王 磊

隨著六大核心素養(yǎng)的提出，中考中對一元二次方程的考查形式有了新的動向.其中，對應(yīng)用的考查，既重視基礎(chǔ)知識，又加大了對邏輯推理、直觀想象等方面能力的考查，往往還會結(jié)合一些生活情境.現(xiàn)通過對兩道中考題的分析，幫助同學(xué)們掌握相關(guān)的解答技巧.

一、中考例題

例1 （2018·貴州安順）某地2015年為做好“精準(zhǔn)扶貧”，投入資金1280萬元用于異地安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2017年在2015年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬元.

（1）從2015年到2017年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少？

（2）在2017年異地安置的具體實(shí)施中，該地計(jì)劃投入資金不低于500萬元用于優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定前1000戶（含第1000戶）每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)8元，1000戶以后每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)5元.按租房400天計(jì)算，求2017年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì).

【解析】（1）設(shè)年平均增長率為x，根據(jù)2015年投入資金×（1+增長率）2=2017年投入資金，列出方程求解即可.

（2）設(shè)今年該地至少有a戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，根據(jù)前1000戶獲得的獎(jiǎng)勵(lì)總數(shù)+1000戶以后獲得的獎(jiǎng)勵(lì)總和≥500萬，列不等式求解可得.

【解答】（1）設(shè)該地投入異地安置資金的年平均增長率為 x，根據(jù)題意得 1280（1+x）2=1280+1600，解得：x=0.5或x=-2.5（舍去）.

答：從2015年到2017年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為50%.

（2）設(shè)2017年該地有a戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，根據(jù)題意得，

答：2017年該地至少有1900戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì).

【點(diǎn)評】本題從生活的角度考查了一元二次方程的應(yīng)用.第一問屬于常規(guī)題，同學(xué)們在平時(shí)的學(xué)習(xí)中注意訓(xùn)練，應(yīng)該可以較為順利地解決這個(gè)問題.第二問需要同學(xué)們有一定的數(shù)學(xué)閱讀和分析能力：首先要能夠判斷出享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)的住戶是否超過1000人；

其次，要能夠?qū)⑾硎艿絻?yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)的住戶分為兩類，按照兩種價(jià)格結(jié)算，分類列出不等式，完成解答.通過本道題，同學(xué)們還可以了解到我國現(xiàn)行的相關(guān)政策.這是一道很有實(shí)際意義的考題.

例2 （2018·湖北黃岡）一個(gè)三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊長是方程x2-10x+21=0的根，則三角形的周長為_______.

【解析】將已知的方程x2-10x+21=0左邊分解因式，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0，將原方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求出一次方程的解，得到原方程的解為3或7.再利用三角形的兩邊之和大于第三邊進(jìn)行判斷，得到滿足題意的第三邊的長，從而求得三角形的周長.

【解答】將x2-10x+21=0因式分解得：（x-3）（x-7）=0，解得：x1=3，x2=7.

∵三角形的第三邊是x2-10x+21=0的根，

∴三角形的第三邊為3或7.當(dāng)三角形第三邊為3時(shí)，3+3=6，不能構(gòu)成三角形，舍去；當(dāng)三角形第三邊為7時(shí)，三角形三邊分別為3，6，7，能構(gòu)成三角形，則第三邊的長為7.

∴三角形的周長為：3+6+7=16.故答案為：16.

【點(diǎn)評】本題考查了利用因式分解法求解一元二次方程，以及三角形三邊的關(guān)系.利用因式分解法求解一元二次方程時(shí)，首先將方程右邊化為0，左邊分解因式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0，將原方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解.

二、變式練習(xí)

變式一：某市從2018年開始大力發(fā)展“西游文化”旅游產(chǎn)業(yè).據(jù)統(tǒng)計(jì)，該市2018年“西游文化”旅游收入約為2億元.預(yù)計(jì)2020年“西游文化”旅游收入達(dá)到2.88億元，據(jù)此估計(jì)該市2018年～2020年“西游文化”旅游收入的年平均增長率約為（ ）.A.2% B.4.4% C.20% D.44%

【解析】設(shè)增長率為x，根據(jù)2018年旅游收入×（1+增長率）2=2020年旅游收入，列出方程求解即可.

【解答】C.

【點(diǎn)評】解決本類題，認(rèn)真審題很重要，從題干中發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)一元二次方程的應(yīng)用問題是關(guān)鍵，選用直接開平方法計(jì)算答案是高效率的方法.通過對題目的提煉可以整理得到方程——2（1+x）2=2.88，解該方程得到答案是0.2，故答案選擇C.

變式二：歐幾里得的《原本》記載，形如x2+ax=b2的方程的圖解法是：畫Rt△ABC，使再在斜邊AB上截取則該方程的一個(gè)正根是（ ）.

A.AC的長 B.AD的長

C.BC的長 D.CD的長

【解析】將x2+ax=b2利用配方法變形得到：變形得到完全平方形式（x+直接開平方后得到因?yàn)橐笳?，所以只保留?/p>

a2形式，根據(jù)題意，線段AB的長是 b2+4，所以的長就是線段AB的長度減去線段BD的長度，因此答案選擇B.

【解答】B.

【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，還考查了配方法解一元二次方程和勾股定理等知識.同學(xué)們需要在理解代數(shù)方法的基礎(chǔ)上，融入幾何思考，能夠?qū)⒊橄蟮氖阶又庇^地展示為幾何圖形.這是一道非常好的培養(yǎng)同學(xué)們幾何直觀素養(yǎng)的考題.