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        常數(shù)列在等比數(shù)列求和中的應(yīng)用與推廣

        2018-09-22 02:51:56趙圣濤
        數(shù)理化解題研究 2018年22期
        關(guān)鍵詞:易知公比運(yùn)算量

        趙圣濤

        (山東省淄博市淄博中學(xué) 255000)

        一、方法的提出——等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)

        已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a1,公比為q(q≠0)的等比數(shù)列,求該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.

        解(1)當(dāng)q=1時(shí),易知Sn=na1.

        綜上,由(1),(2)可知,等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式為

        因?yàn)閍n=a1qn-1,所以上面的公式也可寫成

        因上述推導(dǎo)過程中的關(guān)鍵是如何構(gòu)造常數(shù)列,所以本文將該方法稱之為構(gòu)造常數(shù)列法,該方法的特點(diǎn)是思路簡(jiǎn)潔,沒有繁瑣的運(yùn)算,易于理解.

        二、方法的推廣

        1. 問題提出

        在數(shù)列求和的教學(xué)中,經(jīng)常遇到如下題型:

        已知數(shù)列an滿足an=bncn,其中bn是公差不為0的等差數(shù)列,cn是公比不為1的等比數(shù)列,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.

        對(duì)上述數(shù)列an,結(jié)合自身特點(diǎn),通常稱其為等差乘等比型數(shù)列. 既然構(gòu)造常數(shù)列法能在等比數(shù)列求和中應(yīng)用,那么能否將該方法推廣到等差乘等比型數(shù)列求和中去呢?經(jīng)研究,這是切實(shí)可行的.

        2. 問題解決

        不失一般性,設(shè)等差乘等比型數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(kn+d)qn(k≠1且k≠0,q≠0且q≠1),求數(shù)列數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.

        該方法思路清晰,運(yùn)算量小,運(yùn)算技巧遠(yuǎn)低于錯(cuò)位相減法和文[1]中所介紹的方法,有較強(qiáng)的實(shí)用性和可操作性. 同時(shí)該方法和常數(shù)列緊密地聯(lián)系在了一起,進(jìn)一步深化了人們對(duì)常數(shù)列的認(rèn)識(shí)與理解.

        三、方法應(yīng)用

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