王 鑫，龍夢(mèng)璇，韓志軍，吳亞麗

(太原理工大學(xué) a.力學(xué)學(xué)院，b.建筑與土木工程學(xué)院，太原 030024)

功能梯度材料是由兩種或多種材料構(gòu)成的新型復(fù)合材料，具有不同材料之間呈現(xiàn)光滑連續(xù)的特性，可以有效避免傳統(tǒng)復(fù)合材料因材料屬性微觀不均勻而引起的應(yīng)力集中以及分層、開裂等現(xiàn)象。功能梯度材料由于優(yōu)越的力學(xué)性能而備受學(xué)術(shù)界關(guān)注[1-2]，在航空航天、機(jī)械工程、生物醫(yī)學(xué)工程以及核工程等諸多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，科研人員對(duì)功能梯度板的動(dòng)力屈曲的探究也不斷深入[3-4]。FELDMAN et al[5]研究了功能梯度板在面內(nèi)載荷作用下的彈性動(dòng)力屈曲，并給出了增強(qiáng)項(xiàng)的最佳空間分布。LATIFI et al[6]基于經(jīng)典板理論，采用傅里葉級(jí)數(shù)展開研究了各種邊界條件下面內(nèi)載荷矩形功能梯度板的動(dòng)力屈曲。BODAGHI et al[7]采用細(xì)觀力學(xué)模型，給出了簡(jiǎn)支條件下非均勻分布面內(nèi)動(dòng)力載荷矩形功能梯度板屈曲解析表達(dá)式。NG et al[8]基于經(jīng)典板理論，討論了功能梯度圓柱殼和矩形板在面內(nèi)周期載荷作用下的動(dòng)態(tài)屈曲。KOWALMICHALSKA et al[9]采用經(jīng)典板理論通過(guò)有限元法獲得了含有裂紋的功能梯度板臨界屈曲載荷。RAD et al[10]基于經(jīng)典板理論，通過(guò)有限元法研究了含初始缺陷的功能梯度板的屈曲問(wèn)題。KHORSHIDI et al[11]基于經(jīng)典板理論，研究了考慮指數(shù)剪切變形下功能梯度納米板的屈曲。 MANTARI et al[12]基于經(jīng)典板理論和雙曲線優(yōu)化方程，對(duì)功能梯度夾層板在面內(nèi)載荷作用下的動(dòng)力屈曲、振動(dòng)以及彎曲進(jìn)行了分析。

綜上所述,目前對(duì)功能梯度板屈曲問(wèn)題的研究大多采用數(shù)值解法和計(jì)算機(jī)仿真。基于此，本文使用Kirchhoff薄板理論與Vogit應(yīng)變假設(shè)，用Hamilton原理得到各項(xiàng)物性參數(shù)服從冪律分布的功能梯度板的動(dòng)力屈曲控制方程；用分離變量法及試函數(shù)法，得出功能梯度板滿足邊界條件的動(dòng)力屈曲臨界載荷解析表達(dá)式，與用棣莫弗公式結(jié)合李茲法得到的動(dòng)力屈曲臨界載荷相同。運(yùn)用MATLAB軟件編程對(duì)臨界載荷解析表達(dá)式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，討論了功能梯度板的幾何尺寸、梯度指數(shù)、模態(tài)階數(shù)以及構(gòu)成材料的各項(xiàng)物性參數(shù)對(duì)臨界載荷的影響。

1 功能梯度材料的物性參數(shù)

基于Vogit等應(yīng)變假設(shè)及線性混合率，假定功能梯度板各項(xiàng)物性參數(shù)僅沿厚度方向變化，陶瓷材料體積率遵循冪律分布[13-14]：

(1)

則板內(nèi)任意一點(diǎn)的物性參數(shù)可表示為:

(2)

2 控制方程推導(dǎo)

功能梯度板在x=0處為夾支邊界條件，在x=Lcr處為固支邊界條件，在y=0和y=Lb處為簡(jiǎn)支邊界條件，此類板簡(jiǎn)稱CFSS板，如圖1所示。

圖1 CFSS功能梯度板加載示意圖Fig.1 CFSS functionally graded material plate under the in-plane load

根據(jù)Kirchhoff薄板理論及經(jīng)典彈性理論，位移與應(yīng)變關(guān)系為：

(3)

功能梯度材料的本構(gòu)關(guān)系為：

(4)

功能梯度板的內(nèi)力及內(nèi)力矩為：

(5)

功能梯度板的剛度矩陣的系數(shù)表達(dá)式為：

(6)

功能梯度板具有橫觀各項(xiàng)同性的力學(xué)性能[15]，可知：

A16=A26=B16=B26=D16=D26=0 .

(7)

功能梯度板發(fā)生屈曲時(shí)的變形能為：

(8)

動(dòng)能(考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)為：

(9)

式(9)中定義廣義慣量為:

(10)

外力功為：

(11)

(12)

(13)

(14)

將式(5)代入式(12)-式(14)可得：

根據(jù)Kirchhoff薄板理論，薄板中面在變形過(guò)程中沒(méi)有伸長(zhǎng)變形，所以含u0,v0的項(xiàng)可以忽略[16]，得出功能梯度材料在面內(nèi)載荷作用下的動(dòng)力屈曲控制方程：

D11wxxxx+(2D22+4D66)wxxyy+D11wyyyy+N(t)wxx-I0w+I2wxx+I2wyy=0 .

(16)

3 控制方程的求解

設(shè)薄板平面的法向位移為[17]：

(17)

代入控制方程化簡(jiǎn)可得：

(18)

對(duì)式(18)分離變量可得：

(19)

式中：

當(dāng)λ<0時(shí)，其解為指數(shù)型發(fā)散解，系統(tǒng)呈現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)λ>0時(shí)，系統(tǒng)圍繞平衡位置做微小擾動(dòng)[18]。所以當(dāng)λ<0,(α-λξ)2-4(β-λξ)>0時(shí)，平板發(fā)生屈曲，其動(dòng)力屈曲解為：

X(x)=C1sink1x+C2cosk1x+
C3sink2x+C4cosk2x.

(20)

式中：

式(20)滿足下列一端夾支、一端固定、另外兩端簡(jiǎn)支功能梯度材料板的邊界條件：

(21)

將式(20)代入式(21)中得：

(22)

若該方程有非奇異解，其系數(shù)行列式必為0.可得：

(23)

分析該式可得：

(24)

由式(24)可得一端夾支、一端固定另外兩端簡(jiǎn)支板臨界屈曲載荷為：

(25)

式中：n1=1,2,3,…;n2=n1+2;m=1,2,3,….由式(17)、式(20)、式(21)聯(lián)立求解，得屈曲解表達(dá)式：

(26)

用里茲法和棣莫弗公式結(jié)合計(jì)算CFSS板動(dòng)力屈曲[15]，根據(jù)邊界條件可取：

(27)

式中：n1=1,2,3,…;n2=n1+2;m=1,2,3,… .將式(27)代入控制方程式(16)，經(jīng)化簡(jiǎn)運(yùn)算，得到臨界載荷表達(dá)式為：

(28)

該方法所得結(jié)果與本文中式(25)不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的動(dòng)力屈曲臨界載荷結(jié)果相同。

將功能梯度板梯度指數(shù)k值取為0，根據(jù)冪律分布及物性參數(shù)表達(dá)式(1)、式(2)，功能梯度材料蛻化為單質(zhì)金屬材料。臨界屈曲載荷表達(dá)式化簡(jiǎn)為：

(29)

4 數(shù)值計(jì)算

本文應(yīng)用MATLAB軟件編程對(duì)式(25)計(jì)算分析，以CFSS功能梯度矩形板為例，加載方式與幾何尺寸見圖1，具體材料參數(shù)取值見表1.

表1 材料各項(xiàng)物性參數(shù)Table 1 Physical parameters of component materials

圖2是當(dāng)CFSS功能梯度板的寬度Lb、厚度h、梯度指數(shù)k、X方向模態(tài)數(shù)m、Y方向模態(tài)數(shù)n相同，構(gòu)成材料不同時(shí)，動(dòng)力屈曲臨界載荷Ncr與臨界長(zhǎng)度Lcr的關(guān)系曲線。

圖2 構(gòu)成材料不同時(shí)臨界載荷與臨界長(zhǎng)度的關(guān)系Fig.2 Relationship between the critical load and length when material is different

圖2表明，Ncr隨Lcr的增加呈指數(shù)式下降。當(dāng)Lcr相同時(shí)，(陶瓷-鐵)板的臨界載荷高于(陶瓷-鈦)板，而(陶瓷-鈦)板與(陶瓷-銅)板的臨界載荷曲線幾乎重合。參照表1，材料鈦和鐵的彈性模量差距較大，材料鈦和銅泊松比差距較大。結(jié)合圖2和表1數(shù)據(jù)分析可得：材料的彈性模量變化對(duì)功能梯度板動(dòng)力屈曲臨界載荷的影響較為明顯，泊松比影響相對(duì)較小。

圖3是當(dāng)CFSS功能梯度板的h、k、m、n與構(gòu)成材料相同，Lb不同時(shí)，Ncr與Lcr的關(guān)系曲線。

圖3 寬度Lb不同時(shí)臨界載荷與臨界長(zhǎng)度的關(guān)系Fig.3 Relationship between the critical load and length when width is different

由圖3可知，當(dāng)Lcr相同時(shí)，Ncr隨Lb的增大而減小。當(dāng)功能梯度材料板的長(zhǎng)寬比小于1/2時(shí)，Ncr隨Lcr變化明顯；大于1/2時(shí)，Ncr隨Lcr的變化趨于平緩。

圖4是當(dāng)CFSS功能梯度板的Lb、h、m、n與構(gòu)成材料相同，k不同時(shí)，Ncr與Lcr的關(guān)系曲線。當(dāng)Lcr相同時(shí)，Ncr隨k的增大而減小。k越小，Ncr隨Lcr的變化越明顯，k值在(0，1)的范圍內(nèi)變化對(duì)Ncr的影響較大。不同k值對(duì)應(yīng)的臨界載荷曲線隨Lcr的增加逐漸趨于水平。

圖4 梯度指數(shù)k不同時(shí)臨界載荷與臨界長(zhǎng)度的關(guān)系Fig.4 Relationship between the critical load and length when gradient index is different

圖5是當(dāng)CFSS功能梯度板的Lb、h、k、m與構(gòu)成材料相同，n不同時(shí)，Ncr與Lcr的關(guān)系曲線。當(dāng)Lcr相同時(shí)，Ncr隨n的增大而增大，n值越高，Ncr隨Lcr變化越明顯，表明臨界載荷越大，功能梯度板的高階屈曲模態(tài)越容易被激發(fā)。當(dāng)臨界長(zhǎng)度達(dá)到一定值時(shí)，不同的X向模態(tài)數(shù)對(duì)應(yīng)的臨界載荷逐漸趨于一定值。

圖5 X方向模態(tài)數(shù)n不同時(shí)臨界載荷與臨界長(zhǎng)度的關(guān)系Fig.5 Relationship between critical load and length when the modal number of X direction is different

圖6是當(dāng)CFSS功能梯度板的Lb、h、k、n與構(gòu)成材料相同，m不同時(shí)，Ncr與Lcr的關(guān)系曲線。當(dāng)Lcr

圖6 Y方向模態(tài)數(shù)不同時(shí)臨界載荷與臨界長(zhǎng)度的關(guān)系Fig.6 Relationship between critical load and length when the modal number of Y direction is different

相同時(shí)，Ncr隨m的增大而增大，且m越大，相鄰模態(tài)數(shù)對(duì)應(yīng)的Ncr差值越大，不同m值對(duì)應(yīng)的曲線隨Lcr的增大逐漸趨于水平。這也表明：臨界載荷越大，越容易激發(fā)高階模態(tài)。

圖7 構(gòu)成材料不同時(shí)臨界載荷與厚度的關(guān)系Fig.7 Relationship between critical load and thickness when material is different

圖7是當(dāng)CFSS功能梯度板的Lcr、Lb、k、m、n相同，構(gòu)成材料不同時(shí)，Ncr與h的關(guān)系曲線。由圖可知，圖7表明，Ncr隨h的增大而增大。當(dāng)h相同時(shí)，陶瓷-鐵板的臨界載荷高于陶瓷-鈦板，而陶瓷-鈦板與陶瓷-銅板的臨界載荷曲線幾乎重合，表明材料的彈性模量變化對(duì)屈曲臨界載荷的影響較為明顯，泊松比的影響相對(duì)較小，與圖2所得結(jié)論相符。

圖8是當(dāng)CFSS功能梯度板的Lb、k、m、n與構(gòu)成材料相同，Lcr不同時(shí)，Ncr和h的關(guān)系曲線。當(dāng)Lcr一定時(shí)，Ncr隨h的增大而增大。當(dāng)h相同時(shí)，Ncr隨Lcr的增大而減小，且Ncr降幅隨Lcr的增加呈遞減趨勢(shì)，與圖3所得結(jié)論相符。

圖8 臨界長(zhǎng)度Lcr不同時(shí)臨界載荷與厚度的關(guān)系Fig.8 Relationship between critical load and thickness when length is different

圖9是當(dāng)CFSS功能梯度板的Lcr、Lb、m、n與構(gòu)成材料相同，k不同時(shí)，Ncr與h的關(guān)系曲線。當(dāng)h相同時(shí)，Ncr隨k的增大而減小，k值越小曲線傾斜度越大，k值在(0，1)的范圍內(nèi)變化對(duì)臨界載荷的影響明顯，與圖4所得結(jié)論相符。

圖9 梯度指數(shù)k不同時(shí)臨界載荷與厚度的關(guān)系Fig.9 Relationship between critical load and thickness when gradient index is different

圖10是當(dāng)CFSS功能梯度板的Lcr、Lb、k、m與構(gòu)成材料相同，n不同時(shí)，Ncr和h的關(guān)系曲線。當(dāng)h相同時(shí)，Ncr隨n的增大而增大；n越大，曲線傾斜度越大，相鄰模態(tài)數(shù)對(duì)應(yīng)的Ncr差值越大。這表明：高階模態(tài)對(duì)臨界載荷的影響較明顯，低階模態(tài)影響較小。

圖10 X方向模態(tài)數(shù)n不同時(shí)臨界載荷與厚度的關(guān)系Fig.10 Relationship between critical load and thickness when the modal number of X direction is different

圖11是當(dāng)CFSS功能梯度板的Lcr、Lb、k、n與構(gòu)成材料相同，m不同時(shí)，Ncr與h的關(guān)系曲線。當(dāng)h相同時(shí)，Ncr隨m的增大而增大；并且m越大，相鄰階數(shù)對(duì)應(yīng)的Ncr差值越大。結(jié)合圖10可知, 當(dāng)功能梯度板厚度變化時(shí)，Y方向模態(tài)數(shù)比X方向模態(tài)數(shù)對(duì)臨界載荷影響明顯。

圖11 Y向模態(tài)數(shù)m不同時(shí)臨界載荷與厚度的關(guān)系Fig.11 Relationship between critical load and thickness when the modal number of Y direction is different

圖12是當(dāng)CFSS功能梯度板的幾何尺寸一定時(shí)，兩種構(gòu)成材料的泊松比與動(dòng)力屈曲臨界載荷的關(guān)系圖。

圖12 CFSS板中B、D兩種材料之間的臨界載荷與泊松比μ1，μ2的關(guān)系Fig.12 Relationship between critical load and Poisson ratio when CFSS plate is made up of two materials

由圖可知，當(dāng)功能梯度板的幾何尺寸一定時(shí)，臨界載荷隨構(gòu)成材料的泊松比增大而增大，并且其函數(shù)曲線的斜率隨泊松比的增大而增大。

圖13是當(dāng)CFSS功能梯度板的幾何尺寸一定時(shí)，兩種構(gòu)成材料的彈性模量與板動(dòng)力屈曲臨界載荷的關(guān)系圖。當(dāng)功能梯度板的幾何尺寸一定時(shí)，臨界載荷隨構(gòu)成材料彈性模量的增大而增大，且變化趨勢(shì)接近線性關(guān)系。

圖13 CFSS板中B、D兩種材料之間臨界載荷與兩種材料彈性模量E1，E2的關(guān)系Fig.13 Relationship between critical load and elastic modulus when CFSS plate is made up of two materials

圖14是當(dāng)功能梯度板X方向與Y方向模態(tài)數(shù)取值不同時(shí)，功能梯度材料板的屈曲模態(tài)圖。

由圖可知，功能梯度板屈曲模態(tài)幅值w，隨X方向正向遞增，且固定端屈曲模態(tài)幅值較大；隨Y方向正向不變，且屈曲模態(tài)呈正對(duì)稱或反對(duì)稱分布。這表明邊界條件對(duì)功能梯度板的屈曲模態(tài)影響較大，模態(tài)階數(shù)越大，雙向屈曲模態(tài)越復(fù)雜。

圖14 模態(tài)數(shù)取值不同時(shí)的CFSS功能梯度板屈曲模態(tài)圖Fig.14 CFSS buckling mode image of functionally graded material plate when model number are different

5 結(jié)論

1) 基于Vogit應(yīng)變假設(shè)與Kirchhoff薄板理論以及線性混合率，由Hamilton原理導(dǎo)出了功能梯度材料板動(dòng)力屈曲控制方程式(16).

2) 用試函數(shù)法與分離變量法求解，得到了功能梯度材料板在相應(yīng)邊界條件下的動(dòng)力屈曲臨界載荷的解析表達(dá)式(25)和屈曲的模態(tài)表達(dá)式(26)，其屈曲模態(tài)如圖14.

3) 用MATLAB軟件編程計(jì)算式(25)和式(26)，討論了功能梯度板的臨界長(zhǎng)度、寬度、厚度、梯度指數(shù)、材料屬性以及屈曲模態(tài)階數(shù)對(duì)屈曲臨界載荷及屈曲模態(tài)的影響。結(jié)果表明：功能梯度板動(dòng)力屈曲臨界載荷隨長(zhǎng)度的增大呈指數(shù)式下降，隨厚度的增大而增大；屈曲臨界載荷隨梯度指數(shù)k的增大而減小，且在(0，1)范圍內(nèi)變化對(duì)臨界載荷影響較大；屈曲臨界載荷隨構(gòu)成材料的彈性模量、泊松比的增大而增大，且彈性模量影響較大，泊松比影響較??；屈曲臨界載荷隨模態(tài)數(shù)的增大而增大，當(dāng)功能梯度板沿Y方向模態(tài)數(shù)一定時(shí)，X方向模態(tài)數(shù)越大，相鄰階數(shù)的臨界載荷差值越大，且不同Y方向模態(tài)數(shù)的臨界載荷隨長(zhǎng)度的增大逐漸趨于水平。當(dāng)X方向模態(tài)數(shù)一定時(shí)，與上述結(jié)論相同；屈曲模態(tài)階數(shù)越大，雙向屈曲模態(tài)越復(fù)雜，且屈曲模態(tài)變形幅值沿X方向正向遞增，固定端變形較大，表明邊界條件對(duì)功能梯度板的屈曲模態(tài)影響較大。面內(nèi)載荷越大，越容易激發(fā)功能梯度板產(chǎn)生高階屈曲模態(tài)。