姚強強 王啟晗 馮池 陳思 金光勇 董淵

(長春理工大學(xué)理學(xué)院,長春 130022)(2018年1月16日收到;2018年6月2日收到修改稿)

1 引 言

自從研究發(fā)現(xiàn)熱透鏡球差對固體激光器的輸出光束質(zhì)量具有嚴(yán)重的影響以來,對晶體熱球差的研究就從未停止[1?5].為了減少甚至避免球差的產(chǎn)生,科研人員對球差進(jìn)行了大量的研究,例如抽運功率、吸收系數(shù)對球差的影響等[6?10].但仍然有一些不足之處,目前對激光晶體內(nèi)部熱分析時,常常假設(shè)其抽運光為均勻分布或者高斯分布[11?13].這些假設(shè)給激光晶體的熱分布模型帶來較大的誤差,因而影響到光程差(OPD)、球差,甚至光束質(zhì)量的仿真分析.然而很少有人從抽運光分布對熱透鏡球差的影響方面進(jìn)行研究.

本文通過對不同分布的抽運光抽運Nd:YVO4晶體時的工作特點進(jìn)行分析,建立了具有通用性的熱透鏡球差分析模型.在用解析法對各向異性晶體的熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行求解的基礎(chǔ)上,分析抽運光的分布對晶體溫度分布的影響,從溫度分布求解出相位差的分布,進(jìn)而通過Zernike多項式的展開,分析熱透鏡球差的變化,建立起抽運光分布系數(shù)與球差的一般表達(dá)式.研究仿真了各向異性矩形截面Nd:YVO4晶體在受到不同分布抽運光抽運時,晶體內(nèi)部產(chǎn)生的溫度場分布和球差變化,對抽運功率在其中的影響進(jìn)行了分析,并對二階超高斯光抽運球差最大的現(xiàn)象進(jìn)行了理論分析.研究方法和結(jié)果具有普遍適用性,對不同實驗環(huán)境下的激光器端面抽運激光晶體熱透鏡球差計算具有理論指導(dǎo)作用;對從改變抽運光分布的角度改善球差、提高激光器輸出特性提供了理論依據(jù).

2 理論分析

以半導(dǎo)體激光器(LD)作為抽運源的全固態(tài)激光器(DPL),因其具有獨特的優(yōu)勢及廣闊的應(yīng)用前景,逐漸成為固體激光器的一個重要發(fā)展方向.對其抽運源的工作原理進(jìn)行深入分析可知[14],為了改善入射到晶體上激光強度的均勻性,抽運源內(nèi)二極管出射光束是經(jīng)微透鏡聚焦后進(jìn)入光纖,再將光纖捆扎成束,從尾端出射,則其光強分布應(yīng)用超高斯函數(shù)來表示[15?17],在激光晶體內(nèi)不同位置處的光強度分布表達(dá)式為

式中ω為光束的高斯半徑;β為吸收系數(shù);a,b為x,y方向的尺寸;k為不同抽運分布的系數(shù),當(dāng)k=1時為高斯分布,當(dāng)k≥2時為超高斯分布,其中k較大時為平頂光束,當(dāng)k=∞時,其光強分布在束腰半徑范圍內(nèi)可視為均勻分布.不同階次光強的分布情況如圖1所示.

式中PP為單端抽運時的抽運功率.

晶體內(nèi)的溫度分布可以通過求解穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程獲得:

式中T(x,y,z)為晶體的溫度分布;Kx,y,z為熱傳導(dǎo)系數(shù);S(x,y,z)為熱源函數(shù).

式中β為激光晶體對抽運光的吸收系數(shù);η為由熒光量子效應(yīng)和內(nèi)損耗決定的熱轉(zhuǎn)換系數(shù);η=1?λp/λl,其中λp為抽運光波長808 nm,λl為振蕩光波長1064 nm.通過對(3)式進(jìn)行求解,得到晶體內(nèi)部的溫度分布[18].

圖1 不同階次的超高斯分布對比圖Fig.1.Contrast diagram of super-Gauss distribution diagram of different orders.

這種溫度的分布并非是均勻分布,而是梯度式的分布,這種梯度式的溫度分布會導(dǎo)致折射率梯度分布和熱形變,嚴(yán)重影響激光器的品質(zhì),晶體內(nèi)的溫度差可表示為

同時折射率梯度分布和熱形變導(dǎo)致在晶體內(nèi)傳播附加的相位不一樣,引入OPD,其微分形式為

式中εzz=(1+μ)αTΔT(x,y,z)為縱向應(yīng)變;μ為泊松比;αT為熱膨脹系數(shù);n0為室溫下晶體的折射率.(8)式右側(cè)第一項為折射率隨溫度變化產(chǎn)生的折射率梯度變化,第二項為縱向應(yīng)變引起的晶體端面形變,第三項為熱致雙折射.對Nd:YVO4晶體來講,相比第一項和第二項,第三項熱致雙折射產(chǎn)生的相位差要小得多(計算和仿真結(jié)果表明熱致雙折射產(chǎn)生的相位差約占總相位差的3%—6%之間),可以忽略不計.因此對(8)式積分,可得到OPD為

其中?n/?T為熱光系數(shù);c為晶體長度;λx,λy分別為x,y方向的熱導(dǎo)率.

對應(yīng)的附加相位差Φ(x,y)為

其中λ為波長.

聯(lián)立(9)式與(10)式可得:

由于Zernike多項式具有正交和圓對稱性,這和光斑的性質(zhì)非常符合,適合用來表示光學(xué)畸變,常被用來表征光學(xué)的畸變量,故將相位差分布用Zernike多項式展開如下:

式中N為Zernike多項式的總階數(shù);Zn(x,y)為n階Zernike多項式;cn是其系數(shù).通過文獻(xiàn)[19,20]可知,在Zernike多項式中第13項Z13=1?6y2?6x2+6y4+12x2y2+6x4表示光束中的球差項,對應(yīng)的c13是相應(yīng)的Zernike球差系數(shù)[21].結(jié)合前面的(6),(7)和(11)式,通過廣義逆矩陣法[22]對(12)式中的系數(shù)cn進(jìn)行求解,便建立起不同抽運分布系數(shù)k和球差系數(shù)c13的關(guān)系式,如下所示:

3 數(shù)值仿真與分析

仿真采用的是單端抽運Nd:YVO4晶體,晶體尺寸為3 mm×3 mm×10 mm,抽運光波長為808 nm,晶體抽運光束束腰半徑為300μm,吸收系數(shù)2.6 cm?1,熱光系數(shù)?n/?T為8.5×10?6K?1,晶體傳熱系數(shù)為6.5 W·m?2·K?1,熱膨脹系數(shù)4.43×10?6K?1.首先在抽運分布系數(shù)k=1(抽運光強分布為高斯分布)時,仿真了不同抽運功率下晶體x-y平面的溫度分布,如圖2所示.可以看出隨著抽運功率的增加,晶體內(nèi)的溫度逐漸升高,且分布均勻度變差.

圖2 在k=1,Pp=40 W時晶體內(nèi)x-y平面y(x)軸向溫度分布圖Fig.2.Temperature distribution diagram along the y(x)axis with k=1,Pp=40 W in the x-y plane.

在此基礎(chǔ)上對抽運分布系數(shù)k取1,2,4,10,100和∞時的晶體溫度分布進(jìn)行了計算,以抽運功率40 W為例進(jìn)行仿真,仿真結(jié)果如圖3所示.可以得出在相同抽運功率的情況下,超高斯分布階數(shù)k取2時晶體溫度最高,除高斯分布(階數(shù)為1)外,抽運分布系數(shù)k越大,晶體的最高溫度反而越低;由于Nd:YVO4晶體熱導(dǎo)率較大,吸收率較高,對于單端LD抽運的激光器而言,前部中心溫度比后部高,且不同分布情況時溫度差異主要集中在晶體前部和中部,后部無明顯差異.

圖3 抽運分布系數(shù)k對晶體溫度的影響Fig.3.Effect of the pump distribution coefficient k on the temperature of crystal.

在相同的計算仿真條件下,取抽運光分布系數(shù)k分別為1,2,4,10,100和∞時,計算了晶體產(chǎn)生的OPD,仿真結(jié)果如圖4所示.可以得到在相同抽運功率時,晶體產(chǎn)生的最大OPD分別為3.00λ,3.05λ,2.99λ,2.93λ,2.87λ,2.86λ. 從圖4中可知,不同的抽運光分布產(chǎn)生了不同的OPD,且抽運光分布對OPD的分布存在明顯的影響;超高斯分布階數(shù)為2時,產(chǎn)生的OPD最大,除高斯分布(k=1)外,隨著抽運分布系數(shù)的增加,OPD逐漸減小.

利用(13)式,對抽運光分布階數(shù)k分別取1,2,3,4,6,8,10,20,50,100和∞時的球差系數(shù)進(jìn)行了計算,仿真結(jié)果如圖5所示.由圖5可知:超高斯分布階數(shù)k取2的球差最大;除高斯分布(k=1)外,隨著k的增大球差系數(shù)逐漸減小,當(dāng)k趨向無窮時,k對球差的影響趨于穩(wěn)定.

圖4 OPD隨抽運分布系數(shù)k的變化曲線Fig.4.Variation curve of OPD with pump distribution coefficient k.

對不同抽運功率下的球差系數(shù)進(jìn)行了計算,仿真結(jié)果如圖6所示.通過對圖5和圖6的分析可知:在相同的抽運功率下,抽運分布系數(shù)k對球差的影響符合相同的規(guī)律;在相同抽運分布的情況下,隨著抽運功率的增加,球差逐漸增大,且隨著抽運功率的增加,抽運分布系數(shù)k對球差的影響作用加重,即在抽運分布系數(shù)k不同時,球差的變化逐漸增大.

對于抽運分布階數(shù)k=2球差最大這種現(xiàn)象進(jìn)行進(jìn)一步分析,由(1)式可知,平行z軸入射到晶體表面的超高斯光強分布表達(dá)式為

圖5 球差系數(shù)隨k的變化曲線Fig.5.Variation curve of coefficient of spherical aberration with the change of k.

圖6 隨著抽運功率的增加,球差系數(shù)隨k的變化Fig.6.With increase of pump power,variation of spherical aberration coefficient with k.

考慮到抽運源的光強分布具有圓對稱性,同時為了便于后續(xù)研究的直觀性,對模型進(jìn)行極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換并且將坐標(biāo)圓點移動到晶體端面中心位置.(14)式可表示為

其中r滿足下式

其中θ為極坐標(biāo)下的極角.

抽運到晶體端面的激光功率為

則抽運到端面特定區(qū)域內(nèi)的激光功率為

其中t為特定區(qū)域半徑.

結(jié)合(2)式可將(18)式整理為

建立晶體端面抽運光功率分布模型,仿真條件跟前文相同,對(19)式進(jìn)行求解,發(fā)現(xiàn)t取值不同(即特定區(qū)域大小不同)時,抽運分布階數(shù)k對激光功率Ps的影響不同,圖7列舉了部分t時不同階次k下Ps在Pm比重的變化.

圖7中γ表示在特定區(qū)域內(nèi)不同抽運分布系數(shù)k下激光功率占總功率的比重,可以發(fā)現(xiàn)隨著t的增加,不同階次的超高斯光束所占的比重都在增加,這是由所計算特定區(qū)域t的增加引起的,但同時抽運分布系數(shù)越高的項所占的比例逐漸增大,這就說明階數(shù)越高的光束作用最強的區(qū)域越靠外側(cè).對不同抽運分布系數(shù)k下激光功率所占比重最大的區(qū)域t的范圍進(jìn)行求解,結(jié)果如圖8所示.

圖7 不同t時,抽運分布系數(shù)k對功率Ps在Pm中所占的比重的影響 (a)k=1;(b)k=2;(c)k=3;(d)k=5;(e)k=8;(f)k=10Fig.7.Proportion of pump distribution coefficient k in power Ps/Pmwhen t is different:(a)k=1;(b)k=2;(c)k=3;(d)k=5;(e)k=8;(f)k=10.

從圖8可以看出,相比1階高斯分布光束的范圍0—0.3ω,二階超高斯分布光束激光功率最強的范圍(紅色區(qū)域)0.30ω—0.63ω更寬,示意圖如圖9所示.也就是說當(dāng)二階超高斯光束照射在晶體端面時,能得到最強激光功率的照射面積最大,從而相比其他階次超高斯光束,二階超高斯光束引起的熱效應(yīng)更嚴(yán)重,也就解釋了二階超高斯光束熱透鏡球差最嚴(yán)重的原因.

圖8 不同區(qū)域各階超高斯光最強的范圍Fig.8.Range of strongest super-Gauss in different regions.

圖9 二階超高斯光功率最強的范圍圖Fig.9.Strongest range diagram of 2 order super-Gauss light power.

4 結(jié) 論

本文通過分析Nd:YOV4晶體的工作特性,建立了一個單端抽運,四周恒溫的熱模型.從各向異性的熱傳導(dǎo)方程出發(fā),求解了晶體內(nèi)部的溫度分布、相位差分布,最后通過廣義逆矩陣求解出Zernike多項式系數(shù),建立起抽運光分布系數(shù)k與球差系數(shù)的關(guān)系表達(dá)式;定量地分析了兩者的關(guān)系,及抽運功率對兩者關(guān)系的影響;同時對仿真結(jié)果進(jìn)行了理論分析,解釋了二階超高斯分布球差最大的原因.本文的研究方法和所得結(jié)論具有普遍的適用性,可用于其他激光晶體溫度分布、熱形變、OPD分布、球差分布的定量分析;同時也為從改變抽運光分布的角度改善球差、提高激光器輸出特性提供了理論參考.