康 莊， 張 橙， 付 森， 徐 祥

(哈爾濱工程大學 深海工程技術研究中心，哈爾濱 150001)

渦激振動現(xiàn)象廣泛存在于許多工程領域中，例如海洋油氣勘探中的立管、橋梁懸索、天線等[1]。當一定流速的流體繞過柱形結(jié)構(gòu)物時，會在其后方產(chǎn)生周期性的泄渦現(xiàn)象，漩渦的不斷產(chǎn)生和脫落會對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生周期性變化的升力和阻力，使其發(fā)生橫流向和順流向的渦激振動，渦激振動是結(jié)構(gòu)產(chǎn)生疲勞損傷的重要原因之一。

對圓柱進行渦激振動進行研究是對立管等柱形結(jié)構(gòu)物渦激振動分析的基礎，近些年大量研究者通過開展模型試驗或采用CFD(Computational Fluid Dynamics)數(shù)值模擬以系統(tǒng)研究圓柱渦激振動中的諸多現(xiàn)象及產(chǎn)生機理等，如Govardhan等[2-6]等。這兩種方法的研究內(nèi)容較為豐富，但模型試驗的成本較高，CFD數(shù)值模擬又較為復雜，特別是在高雷諾數(shù)情況下的數(shù)值模擬仍是一個難題，其目前還難以滿足工程的實際需求，因此通過建立相應的數(shù)學模型并結(jié)合試驗數(shù)據(jù)選取合適的經(jīng)驗參數(shù)來快速預報渦激振動的一些重要特性得到了廣泛的關注。

Bishop等[7]最先提出了利用自激自限的Van der Pol方程來模擬渦激振動中流體對結(jié)構(gòu)的升力作用。之后Hartlen等[8]對Bishop等的模型進行了改進，將結(jié)構(gòu)振動的速度與Van der Pol方程進行耦合，其改進的模型是最早提出的尾流振子模型。在他們的研究基礎上，Griffin等[9-11]都對尾流振子模型進行了研究并取得了一定的成果，這也使得尾流振子模型逐漸成為預報圓柱體渦激振動的最經(jīng)典的模型。但他們的研究大多都只考慮了單自由度渦激振動，而渦激振動中的流向振動具有其高頻特性及對橫向振動產(chǎn)生的耦合作用，在渦激振動中所產(chǎn)生的作用是不可忽視的，特別是對于較低質(zhì)量比的結(jié)構(gòu)物。

Srinil等[12]通過采用兩個duffing方程和兩個Van der Pol方程來分別模擬結(jié)構(gòu)振子和流體振子的運動，但其得到的脈動升力與脈動阻力之間不存在聯(lián)系，難以充分考慮流向振動與橫向振動的耦合作用。秦偉等[13]利用離散點渦的方法推導了圓柱渦激振動所受的流體力，再結(jié)合線性振動方程與經(jīng)典尾流振子方程，得到了一種可以計算雙自由度渦激振動相關特性的模型，但其建立的雙自由度渦激振動預報模型中的線性化假設過多，使得最后預報結(jié)果的精度仍有提高的空間。

為定性且定量預報圓柱雙自由度渦激振動幅值響應、頻率及運動軌跡等重要特性，本文首先基于拉格朗日第二類動力學方程推導了雙自由度渦激振動方程，將傳統(tǒng)的線性結(jié)構(gòu)振動方程改為了非線性振動方程以提高預報精度；然后利用畢奧-沙伐定理、圓定理以及非定常流動的卜拉休斯合力公式推導了圓柱所受的脈動流體力，得出了脈動升力與脈動阻力間的數(shù)學關系，減少了方程數(shù)量，有利于提高計算效率；最后引入一個包含五階氣動阻尼項的高階Van der Pol方程來模擬流體振子，此方程可以更好地模擬遲滯現(xiàn)象以及低質(zhì)量比條件下振動幅值的超上端分支。在此基礎上提出了一種用以準確預報圓柱雙自由度渦激振動幅值等重要特性的高階非線性振子模型，然后對模型在不同質(zhì)量比和阻尼比下進行了驗證與分析，并對模型中各參數(shù)進行了敏感性分析，系統(tǒng)研究了該模型的預報特點。

1 高階非線性振子模型的建立

1.1 非線性結(jié)構(gòu)振動方程

結(jié)構(gòu)的渦激振動具有很強的非線性特征，以彈性支承方式來固定圓柱時一般會用到多個彈簧，特別是在雙自由度的渦激振動中，圓柱帶動彈簧運動時已經(jīng)不再是滿足線性條件。圓柱雙自由度渦激振動的模型，如圖1所示。四個彈簧的耦合作用使其運動表現(xiàn)出非線性特征。

對于圖1中的振動模型，設四個彈簧的彈性系數(shù)均為k，其原始長度均為a，圓柱位于中心的平衡位置時各彈簧均為原長狀態(tài)，則對于該系統(tǒng)，其動能為

(1)

勢能為

圖1 圓柱雙自由度渦激振動的模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of VIV of a cylinder with two DOF

(2)

則拉格朗日函數(shù)為

(3)

(4)

式中:qj分別為X和Y; 對式(4)求解即可得到X和Y方向的系統(tǒng)運動方程

(5a)

(5b)

可以發(fā)現(xiàn)式(5a)和式(5b)是非線性耦合方程，其非線性主要體現(xiàn)在彈簧的幾何非線性上，此公示較為復雜，難以直接求解，需要對其進行化簡。應用二元函數(shù)的泰勒展開公式對上式中的非線性項進行三階展開，得到

(6a)

(6b)

同時，考慮到kx=ky=2k，m=ms+ma，c=cs+cf。

(7a)

(7b)

可以發(fā)現(xiàn)改進的非線性結(jié)構(gòu)振動方程包含X3，XY2，Y3以及YX2，其中X3和Y3主要模擬振動的軸向幾何非線性，XY2和YX2主要模擬橫向和流向振動的耦合非線性，并且本文改進推導的方程將軸向幾何非線性參數(shù)和耦合非線性參數(shù)聯(lián)系了起來，減少了非線性項中的經(jīng)驗參數(shù)，有利于提高計算的精度和減小計算量。

1.2 流體力推導

將貼近圓柱表面的一層區(qū)域稱為近壁控制域，近壁控制域以外的區(qū)域稱為尾渦域，如圖2所示。設在某一時刻近壁控制域有m個控制渦，尾渦域有n個穩(wěn)定點渦，則整個流體域內(nèi)一共有N=m+n個離散點渦。

圖2 圓柱周圍流場劃分示意圖Fig.2 Schematic diagram of flow division around the cylinder

由N個點渦與均勻來流疊加，并結(jié)合圓柱壁面映像—圓定理可得到圖2中流場復勢為

(8)

由非定流動的卜拉休斯合力公式可知圓柱所受流體力為

(9)

(10a)

(10b)

式中：xk和yk為第k個渦位置與直徑D的比值，即無量綱化的位置。

對于上式中的方括號部分，將其分別記為fD1和fL1，在控制域內(nèi)，點渦的平均速度可以忽略不計，所以只有尾渦域的點渦對其產(chǎn)生作用。在尾渦域中，認為uk=U，vk=0，即點渦沿順流向運動，同時由于尾渦域中點渦到圓心距離的平方增加很快，并且點渦的橫向位置yk較小，將其近似為0，則fD1和fL1可以近似表達為

fD1=0

(11a)

(11b)

對于尾渦域中的總渦量Γn(t)，由于正向和反向點渦交替進入尾渦域，其總渦量表現(xiàn)為周期性地增大和減小的狀態(tài)，并且其頻率為泄渦頻率ωst，峰值為Γ，出于簡化的目的，用余弦曲線來描述這一過程，則

fD1=0

(12a)

fL1=ρΓUcos(2πωstt)

(12b)

(13a)

(13b)

式中：xC和yC為等效控制渦質(zhì)心的無量綱位置；考慮到y(tǒng)C在y軸的正負半軸振動，而xC只在x軸正半軸作微幅變化，因此只考慮yC的作用。

根據(jù)渦的生滅原理，整個流場的渦量是保持不變的，因此等效控制渦的渦量變化與尾渦域的渦量變化過程相反，因此可得到

ΓC=-Γcos(2πωstt)

(14)

進一步得到

(15)

等效控制渦的大小與尾渦域的渦強大小相反，并且等效控制渦取代的是剛進入尾渦域的點渦的位置，因此yC在尾渦域正向點渦與反向點渦的位置間交替變換，也可以用余弦函數(shù)來近似表示其變化過程，并且認為其幅值與穩(wěn)定點渦的渦強有關，但由于其具體大小未知，需要引入由試驗確定的經(jīng)驗參數(shù)α，進而可以將其表示為

(16)

進一步可得到

(17a)

fL2=0

(17b)

結(jié)合推導得到的fD1，fL1，fD2以及fL2，再引入無量綱尾流變量q=2CL/CL0，CL0為參考升力系數(shù)，它表示固定圓柱在流場中所受的升力，結(jié)合FL=ρDU2CL/2，得到4Γcos(2πωstt)=UDCL0q，因此FX和FY為

(18a)

(18b)

1.3 Van der Pol方程的高階改進

經(jīng)典尾流振子模型利用Van der Pol方程來模擬尾流振子的運動，F(xiàn)acchinetti等[14]在其研究中認為Van der Pol方程的激勵項與橫流向振動的加速度有關，Dolatabadi等[15]研究發(fā)現(xiàn)經(jīng)典尾流振子模型可以較好地預報高質(zhì)量比情況下的圓柱渦激振動響應，但在低質(zhì)量比條件下，經(jīng)典尾流振子模型預報得到的值要偏小，因此有必要對其進行改進。

本文根據(jù)Landl[16]提出的一種高階Van der Pol方程模型，結(jié)合Farshidianfar對單自由度渦激振動的高階尾流振子模型的研究，對經(jīng)典尾流振子模型進行了高階改進。Landl的高階模型包括了一個Van der Pol阻尼項和一個五階氣動阻尼項，具體公式為

(19)

式中：Ωr為結(jié)構(gòu)振動頻率；α′,β′,λ′和b為經(jīng)驗參數(shù)，需要根據(jù)不同的具體問題而選擇。將其轉(zhuǎn)化為Van der Pol方程的形式，令α′=-ε，β′/ε=-β，λ′/ε=λ，再結(jié)合Van der Pol方程可以得到

(20)

可以發(fā)現(xiàn)該模型方程與經(jīng)典Van der Pol方程是相通的，當β=1，λ=0時此方程便是經(jīng)典Van der Pol方程，此方程通過調(diào)整β和λ的值便可適當?shù)卦黾覸an der Pol振子的振動幅值，可以有效地改善經(jīng)典Van der Pol方程難以準確模擬出低質(zhì)量比條件下的高振動幅值情況。

1.4 耦合非線性振子方程

(21a)

(21b)

(21c)

式中：M=CD0/(32π2St2μ);N=CL0/(16π2St2μ);ξ=cs/(2msωn)為圓柱的黏性阻尼比；ωn為固有頻率，μ為質(zhì)量比參數(shù)，μ=(ms+ma)/ρD2;δ=ωn/ωst為頻率比;γ=cf/(4πSt)，根據(jù)Ogink等[17]的研究將其取為0.5；η為圓柱振動的幾何非線性參數(shù)，本文通過與試驗結(jié)果擬合將其取為0.2；h為無量綱形式的耦合參數(shù)，根據(jù)Facchinetti等的研究將其取為12；ε為Van der Pol方程的阻尼參數(shù)，與圓柱的質(zhì)量比有關，本文通過與大量試驗數(shù)據(jù)進行擬合給出了其確定曲線，如圖3所示；β和λ為Van der Pol振子的非線性參數(shù)。CL0和CD0分別為參考升力系數(shù)和參考脈動阻力系數(shù)，本文參考Blevins等[18-19]的研究，將CL0和CD0分別取為0.3和0.2。

圖3 由質(zhì)量比得到的參數(shù)ε值擬合曲線Fig.3 Fitting curve of ε based on mass ratio

對于β和λ，參考Stappenbelt等[20]對非線性方程的求解方法，在無外力擾動時，高階Van der Pol方程可寫為

(22)

該方程的解可分為線性部分u(t)和非線性部分εv(t)，忽略其中的高階非線性部分，可得到

q(t,ε)=u(t)+εv(t)+…

(23)

將式(23)代入式(22)，對其中的線性部分和非線性部分分別求解，可得到

(24)

代數(shù)運算求解式(24)得到

u=q0cosωt

(25a)

(25b)

(26)

可以發(fā)現(xiàn)公式中的自變量有兩個，為β和λ，通過合理選擇β和λ的值便可達到改變q0從而改變流體振子振動幅值的目的，進而影響結(jié)構(gòu)振子的振動幅值，本文通過與試驗數(shù)據(jù)進行擬合，將β取為0.25，λ取為0.008。

2 算例驗證與分析

2.1 圓柱雙自由度渦激振動算例驗證

以Jauvtis等 的圓柱雙自由度渦激振動模型試驗為參考，圓柱相關參數(shù)如表1所示。

表1 圓柱各項參數(shù)

利用變步長四階龍格-庫塔法對高階非線性振子模型進行求解，得到了圓柱無量綱振幅、頻率以及運動軌跡，并與試驗結(jié)果進行對比，如圖4～圖6所示。

(a)橫向振動

(b)流向振動圖4 圓柱振動幅值響應對比Fig.4 Comparison of the amplitude of the cylinder

通過對比分析圖4(a)的橫向振幅曲線可以發(fā)現(xiàn)，Ur>4之后，圓柱橫向渦激振動逐漸進入共振階段，其振幅顯著增加，Ur>8后，開始渡過共振階段，幅值又大幅減小，這與Williamson的試驗結(jié)果在總體趨勢上是一致的，并且對于渦激振動幅值響應預報中最重要的“上端分支”和“超上端分支”，數(shù)值結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好，得到的最大振動幅值約為1.5D，與試驗結(jié)果非常接近。但也可以發(fā)現(xiàn)數(shù)值模型沒有準確模擬出振動幅值中的“下端分支”，這主要是由于本文將耦合參數(shù)ε選為僅和質(zhì)量比有關的常數(shù)，如果將其再與約化速度聯(lián)系起來即可調(diào)整下端分支的形狀，這在今后可以進行進一步的研究。

對于圖4(b)的流向振幅曲線，可以發(fā)現(xiàn)在Ur=2.5附近處，流向振動出現(xiàn)了流向的共振，而后其振幅又迅速減小，緊接著由于橫向振動對流向振動的耦合作用，大幅值的橫向振動導致流向振動也開始大幅增加，之后由于橫向振動渡過共振，流向振動幅值也相應大幅減小。數(shù)值模型得到的流向振幅趨勢與最大值都與試驗結(jié)果吻合良好，再結(jié)合其對橫向振動幅值響應的合理預測，表明本文的非線性振子模型可以定性并定量地預測圓柱雙自由度渦激振動幅值特性。

圖5 圓柱橫向振動無量綱頻率對比Fig.5 Comparison of the cross-flow dimensionless frequency

對于圖5的橫向無量綱振動頻率，可以發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果在Ur大約為4～9發(fā)生了鎖定現(xiàn)象，而在其他Ur下則滿足斯特勞哈爾關系，這與試驗數(shù)據(jù)及相關的理論研究基本一致，但由于數(shù)值模型未能準確模擬出Wiiliamson試驗中橫向振動的“下端分支”，導致其在Ur較大時與其試驗結(jié)果出現(xiàn)一定差別，總的來說，數(shù)值模型基本能夠定性反應圓柱渦激振動的頻率特性。

圖6 圓柱渦激振動運動軌跡圖Fig.6 Trajectory of the vortex-induced vibration of the cylinder

圖6給出了計算得到的各約化速度下圓柱的運動軌跡，在流速較低時，流向振動幅值相對橫向幅值較大，圓柱運動軌跡為扁平或標準的“8”字形，但是其總體運動比較?。浑S著流速的增大，橫向振動逐漸進入共振狀態(tài)，幅值顯著增加，圓柱軌跡表現(xiàn)為拉長的“8”字形，并且逐漸表現(xiàn)出向右傾斜的趨勢，Ur為8～9附近軌跡形狀接近月牙形；隨著的流速的持續(xù)增加，橫向和流向振幅均大幅減小，圓柱運動軌跡又變?yōu)榱丝s小的“8”字形，并不斷在變瘦變小，這些軌跡變化規(guī)律與目前的渦激振動研究結(jié)果一致。

總的來說，通過與Williamson的試驗結(jié)果對比，發(fā)現(xiàn)本文提出的高階非線性振子模型能夠較為準確地模擬出圓柱渦激振動幅值響應、頻率及運動軌跡特性，可以為快速預報結(jié)構(gòu)物渦激振動特性研究提供一定的參考。

圖7 不同質(zhì)量比下圓柱橫向振動幅值響應對比Fig.7 Comparison of cross-flow amplitude of the cylinder with different mass ratios

2.2 質(zhì)量比對振動的影響

質(zhì)量比是影響圓柱渦激振動特性的一個重要因素，本文將參考Stappenbelt等開展的圓柱雙自由度渦激振動試驗結(jié)果，將質(zhì)量比分別選為2.36,3.68,5.19,6.54,8.76及10.63，阻尼比選為0.006，進行圓柱雙自由度渦激振動特性預報。

圖7為不同質(zhì)量比圓柱渦激振動橫向振幅的計算結(jié)果與Stappenbelt的試驗結(jié)果，Increase和Decrease分別表示加速和減速模擬，可以發(fā)現(xiàn)在不同質(zhì)量比下，兩種結(jié)果在趨勢上能夠保持一致，并且計算的最大幅值與試驗值差別不大，另外，可以發(fā)現(xiàn)隨著質(zhì)量比的增加，圓柱橫向振動的最大幅值在不斷減小，鎖定區(qū)間也在減小，振子模型預測的遲滯區(qū)間在不斷變大，這是因為隨著質(zhì)量比的增加，耦合參數(shù)ε也在增加，使模型方程的非線性增強，導致遲滯區(qū)間變大。

對比分析圖8中流向振動幅值響應曲線，發(fā)現(xiàn)各質(zhì)量比條件下的計算結(jié)果也與試驗結(jié)果在趨勢上一致，并且計算的最大幅值在總體上與試驗值基本吻合，但在質(zhì)量比為2.36時過度地預測了圓柱流向振動最大幅值，這是由于在低質(zhì)量比條件下本文選取ε時參考的是Willamson試驗，而Stappenbelt等試驗在低質(zhì)量比條件下的流向幅值結(jié)果要比Willamson試驗結(jié)果偏小，導致此時的模型預測出現(xiàn)差別。另外，隨著質(zhì)量比的增加，橫向振動對流向振動的耦合作用在減弱，使得其第二個峰值不斷減小，與橫向振動類似，流向振動遲滯區(qū)間也隨質(zhì)量比的增大而增大。

另外，為分析質(zhì)量比對圓柱在幅值分支突變附近的運動軌跡的影響，在圖9中給出了不同質(zhì)量比下Ur為6.0, 8.5, 10.0時的運動軌跡曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)在Ur=6.0時，隨著質(zhì)量比的增加，其軌跡的“8”字形變得越細，這是因為質(zhì)量比增加使得橫向振動對流向振動的耦合作用降低；Ur=8.5時，低質(zhì)量比下圓柱軌跡為“月牙”形，隨著質(zhì)量比的增加其軌跡形狀大幅減小，并且沒有呈現(xiàn)出“月牙”形，這是因為隨著質(zhì)量比增加，鎖定區(qū)間在減小，在Ur為8.5時其振動已跳出鎖定區(qū)；Ur=10時，各質(zhì)量比下圓柱軌跡又變?yōu)椤?”字形，并且質(zhì)量比越高，“8”字形越小。

圖8 不同質(zhì)量比下圓柱流向振動幅值響應對比Fig.8 Comparison of in-line amplitude of the cylinder with different mass ratios

圖9 不同質(zhì)量比下圓柱運動軌跡對比Fig.9 Comparison of the trajectories of the cylinder with different mass ratios

2.3 阻尼比對振動的影響

阻尼比是另一個影響圓柱渦激振動特性的參數(shù)，本文參考Blevins等開展的不同阻尼比下的圓柱雙自由度渦激振動試驗結(jié)果，對質(zhì)量比為5.4，阻尼比分別為0.002, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2及0.4的圓柱渦激振動進行數(shù)值模型預報，并與試驗結(jié)果進行了對比。

圖10為各阻尼比下圓柱的橫向幅值響應曲線，可以發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果的曲線趨勢與最大值與試驗結(jié)果具有較好的吻合度，隨著阻尼比的增加，橫向振動幅值顯著降低，遲滯現(xiàn)象也不再明顯，但其鎖定區(qū)間的大小變化不大。

圖11為各阻尼比下圓柱的流向幅值響應曲線，由于高阻尼比下流向振幅非常小，本文只給出了阻尼比為0.002和0.02時的對比結(jié)果；由圖11可知計算結(jié)果與試驗結(jié)果在趨勢上能夠保持一致，但計算得到的最大幅值要比試驗值偏小一些，并且隨著阻尼比的增加，流向振幅的最大值隨之減小。

總的來說，各阻尼比條件下的模型計算幅值響應與試驗結(jié)果基本吻合，再次驗證了本文模型應用的正確性和廣泛性。

同樣，在圖12中給出了Ur為6.5和8.5時的圓柱運動軌跡曲線，可以發(fā)現(xiàn)Ur為6.5時，隨著阻尼比的增大，運動軌跡逐漸由“8”字形變?yōu)椤霸卵馈毙?，并且軌跡尺寸大幅減小，這是由于阻尼比較大時其振幅達到峰值時的Ur較小，對應的“月牙”形軌跡會提前出現(xiàn)；Ur為8.5時，其軌跡也隨阻尼比的增加而向“月牙”形過渡，但其尺寸大小的變化較為緩慢，這是由于Ur為8.5時開始跳出鎖定區(qū)間，阻尼比對其振幅的影響較小。

圖10 不同阻尼比下圓柱橫向振幅對比Fig.10 Comparison of cross-flow amplitude of the cylinder with different damping ratios

(a)ξ=0.002

(b)ξ=0.02圖11 不同阻尼比下圓柱流向振幅對比Fig.11 Comparison of in-line amplitude ofthe cylinder with different damping ratios

(a)Ur=6.5

(b)Ur =8.5圖12 不同阻尼比下圓柱運動軌跡對比Fig.12 Comparison of the trajectories ofthe cylinder with different mass ratios

3 模型參數(shù)敏感性分析

本文模型主要引入了三類經(jīng)驗參數(shù)，分別為幾何非線性參數(shù)η、耦合參數(shù)h和ε以及流體振子阻尼參數(shù)β和λ，為全面分析其對預報效果的影響，需要對其敏感性進行研究。

3.1 幾何非線性參數(shù)分析

將模型的幾何非線性參數(shù)η分別取值為0, 0.1, 0.2和0.3進行圓柱雙自由度渦激振動計算，圓柱參數(shù)仍取Jauvtis等的圓柱雙自由度渦激振動模型試驗參數(shù)，質(zhì)量比為2.6，阻尼比為0.005。將模型預報結(jié)果與試驗結(jié)果進行對比，如圖13所示。

(a)橫向振動

(b)流向振動圖13 不同幾何非線性參數(shù)下圓柱振動幅值響應對比Fig.13 Comparison of the amplitudes withdifferent geometric nonlinear parameters

由圖13可知，隨著參數(shù)η的增加，橫向和流向振幅曲線形狀都發(fā)生了較為明顯的變化。對于橫向振動，η增加時，曲線達到峰值時的Ur有所增大，并且其峰值大小各不相同，η為0.1和0.2時預報得到的最大幅值均與試驗結(jié)果較為接近，但η為0.2時的峰值對應的Ur更接近試驗值。對于流向振動，其形狀隨η的變化較為劇烈，隨著η的增加，其第二個峰值的大小也在增加，但第一個峰值大小基本沒有變化，可見η對流向振動的影響主要體現(xiàn)在橫向?qū)α飨虻鸟詈献饔梅矫?，并且η?.2時流向幅值響應結(jié)果與試驗值吻合最好。

總的來說，隨著η的增加，橫向最大振幅在減小，而流向最大振幅在增加，并且流向幅值響應曲線形狀受η的影響更大，通過分析選擇幾何非線性參數(shù)的大小可以實現(xiàn)對橫向和流向振動耦合作用的合理配置。

3.2 耦合參數(shù)分析

首先對參數(shù)ε進行分析，以Stappenbelt等的試驗數(shù)據(jù)為參考，在質(zhì)量比為5.19，阻尼比為0.006的條件下，將ε分別取為0.03， 0.066和0.1進行計算，將得到的圓柱幅值響應曲線與試驗結(jié)果進行對比，如圖14所示。

由圖14可知，隨著參數(shù)ε的增加，橫向振動和流向振動的最大幅值都在不斷減小，并且鎖定區(qū)間寬度也出現(xiàn)微小幅度的減小。對于橫向振動，其峰值所對應的Ur值隨ε的增加而減小，三組參數(shù)下所得結(jié)果的差別主要體現(xiàn)在鎖定區(qū)域內(nèi)，ε取0.066時模型預報結(jié)

(a)橫向振動

(b)流向振動圖14 不同參數(shù)ε下圓柱振動幅值響應對比Fig.14 Comparison of the amplitudes with different ε

果與試驗結(jié)果吻合最好；對于流向振動，其幅值曲線形狀對ε的變化更敏感，表明隨著ε的增大，橫向振動對流向振動的耦合作用更強，使其變化更大?？偟膩碚f，參數(shù)ε的作用主要是調(diào)節(jié)橫向與流向振動的鎖定區(qū)域內(nèi)幅值峰值大小及它們之間耦合作用的大小。

對于參數(shù)h，仍以Stappenbelt的試驗參數(shù)為基礎，將其分別取值為8,12和16，將模型預報結(jié)果與試驗結(jié)果進行比較，如圖15所示。

(a)橫向振動

(b)流向振動 圖15 不同參數(shù)h下圓柱振動幅值響應對比 Fig.15 Comparison of the amplitudes with different h

由圖15可知，參數(shù)h不僅影響最大振幅的大小，而且也影響鎖定區(qū)間的寬度，隨著參數(shù)h的增加，橫向和流向振動的最大幅值都有所增加，其鎖定區(qū)間的寬度也有顯著增加。通過與試驗值進行比較，發(fā)現(xiàn)h為12時模型預報的最大振幅、鎖定區(qū)間寬度以及曲線形狀等能夠與試驗結(jié)果吻合良好，其他取值均出現(xiàn)較大差別，這與Facchinetti等的研究結(jié)果一致。

3.3 流體振子阻尼參數(shù)分析

對于阻尼參數(shù)β和λ，圓柱質(zhì)量比仍為5.19，阻尼比為0.006，依據(jù)“1.4”節(jié)中介紹的參數(shù)確定方法選擇4組參數(shù)β和λ，分別編號為方案1～方案4，具體見表2，考慮到參數(shù)β和λ對遲滯區(qū)間有一定的影響，分別采用勻加速和勻減速兩種條件進行計算，將各方案的計算結(jié)果與試驗結(jié)果進行比較，如圖16所示。

表2 阻尼參數(shù)選擇方案

(a)橫向振動

(b)流向振動圖16 不同阻尼參數(shù)方案的圓柱振動幅值響應對比Fig.16 Comparison of the amplitude with different damping parameter schemes

對比分析橫向振動幅值曲線，可以發(fā)現(xiàn)方案1～方案4的最大振動幅值依次遞減，但其鎖定區(qū)間和遲滯區(qū)間的寬度經(jīng)歷了先增后減的過程，其中方案2的鎖定區(qū)間和遲滯區(qū)間最大；同樣，在流向振動幅值曲線中也出現(xiàn)了類似的結(jié)果，而且流向振動不僅第二個峰值在發(fā)生變化，第一個峰值也有所區(qū)別，表明流向振動第一峰值的大小對流體振子阻尼參數(shù)的變化較為敏感，可以通過合理改變流體振子阻尼參數(shù)的大小來實現(xiàn)對其第一峰值的調(diào)整。將各方案得到的曲線與試驗值比較，發(fā)現(xiàn)方案2的結(jié)果與試驗結(jié)果擬合較好，表明本文所選擇的阻尼參數(shù)β為0.25，λ為0.008的參數(shù)組合是合理的。

4 結(jié) 論

本文通過將非線性的結(jié)構(gòu)振子方程和高階Van der Pol方程進行耦合，并基于離散點渦理論推導了脈動升力和阻力，提出一種可以定性定量預報圓柱雙自由度渦激振動幅值、頻率及軌跡等重要特征的高階非線性振子模型，然后對模型進行了算例驗證，并分析了不同質(zhì)量比和阻尼比下的振動特性，最后對模型中的三類參數(shù)進行了敏感性分析，得出以下結(jié)論：

(1)應用本文提出的高階非線性振子模型計算得到的低質(zhì)量比圓柱振動幅值、頻率等特性與Williamson的試驗結(jié)果吻合良好，并且得到的圓柱運作軌跡變化規(guī)律與現(xiàn)有研究一致，表明本文模型可以較為準確地預報低質(zhì)量比圓柱渦激振動重要特性，驗證了模型在低質(zhì)量比條件下應用的正確性。

(2)在不同質(zhì)量比和阻尼比下的模型預報幅值響應結(jié)果能夠與Stappenbelt等的試驗結(jié)果基本保持一致，并且發(fā)現(xiàn)質(zhì)量比和阻尼比對圓柱橫向和流向振動幅值及運動軌跡等特性有較大的影響，表明本文的高階非線性振子模型可以用于預報不同質(zhì)量比和阻尼比柱形結(jié)構(gòu)物的雙自由度渦激振動重要特性，驗證了其應用的廣泛性。

(3)通過采用控制變量法改變模型中的幾何非線性參數(shù)η、耦合參數(shù)ε與h以及流體振子阻尼參數(shù)β與λ，對計算結(jié)果進行對比分析，發(fā)現(xiàn)參數(shù)η對橫向和流向振幅都有所影響，通過分析選擇η的大小可以實現(xiàn)對橫向和流向振動幅值的合理配置；參數(shù)ε的作用主要是調(diào)節(jié)橫向與流向振幅峰值及它們之間耦合作用的大小，而參數(shù)h不僅影響最大振幅的大小，而且也影響鎖定區(qū)間的寬度；參數(shù)β和λ除了可以調(diào)節(jié)橫向和流向幅值峰值的大小以外，還影響著遲滯區(qū)間的大小。另外，在對各參數(shù)進行對比分析的過程中也發(fā)現(xiàn)本文所選取的參數(shù)可以更加準確地預測出圓柱渦激振動的幅值特性，表明本文模型參數(shù)的選擇合理可行。

總的來說，相比于經(jīng)典尾流振子模型，本文的高階非線性振子模型更加全面地考慮了雙自由度渦激振動中的非線性特征，并且建立了脈動升力和脈動阻力的數(shù)學關系，在一定的質(zhì)量比和阻尼比范圍內(nèi)的預報精度較高，可以為此范圍內(nèi)的海洋柱形結(jié)構(gòu)物雙自由度渦激振動特性的快速預報提供一定的理論支持。