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        李color三系的導(dǎo)子、廣義導(dǎo)子和擬導(dǎo)子

        2018-09-21 09:04:58健,曹
        關(guān)鍵詞:導(dǎo)子李超廣義

        張 健,曹 燕

        (哈爾濱理工大學(xué)理學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150080)

        1 預(yù)備知識(shí)

        文獻(xiàn)[1]研究了李color代數(shù)的廣義導(dǎo)子.文獻(xiàn)[2-4]討論了李三系的廣義導(dǎo)子、Jordanθ-導(dǎo)子和廣義Jordan導(dǎo)子.李超三系和李超代數(shù)的廣義導(dǎo)子的結(jié)論在文獻(xiàn)[5-6]中得以推廣.文獻(xiàn)[7]給出了李color三系的定義.李color三系是李三系和李三超系的推廣,從而一個(gè)自然的問(wèn)題被提出,即李三系上的一些結(jié)果能否推廣到李color三系上.文獻(xiàn)[8]研究了李color三系導(dǎo)子的一些結(jié)果,本文在其基礎(chǔ)上給出了李color三系的導(dǎo)子、廣義導(dǎo)子和擬導(dǎo)子的一些結(jié)果.

        本文中F表示特征不為3的任意域.

        定義1.1[1]設(shè)G是交換群,F(xiàn)是任意域.映射ε:G×G→F{0}稱(chēng)為G的斜對(duì)稱(chēng)雙特征標(biāo)(或交換因子),如果?α,β,γ∈G,都有下列三個(gè)等式成立:

        ε(α,β)ε(β,α)=1,

        ε(α,β+γ)=ε(α,β)ε(α,γ),

        ε(α+β,γ)=ε(α,γ)ε(β,γ).

        在本節(jié)中,如果x,y,z是G-階化向量空間中的齊次元,則以|x|,|y|,|z|∈G表示它們的次數(shù).為方便起見(jiàn),用ε(x,y)代表ε(|x|,|y|),用ε(x,y+z)代表ε(|x|,|y|+|z|),以此類(lèi)推.此外,符號(hào)ε(x,y)若出現(xiàn)便意味著x,y是齊次元.

        [Aɡ,Aɡ′]?Aɡ+ɡ′,?ɡ,ɡ′∈G,

        [x,y]=-ε(x,y)[y,x],?x∈A|x|,y∈A|y|,

        ε(z,x)[x,[y,z]]+ε(x,y)[y,[z,x]]+ε(y,z)[z,[x,y]]=0,?x∈A|x|,y∈A|y|,z∈A|z|.

        對(duì)任意x,y,當(dāng)ε(x,y)=(-1)|x||y|時(shí),李color代數(shù)成為李超代數(shù);當(dāng)ε(x,y)≡1時(shí),李color代數(shù)成為李代數(shù).因此,李color代數(shù)是一類(lèi)包含李代數(shù)和李超代數(shù)的更廣泛的代數(shù)結(jié)構(gòu).

        (1) [x,y,z]=-ε(x,y)[y,x,z];

        (2)ε(z,x)[x,y,z]+ε(x,y)[y,z,x]+ε(y,z)[z,x,y]=0;

        (3) [u,v,[x,y,z]]=[[u,v,x],y,z]+ε(u+v,x)[x,[u,v,y],z]+ε(u+v,x+y)[x,y,[u,v,z]],?x,y,z,u,v∈T.

        則稱(chēng)T是color三系.

        對(duì)任意x,y,當(dāng)ε(x,y)=(-1)|x||y|時(shí),李color三系成為李三超系;當(dāng)ε(x,y)≡1時(shí),李color三系成為李三系.因此,李color三系是一類(lèi)包含李三系和李三超系的更廣泛的代數(shù)結(jié)構(gòu).

        Endθ(T)={D∈End(T)|D(Tμ)?Tθ+μ,?μ∈G}.

        [Dθ,Dμ]=DθDμ-ε(θ,μ)DμDθ,?Dθ,Dμ∈End(T).

        直接驗(yàn)證可知關(guān)于此方括號(hào)乘法,End(T)是一個(gè)李color代數(shù).

        定義1.4[7]設(shè)T是域F上的李color三系,D∈Endθ(T),其中θ∈G.如果

        D([x,y,z])=[D(x),y,z]+ε(θ,x)[x,D(y),z]+ε(θ,x+y)[x,y,D(z)],

        ?x,y,z∈T,則稱(chēng)D是T的次數(shù)為θ的導(dǎo)子.

        [D(x),y,z]+ε(θ,x)[x,D′(y),z]+ε(θ,x+y)[x,y,D″(z)]=D?([x,y,z]),

        ?x,y,z∈T,則稱(chēng)D是T的次數(shù)為θ的廣義導(dǎo)子.若存在D′∈Endθ(T),滿足

        [D(x),y,z]+ε(θ,x)[x,D(y),z]+ε(θ,x+y)[x,y,D(z)]=D′([x,y,z]),?x,y,z∈T,

        則稱(chēng)D是T的次數(shù)為θ的擬導(dǎo)子.

        令GDerθ(T)為T(mén)的所有次數(shù)為θ的廣義導(dǎo)子的集合,QDerθ(T)為T(mén)的所有次數(shù)為θ的齊次擬導(dǎo)子的集合,這里θ∈G,定義

        Cθ(T)={D∈Endθ(T)|[D(x),y,z]=ε(θ,x)[x,D(y),z]=
        ε(θ,x+y)[x,y,D(z)]=D([x,y,z])},

        ?x,y,z∈T.令

        QCθ(T)={D∈Endθ(T)|[D(x),y,z]=ε(θ,x)[x,D(y),z]=ε(θ,x+y)[x,y,D(z)]},

        2 主要結(jié)果

        定理2.1設(shè)T是李color三系,則下面結(jié)論成立:

        (1) [Der(T),C(T)]?C(T);

        (2) [QDer(T),QC(T)]?QC(T);

        (6) G中不存在這樣的4-三角8-點(diǎn)v,使得v關(guān)聯(lián)3個(gè)(3,3,8)-面和一個(gè)(3,4-,8)-面。

        (3) C(T)?QDer(T).

        證明(1) ?Dθ∈Derθ(T),Dμ∈Cμ(T),?x,y,z∈T,有

        [DθDμ(x),y,z]=Dθ([Dμ(x),y,z])-ε(θ,μ+x)[Dμ(x),Dθ(y),z]-
        ε(θ,μ+x+y)[Dμ(x),y,Dθ(z)]=
        DθDμ([x,y,z])-ε(θ,μ+x)ε(μ,x)[x,DμDθ(y),z]-
        ε(θ,μ+x+y)ε(μ,x+y)[x,y,DμDθ(z)].

        ε(θ,μ)[DμDθ(x),y,z]=ε(θ,μ)Dμ(Dθ([x,y,z])-
        ε(θ,x)[x,Dθ(y),z]-ε(θ,x+y)[x,y,Dθ(z)])=
        ε(θ,μ)DμDθ([x,y,z])-ε(θ,x)ε(μ,x)ε(θ,μ)[x,DμDθ(y),z]-
        ε(θ,x+y)ε(μ,x+y)ε(θ,μ)[x,y,DμDθ(z)].

        [[Dθ,Dμ](x),y,z]=DθDμ([x,y,z])-
        ε(θ,μ)DμDθ([x,y,z])=[Dθ,Dμ]([x,y,z]).

        同理,

        [[Dθ,Dμ](x),y,z]=ε(θ+μ,x)[x,[Dθ,Dμ](y),z]=
        ε(θ+μ,x+y)[x,y,[Dθ,Dμ](z)].

        因此[Dθ,Dμ]∈Cθ+μ(T),于是有[Der(T),C(T)]?C(T).

        結(jié)論(2)的證明類(lèi)似結(jié)論(1),此處略去.

        (3) ?Dθ∈Cθ(T),?x,y,z∈T,有

        Dθ([x,y,z])=[Dθ(x),y,z]=ε(θ,x)[x,Dθ(y),z]=ε(θ,x+y)[x,y,Dθ(z)].

        定理2.2設(shè)T是李color三系,則QDer(T)+QC(T)=GDer(T).

        證明易見(jiàn)QDer(T)+QC(T)?GDer(T).

        (1)

        并且

        整理得

        (2)

        將(1)與(2)式相加得

        將(1)與(2)式相減得

        同理有

        即GDer(T)?QDer(T)+QC(T).

        定理2.3設(shè)T是李color三系,則[C(T),QC(T)]∈End(T,Z(T)).特別地,若Z(T)={0},則

        [C(T),QC(T)]={0}.

        證明?Dθ∈Cθ(T),Dμ∈QCμ(T),?x,y,z∈T,有

        [[Dθ,Dμ](x),y,z]=[DθDμ(x),y,z]-ε(θ,μ)[DμDθ(x),y,z]=
        Dθ([Dμ(x),y,z])-ε(θ,μ)ε(μ,θ+x)[Dθ(x),Dμ(y),z]=
        Dθ([Dμ(x),y,z])-ε(μ,x)Dθ([x,Dμ(y),z])=
        ε(μ,x)Dθ([x,Dμ(y),z])-ε(μ,x)Dθ([x,Dμ(y),z])=0.

        因此[Dθ,Dμ](x)∈Z(T),[Dθ,Dμ]∈End(T,Z(T)).若Z(T)={0},易知[C(T),QC(T)]={0}.

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