蔡林芝，呂王勇

（四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院，成都 610068）

0 引言

常用的時間序列平穩(wěn)性檢驗方法可分為時序圖判斷法[1,2]、自相關系數(shù)檢驗法[3-5]、分段檢驗法[1]、游程檢驗法[6,7]四種。時序圖法與自相關系數(shù)法都是根據圖形特征來判定序列平穩(wěn)性，有一定的主觀性[1]，而游程檢驗法和分段檢驗法都采用假設檢驗，可信度高。分段檢驗先對序列分段，再分別對段與段之間均值與協(xié)方差函數(shù)是否相等進行假設檢驗，若有一個假設不成立則原時間序列就為非平穩(wěn)的。需要進行多個假設檢驗，若每一個檢驗犯第一類錯誤的概率為α，則各段均值與自協(xié)方差函數(shù)都相等的假設累計犯第一類錯誤的概率均會超過α，即由于樣本的隨機性會使得各段序列均值與自協(xié)方差函數(shù)被誤判為不全相等的概率均會超過α，從而使平穩(wěn)時間序列被誤判為非平穩(wěn)的概率增大，降低了分段檢驗的可信度。

Tukey于1951年提出的Tukey法[8]是解決多個水平均值中兩兩均值相等的檢驗同時發(fā)生概率低的有效方法，構造一個t化極差統(tǒng)計量，將其犯第一類錯誤的概率控制在α以內。本文基于Tukey法，在均值與自協(xié)方差函數(shù)兩兩比較中各構造一個t化極差檢驗，分別給定檢驗臨界值，比較t化極差統(tǒng)計量與其相應臨界值的大??；若小于相應的臨界值，則認為各段均值間或自協(xié)方差函數(shù)間無顯著性差異，將其犯第一類錯誤的概率均控制在α以內，即由于樣本的隨機性使得各段序列均值與自協(xié)方差函數(shù)被誤判為不全相等的概率控制在α以內，降低了序列被誤判為非平穩(wěn)的概率，提高了時間序列分段檢驗的有效性。

1 經典的分段檢驗理論

通常將按照時間順序排列的隨機序列 X1，X2，...，XN稱為一個時間序列，簡記為{Xt，t∈T}。對每個給定的時刻t，Xt是一個隨機變量。若時間序列{Xt}的二階矩存在，且滿足：

①對?t∈T，EXt=μ；

②對?t，s∈T，E(Xt-μ)(Xs-μ)=γt-s=γτ，

就稱{Xt}為平穩(wěn)時間序列，其中τ=t-s為時間間隔，γτ為{Xt}的間隔為τ的自協(xié)方差函數(shù)。若{Xt}為平穩(wěn)序列，將其等分為k段，則每段也應平穩(wěn)，且段與段之間的均值、自協(xié)方差函數(shù)也相等。用 μ(i)，，i=1，2，...k 分別表示第i段的總體均值與間隔為τ的自協(xié)方差函數(shù)，則有：

現(xiàn)用分段檢驗的方法檢驗長度為N的時間序列的平穩(wěn)性，將其均分成長度為M的k個子序列，則N=M·k。若每個子序列服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，用隨機變量 X(i)，i=1，2，...，k 表示子序列總體，則有 X（i)～N(μ(i)，σ)，其中 σ為第i段總體方差。檢驗任意兩段均值與自協(xié)方差函數(shù)是否有顯著差異，若其均無明顯差異，則認為總體序列是平穩(wěn)的；若至少有一組存在顯著性差異，則認為是非平穩(wěn)的。由此，需以顯著性水平α分別檢驗C組兩兩均值以及C組兩兩自協(xié)方差函數(shù)是否相等[9,10]，至少有一組存在顯著差異的概率均為1-(1-α。故當k＞2時，兩兩均值檢驗，兩兩協(xié)方差函數(shù)檢驗犯第一類錯誤的概率均會超過水平α，且隨著k增加，會使得其犯第一類錯誤的概率均大大增加，檢驗的有效性低。本文基于Tukey法在均值與自協(xié)方差函數(shù)兩兩比較中各構造一個t化極差統(tǒng)計量，使得分段檢驗中各段均值都相等與自協(xié)方差函數(shù)都相等的假設累計犯第一類錯誤的概率均控制在α以內，降低了序列被誤判為非平穩(wěn)的概率，提高了時間序列分段檢驗的有效性。

2 基于Tukey法的總體均值兩兩檢驗

設樣本序列 x1，x2，...，xN為時間序列 X1，X2，...，XN的一次觀測，將其均分成長度為M的k個子序列，分段后樣本子序列可表示為為正態(tài)或近似正態(tài)總體的樣本。對于這k個子序列，分別計算它們的樣本均值與樣本自協(xié)方差函數(shù)如下：

分別檢驗第i段與第z段(1≤i＜z≤k)總體均值是否相等，構成了一個多重比較，即以顯著性水平α分別檢驗如

其中：

為σ2的無偏估計。則檢驗問題在水平α下的接受域為：

故有：

因此：

是自由度為k，N-k的t化極差分布[12,13]，當取定P(W|都成立)=α時，為t化極差分布的右側α分位數(shù) q1-α(k，N-k)，可由t化極差分布表查得。此時，檢驗問題在水平α下的接受域為：

因此，本文基于Tukey法構造的一個t化極差檢驗，將各段均值都相等的假設累計犯第一類錯誤的概率控制在α內，降低了序列均值被誤判為不全相等的概率，提高了時間序列分段檢驗的有效性。

3 基于Tukey法的總體自協(xié)方差函數(shù)的兩兩檢驗

當 τ=0，1，...，M-1 時，分別檢驗第 i段與第 z 段(1≤i＜z≤k)總體自協(xié)方差是否相等，則對?τ=0，1，...，M-1都將進行C次兩兩自協(xié)方差檢驗。由中心極限定理知隨機變量，此時對第 i段與第z段總體自協(xié)方差函數(shù)是否相等的假設檢驗如下：

其中：

ρτ為總體自相關系數(shù)，s為σ的無偏估計。則檢驗問題H(τ)在水平α下的接受域為：

其中，cτ應在都成立)確定。

其中：

因此，本文基于Tukey法構造的t化極差檢驗，將各段自協(xié)方差函數(shù)都相等的假設累計犯第一類錯誤的概率控制在α內，降低了序列自協(xié)方差函數(shù)被誤判為不全相等的概率，提高了時間序列分段檢驗的有效性。

4 總結

分段檢驗是研究時間序列平穩(wěn)性的常用方法，傳統(tǒng)的分段檢驗理論會使平穩(wěn)時間序列被誤判為非平穩(wěn)的概率增大，有效性低。本文基于Tukey法在各段均值與自協(xié)方差函數(shù)相等的檢驗中各構造了一個t化極差統(tǒng)計量，減少了檢驗犯第一類錯誤的概率，從而降低了平穩(wěn)序列被誤判為非平穩(wěn)的概率，提高了時間序列平穩(wěn)性檢驗的分段檢驗方法的有效性。