由端處有片梁限位；片梁用壓塊在兩端固定；片梁與懸臂梁之間的空隙，構(gòu)成一個(gè)一端接地的單面限位非線性約束。實(shí)驗(yàn)中通過(guò)調(diào)節(jié)片梁高度控制限位間隙δ的大小。

圖4 含單間隙懸臂梁結(jié)構(gòu)Fig.4 Cantilever beam with single-sided limitation

本節(jié)先通過(guò)對(duì)懸臂梁進(jìn)行單自由度建模，采用逆陣更新方法(IMUM)求解懸臂梁自由端的位移頻響，并與龍格—庫(kù)塔(RK45)法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

將圖4(c)所示懸臂梁簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)，接地端的間隙限位非線性約束模型如圖1所示。結(jié)構(gòu)參數(shù)為：質(zhì)量m=0.05 kg，由靜力學(xué)實(shí)驗(yàn)測(cè)得分段線性剛度分別為k1=300 N/m，k2=1 200 N/m，取間隙寬度δ=1.4 mm，設(shè)阻尼c=0.4 N·s/m；激勵(lì)為單頻簡(jiǎn)諧激勵(lì)P=Fsin(2πft)，F(xiàn)=0.08 N，f為掃頻頻率，掃頻范圍9～16 Hz，掃頻間隔0.02 Hz。分別用IMUM和RK45進(jìn)行由低到高和由高到低兩個(gè)方向的掃頻分析。

采用Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)采用以下措施：

(1)模擬掃頻時(shí)，在初始頻率點(diǎn)處，初始條件為零位移、零初速度；前一個(gè)頻率點(diǎn)(已達(dá)到穩(wěn)定)最后時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(位移和速度)作為后續(xù)頻率點(diǎn)的初始條件。

(2)在每個(gè)頻率點(diǎn)處，截取系統(tǒng)相鄰的幾段時(shí)域響應(yīng)，比較其幅值的大小，以此判斷系統(tǒng)是否已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。一旦判定系統(tǒng)穩(wěn)定，就進(jìn)入下一個(gè)頻率點(diǎn)。

圖5所示為兩種方法的計(jì)算結(jié)果。不難發(fā)現(xiàn)，兩種方法得到的正向和反向掃頻位移頻響曲線均表現(xiàn)出明顯的跳躍現(xiàn)象：由低到高跳躍點(diǎn)在14 Hz附近，由高到低跳躍點(diǎn)在13 Hz附近；且都有明顯的非光滑轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

圖6所示為兩種方法計(jì)算結(jié)果的比較，結(jié)果表明了IMUM方法計(jì)算單面限位非線性結(jié)構(gòu)頻響特性的有效性。圖中峰值附近略有差異，初步分析原因應(yīng)在于本文的IMUM方法僅考慮了響應(yīng)中的主頻成分。

圖5 單自由度單面限位系統(tǒng)位移頻響曲線Fig.5 Displacement frequency response of SDOF structure with single-sided limitation

圖6 IMUM和Runge-Kutta法系統(tǒng)位移頻響比較Fig.6 Displacement frequency response comparison between IMUM and RK4

比較兩種方法的計(jì)算時(shí)間可以發(fā)現(xiàn)，在相同計(jì)算條件下，RK45耗時(shí)2 045.35 s，IMUM耗時(shí)0.78 s。顯然，在計(jì)算精度保證的前提下，IMUM方法極大地提高了非線性頻響分析的計(jì)算效率。

進(jìn)一步分析定頻激勵(lì)下的時(shí)域響應(yīng)。選取跳躍點(diǎn)所在區(qū)域的頻率點(diǎn)13.5 Hz進(jìn)行定頻激勵(lì)，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)度370.37 s內(nèi)的位移響應(yīng)，期間進(jìn)行4次沖擊響應(yīng)的模擬分析，如圖7(b)所示。分別取一段低幅值穩(wěn)態(tài)和高幅值穩(wěn)態(tài)時(shí)的時(shí)域響應(yīng)信號(hào)(圖7(c)和圖7(d))，觀察到兩個(gè)顯著不同的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值1.19 mm和1.80 mm。由于結(jié)構(gòu)位移幅值超過(guò)間隙寬度，運(yùn)動(dòng)過(guò)程受到單面限位的限制，高幅值響應(yīng)曲線具有上下不對(duì)稱性；而結(jié)構(gòu)在反向掃頻的該頻率點(diǎn)處，位移幅值尚未因接近間隙寬度而發(fā)生幅值點(diǎn)的跳躍，表現(xiàn)為低幅值響應(yīng)曲線上下對(duì)稱。

圖7 雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象Fig.7 Bistable phenomenon

3 含單面限位的懸臂梁多自由度結(jié)構(gòu)頻響分析

實(shí)驗(yàn)采用的是如圖4所示的單面限位懸臂梁結(jié)構(gòu)，相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。懸臂梁與片梁的接觸剛度由重力-位移的靜力學(xué)試驗(yàn)測(cè)得，取1 200 N/m。激勵(lì)點(diǎn)、響應(yīng)點(diǎn)和間隙位置距離懸臂梁自由端分別為262 mm，6 mm，30 mm，如圖8(a)所示。

表1 懸臂梁相關(guān)參數(shù)

在ANSYS中建立單面限位懸臂梁模型，采用beam188單元，沿長(zhǎng)度方向每10 mm劃分一單元，共62個(gè)單元；力傳感器、加速度傳感器、片梁位置的單元號(hào)

圖8 實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)多自由度有限元模型Fig.8 Finite element model of experiment structure

分別為36，62和59，如圖8(b)所示。加速度傳感器質(zhì)量為10 g，相當(dāng)于懸臂梁上的一個(gè)集中質(zhì)量，因此結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量和剛度矩陣維數(shù)均為372×372。

通過(guò)改變單面限位間隙δ、激勵(lì)力幅值F的大小和不同的掃頻方式，研究間隙寬度和激勵(lì)力對(duì)單面限位非線性約束梁結(jié)構(gòu)頻響特征的影響。

仿真分析的工況參數(shù)與掃頻實(shí)驗(yàn)一致：①激勵(lì)力幅值F=0.2 N和0.4 N時(shí)的懸臂梁(未接觸到片梁)和間隙寬度δ=7 mm時(shí)約束梁的頻響特征；②間隙寬度δ=7 mm，F(xiàn)依次為1.0 N,1.4 N,1.8 N和2.0 N，對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)中墊放3片鋼尺；③激勵(lì)力幅值F=0.8 N，間隙寬度δ依次為4 mm,7 mm,10 mm,12 mm和20 mm，對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)中墊放鋼尺片數(shù)分別為4，3，2，1和0。

每種工況下，進(jìn)行由低到高和由高到低兩種掃頻模式。

3.1 非線性阻尼識(shí)別

考慮單面限位間隙約束懸臂梁中的非線性阻尼，假設(shè)線性與非線性阻尼均為跟剛度矩陣有關(guān)的比例阻尼：C=αK線性剛度+βM+υK非線性剛度。線性剛度部分對(duì)應(yīng)阻尼不隨工況的改變而改變，非線性剛度部分對(duì)應(yīng)阻尼隨工況的改變而變化。

由工況①中F=0.2 N和0.4 N時(shí)懸臂梁實(shí)驗(yàn)測(cè)得的頻響曲線，可以大致識(shí)別出線性比例阻尼系數(shù)α=2×10-4和β=0.2。圖9為IMUM仿真計(jì)算與實(shí)驗(yàn)曲線的對(duì)比，其中共振頻率和幅值：F=0.2 N時(shí)為15.2 Hz和3.4 mm；F=0.4 N時(shí)為15.2 Hz和7.5 mm，體現(xiàn)出較好的線性性。

工況①間隙寬度為7 mm，對(duì)應(yīng)于實(shí)驗(yàn)中墊放3片鋼尺，施加外激勵(lì)力幅值為F=0.8 N時(shí)，由約束梁實(shí)驗(yàn)測(cè)得的頻響曲線，可以大致識(shí)別出非線性比例阻尼系數(shù)υ=4×10-7。圖10為IMUM仿真計(jì)算與實(shí)驗(yàn)曲線的對(duì)比，圖中的頻響曲線特征(共振峰值和幅值的轉(zhuǎn)折點(diǎn))顯示出用IMUM法仿真分析的有效性。

(a) (b)圖9 懸臂梁線性比例阻尼識(shí)別結(jié)果Fig.9 Identification results of the linear proportional damping for the cantilever beam

圖10 F=0.8 N，間隙寬度為7 mm的約束梁非線性阻尼系數(shù)識(shí)別結(jié)果Fig.10 Identification results of the nonlinear proportional damping for the cantilever beam with F=0.8 N and δ=7 mm

3.2 仿真計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

利用工況①識(shí)別出的比例阻尼系數(shù)，針對(duì)工況②給出的4種激勵(lì)力幅值情況，計(jì)算梁結(jié)構(gòu)的位移頻響曲線，IMUM仿真計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖11所示。針對(duì)工況③給出的5種間隙寬度情況，計(jì)算梁結(jié)構(gòu)的位移頻響曲線，仿真計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖12所示。

從圖11可知，隨著激勵(lì)力幅值的增大，結(jié)構(gòu)的頻響特征有下述特點(diǎn)：

1)激勵(lì)力幅值F>0.6 N時(shí)，無(wú)論是仿真結(jié)果還是實(shí)驗(yàn)結(jié)果，結(jié)構(gòu)的一階固有頻率值和共振峰幅值隨著激勵(lì)力幅值的增加而增大，結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出明顯的硬彈簧特征；

2)懸臂梁與片梁碰撞后，位移幅值曲線在此處形成拐點(diǎn)，顯示出間隙非線性的非光滑特征。

從圖12可知，隨著墊放鋼尺片數(shù)的增加，即間隙寬度的減小，結(jié)構(gòu)的頻響特征表現(xiàn)為：

1)間隙寬度大于等于10 mm，此時(shí)片梁不起作用，結(jié)構(gòu)為懸臂梁；

2)間隙寬度小于7.8 mm，即墊放鋼尺片數(shù)大于等于3片時(shí)，隨著間隙寬度的減小(鋼尺片數(shù)的增加)，結(jié)構(gòu)的一階固有頻率值增大，共振峰幅值減小，結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出硬彈簧特征；

3)懸臂梁與片梁碰撞后，位移幅值曲線也相應(yīng)在此處形成拐點(diǎn)。

圖11 約束梁從低到高掃頻位移幅值曲線，間隙寬度7 mmFig.11 Displacement frequency responses for the T-shaped beam by forward sweep with δ=7 mm

圖12 約束梁從低到高掃頻位移幅值曲線，F(xiàn)=0.8 NFig.12 Displacement frequency responses for the T-shaped beam by forward sweep with F=0.8 N

選取工況②條件下，即間隙位置固定為7 mm(對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)中墊放3片鋼尺)，F(xiàn)依次為0.2 N，0.4 N,0.6 N,1.0 N,1.6 N,2.0 N進(jìn)行低高和高低兩種方式仿真計(jì)算，得到不同激勵(lì)力幅值下的位移幅值曲線見(jiàn)圖13。

圖13 激勵(lì)力幅值不同時(shí)，從低到高和從高到低掃頻的位移幅值曲線Fig.13 Displacement frequency responses for the T-shaped beam by forward and backward sweep with F=0.2 N，0.4 N,0.6 N,1.0 N,1.6 N,2.0 N

由圖13可知：

(1)激勵(lì)力幅值F達(dá)到0.6 N時(shí)，位移曲線出現(xiàn)“跳躍”現(xiàn)象，從低到高掃頻與從高到低掃頻兩條曲線不重合，出現(xiàn)跳躍區(qū)間，并且隨著激勵(lì)力幅值的增大，“跳躍”現(xiàn)象越明顯，跳躍區(qū)間越大；

(2)激勵(lì)力幅值F=0.2 N和0.4 N時(shí)，從低到高掃頻與從高到低掃頻兩條曲線基本重合，結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為線性特征。

綜合圖11～圖13不難發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)的間隙寬度越小，激勵(lì)力幅值越大，主梁結(jié)構(gòu)出現(xiàn)頻率漂移現(xiàn)象，表現(xiàn)出的硬剛度特性越明顯。單面限位的存在，使結(jié)構(gòu)的頻響曲線出現(xiàn)明顯的“跳躍”現(xiàn)象，呈現(xiàn)非線性振動(dòng)的雙穩(wěn)態(tài)特性。

4 結(jié) 論

本文基于描述函數(shù)和逆陣更新方法對(duì)含單面限位局部非線性結(jié)構(gòu)進(jìn)行基頻響應(yīng)分析。單自由度模型計(jì)算中，通過(guò)與RK45數(shù)值方法的對(duì)比，顯示出IMUM迭代算法的高效性和準(zhǔn)確性；在多自由度有限元模型基頻響應(yīng)分析中，通過(guò)非線性阻尼系數(shù)的識(shí)別，單面限位約束梁的IMUM仿真分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)了較好的一致性。分析結(jié)果表明，外激勵(lì)幅值的增加和間隙寬度的減小對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響有著相似的規(guī)律，都會(huì)使約束梁結(jié)構(gòu)出現(xiàn)頻率漂移現(xiàn)象，表現(xiàn)出越來(lái)越硬的剛度特性；間隙限位的存在，使結(jié)構(gòu)的頻響曲線出現(xiàn)明顯的“跳躍”現(xiàn)象，呈現(xiàn)非線性振動(dòng)的雙穩(wěn)態(tài)特性。