薛劉萍　夏往所　王瑩　葉世旺

摘要：微積分在大學(xué)物理中有著廣泛應(yīng)用，但對(duì)初學(xué)者來說比較困難。本文提供了一種更容易接受的教學(xué)過程，以便同學(xué)更好的體會(huì)和利用微積分思想。

關(guān)鍵詞：微積分；大學(xué)物理教學(xué)；物理模型

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）27-0191-02

物理課程在初中，高中以及大學(xué)中的體系基本一致，都是力熱光電四部分[1]。但隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)展，能夠解決的問題也發(fā)生變化，到了大學(xué)以后，由于高等數(shù)學(xué)中微積分的學(xué)習(xí)，大大拓展了處理物理問題的范圍，由最初的最特殊的情況過渡到一般情況。比如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中勻速直線運(yùn)動(dòng)到現(xiàn)在的變加速曲線運(yùn)動(dòng)；由均勻電場(chǎng)和均勻磁場(chǎng)到不均勻電磁場(chǎng)。因此在大學(xué)物理學(xué)習(xí)中微積分很重要，但是由于同學(xué)掌握的不夠熟練或者對(duì)微積分的思想不夠理解，以致在解決物理問題時(shí)不能正確應(yīng)用。如何建立物理模型，應(yīng)用微積分寫出解析式的過程，對(duì)于初學(xué)大學(xué)物理的同學(xué)非常重要，但是也非常困難[2]。本文從基本定義出發(fā)，介紹了幾種不同情況下建立模型，寫出解析式的過程。

由于物理學(xué)研究的是最基本的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此物理量在定義時(shí)只能針對(duì)最簡(jiǎn)單、最特殊的情況。比如，在速度的定義是通過勻速直線運(yùn)動(dòng)；磁通量的定義是通過均勻磁場(chǎng)中的平面。對(duì)于一般較為復(fù)雜的情況只能選擇合適的微元，建立一個(gè)與定義基本一致的物理模型，才能寫出解析式進(jìn)一步對(duì)物理量進(jìn)行計(jì)算分析。以下以速度，磁通量以及帶電體的總電量計(jì)算為例介紹了一維，二維和三維空間中建立物理模型寫出相關(guān)解析式的過程。

一、速度

速度是通過平均速度進(jìn)行定義的，即在質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過Δt時(shí)間有位移Δ 時(shí)，平均速度為 = 。只有質(zhì)點(diǎn)在做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其平均速度才是瞬時(shí)速度（簡(jiǎn)稱速度）。質(zhì)點(diǎn)在做變速曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，并不符合定義的過程。我們只有選擇微元，建立一個(gè)與定義相符的物理模型，才能寫出速度的解析式。定義中質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過Δt時(shí)間有位移Δ 。我們對(duì)應(yīng)選擇時(shí)間微元dt，有位移微元d 。

從圖1上可看出，曲線可以看成無數(shù)個(gè)一段段很短的直線首尾連接形成，在我們選擇位移d 后，這一位移微元就可以看成為直線運(yùn)動(dòng)；在dt時(shí)間微元中，質(zhì)點(diǎn)雖然在做變速率運(yùn)動(dòng)，但由于時(shí)間極短，其速率變化量極小，因此可以近似看成勻速率運(yùn)動(dòng)。因此在t到t+dt時(shí)間段，質(zhì)點(diǎn)在做著勻速直線運(yùn)動(dòng)，其平均速度就是瞬時(shí)速度。這樣我們就利用dt和d 微元，將變速曲線運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)化為勻速直線運(yùn)動(dòng)的迭加。由定義可寫出其速度為 = 。

二、磁通量

磁通量是通過面積上的磁感應(yīng)線條數(shù)。由于磁感應(yīng)線的定義是垂直磁感應(yīng)線方向上單位面積磁感應(yīng)線的條數(shù)表示磁感應(yīng)強(qiáng)度 的大小。從定義上我們也只能對(duì)均勻磁場(chǎng)中平面的磁通量直接進(jìn)行分析。在均勻磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)線也均勻分布，其磁通量可以寫為Φ= · 。若是不均勻磁場(chǎng)中的曲面，我們需要將其簡(jiǎn)化成符合定義的情況，即通過選擇微元，獲得均勻磁場(chǎng)中的平面。與圖1類似，一個(gè)曲面也可以看成無數(shù)個(gè)極小的平面組合而成，又由于平面極小，其上的磁場(chǎng)即使分布不均勻，各處差別也很小，因此我們也可以看成是均勻分布的，這樣不均勻磁場(chǎng)中的曲面問題就簡(jiǎn)化成均勻磁場(chǎng)中的平面，與定義中的情況相符。

由以上分析可見，我們選擇面積微元d ，如圖2，此面積微元就是平面，且磁場(chǎng)分布均勻，符合定義情況，即可寫出面積微元d 上的磁通量為dΦ= ·d ，整個(gè)曲面的磁通量為每個(gè)面積微元d 上的磁通量之和，解析式為Φ= ·d 。

三、電荷數(shù)

程守洙主編的《普通物理學(xué)》第七版[3]中習(xí)題7-18中出現(xiàn)帶電球體密度為ρ=kr，式中r是徑向距離k是常量。在利用高斯定理求球外的電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)需要求小球的總電量。

由電荷體密度求解電荷總量的問題，在定義中也只能針對(duì)均勻分布的情況，總量等于密度與體積的乘積。而本題中電荷并非均勻分布，無法直接求解。但是我們發(fā)現(xiàn)體密度只和半徑有關(guān)。因此可以選擇體積微元，如果其半徑變化極小，我們就可以認(rèn)為此微元的半徑是一常數(shù)，那么它的體密度就是均勻的?？梢岳枚x進(jìn)行求解。

由圖3可見，我們?nèi)∫粋€(gè)半徑在r到r+dr之間的球殼形狀體積微元。因?yàn)榘霃阶兓痙r是個(gè)極小值，我們近似的認(rèn)為球殼微元的半徑均為r，體密度均為ρ=kr，大小不變，球殼微元中的電荷是均勻分布的。符合定義規(guī)定的情況。由定義知球殼上所帶電量為dq=ρdV，球上的總電量為每個(gè)微元上電量的總值，即

q= dq= kγdV。

微積分作為一種數(shù)學(xué)工具，可以幫助我們將一些復(fù)雜的物理問題簡(jiǎn)單化。要用好微積分，不僅要熟悉它的數(shù)學(xué)計(jì)算，更重要的是對(duì)其物理含義的理解。這樣才能在相關(guān)物理量定義的基礎(chǔ)上建立模型，寫出解析式，求解相關(guān)問題。因此教學(xué)中應(yīng)該注意要讓學(xué)生真正理解變量取微元的物理含義，培養(yǎng)學(xué)生的物理思維，才能形成自己的物理觀念。

作者經(jīng)過多年教學(xué)發(fā)現(xiàn)，通過這種方法引入微積分，對(duì)于初次接觸并在初期進(jìn)行多次強(qiáng)化，可以使同學(xué)對(duì)其的掌握情況大大改善，為以后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]程守洙，等.普通物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]歐聰杰.將微積分的思想融入大學(xué)物理教學(xué)[J].教育教學(xué)論壇，2014：2（6）.

[3]程守洙，等.普通物理學(xué)習(xí)題分析與解答[M].北京：高等教育出版社，2016：183-184.