趙佳琪

(河北省唐山市樂亭縣第一中學高二三班 063600)

空間垂直關系有線線垂直、線面垂直、面面垂直，三者關系密切，可互相轉化，在證明空間垂直時可謂三位一體．

一、證明線線垂直

空間中證明線線垂直，大都利用線面垂直的性質：如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內的任意一條直線．但利用的前提是需有線面垂直.

例1 如圖1，在空間四邊形PABC中，PA⊥底面ABC，側面PAB⊥側面PBC．

求證：AB⊥BC．

圖1

分析我們可先證明AB(或BC)垂直于BC(或AB)所在的一個平面，即可證明AB⊥BC了．

證明過點A作AD⊥PB于點D.

因為側面PAB⊥側面PBC，

且側面PAB∩側面PBC=PB，

所以AD⊥平面PBC.

又因為BC?平面PBC，

所以BC⊥AD.

因為PA⊥底面ABC，BC?平面ABC，

所以BC⊥PA.

因為AD?平面PAB，PA?平面PAB，AD∩PA=A，

所以BC⊥平面PAB.

因為AB?平面PAB，

所以AB⊥BC．

點評本題的轉化過程為：面面垂直→線面垂直→線線垂直→線面垂直→線線垂直，總的趨勢是由高維向低維轉化，其間應用了面面垂直的性質定理，線面垂直的判定定理及線面垂直的性質定理．

二、證明線面垂直

空間中證明線面垂直，常用的方法有兩種：一是應用線面垂直的判定定理，一是應用面面垂直的性質定理．

例2 如圖2，在斜邊為AB的Rt△ABC中，過點A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于點M，AN⊥PC于點N，求證：PB⊥平面AMN．

圖2

分析欲證PB⊥平面AMN，因為AM⊥PB，所以只需在平面AMN中再找一條和PB垂直的直線即可，考慮和AN有關的垂直關系較多，我們選定AN為論證目標．

證明因為Rt△ABC的斜邊為AB，

所以BC⊥AC.

因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，

所以BC⊥PA.

打仗要勇敢，搞學術研究為什么還要膽識呢？似乎兩者關系不大，最近有記者問我，說閻老師你認為做一個研究員最重要的品格是什么呢？我的回答是兩個字“勇敢”。

因為PA?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PA=A.

所以BC⊥平面PAC.

因為BC?平面PBC，

所以平面PAC⊥平面PBC.

因為AN?平面PAC，

平面PAC∩平面PBC=PC，AN⊥PC，

因為PB?平面PBC，

所以AN⊥PB.因為AM⊥PB，AM?平面AMN，

AN?平面AMN，AM∩AN=A，

所以PB⊥平面AMN．

點評本題的轉化過程為：線線垂直→線面垂直→

面面垂直→線面垂直→線線垂直→線面垂直．

三、證明面面垂直

證明面面垂直離不開線線垂直和線面垂直．

例3 如圖3，已知直角梯形ABCD中AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD．證明：面PAD⊥面PCD．

圖3

分析根據(jù)題目條件可考慮利用面面垂直的判定定理證明．

證明因為PA⊥面ABCD，CD?面ABCD，所以CD⊥PA.

因為∠DAB=90°，AB∥DC，

所以CD⊥AD.

因為PA?面PDA，AD?

面PDA，PA∩AD=A，

所以CD⊥面PAD.CD?面PCD，

所以面PAD⊥面PCD．

點評本題的轉化過程為：線面垂直→線線垂直→線面垂直→面面垂直．

立體幾何中最常見的數(shù)學思想是轉化思想，由本文我們可發(fā)現(xiàn)，證明垂直關系的過程實質上就是空間三種垂直關系相互轉化的過程，轉化的依據(jù)就是空間垂直的判定定理和性質定理，所以對這些定理我們一定要注意熟練掌握、靈活運用．