吳曉剛
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)目的就是為了解決生活中的問(wèn)題.同學(xué)們?cè)诿鎸?duì)一些實(shí)際問(wèn)題時(shí),要有這樣的應(yīng)用意識(shí):分析問(wèn)題,尋找其中的等量關(guān)系,運(yùn)用方程模型來(lái)解決問(wèn)題.而當(dāng)我們用一元二次方程來(lái)解決問(wèn)題時(shí),錯(cuò)誤就相應(yīng)增多了.本文旨在幫助同學(xué)們厘清這些錯(cuò)誤的本因,準(zhǔn)確地解決這類實(shí)際問(wèn)題.
例1(2017·西藏)某種電腦病毒傳播非常快,如果一臺(tái)電腦被感染,經(jīng)過(guò)兩輪的傳播就會(huì)有144臺(tái)電腦被感染.請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)分析,每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦?
【錯(cuò)解】設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦,根據(jù)題意得:x2=144,解得:x1=12,x2=-12(不合題意,舍去).答:每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染12臺(tái)電腦.
【剖析】每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦,錯(cuò)解中兩輪后感染的臺(tái)數(shù)為x·x=x2,漏掉了原來(lái)感染的電腦.而實(shí)際上原來(lái)有一臺(tái)電腦被感染,一輪感染x臺(tái)電腦,共有(x+1)臺(tái)電腦被感染,則第二輪被感染的電腦為(1+x)x臺(tái),由此得到總共被感染的電腦為1+x+(1+x)x臺(tái).
【正解】設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦,根據(jù)題意得:1+x+(1+x)x=144,整理得:x2+2x-143=0,解得:x1=11,x2=-13(不合題意,舍去).答:每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染11臺(tái)電腦.
【點(diǎn)評(píng)】本題在解答時(shí)要抓住的本質(zhì)是原來(lái)被感染的電腦的臺(tái)數(shù),這樣才能準(zhǔn)確得到下一輪被感染的電腦的臺(tái)數(shù)及總臺(tái)數(shù).
例2某工廠從今年1月份起使用新設(shè)備,當(dāng)月生產(chǎn)收入達(dá)100萬(wàn)元,1至3月份生產(chǎn)收入以相同的百分率逐月增長(zhǎng),累計(jì)達(dá)364萬(wàn)元.求使用新設(shè)備后,2月、3月生產(chǎn)收入的月增長(zhǎng)率.
【錯(cuò)解】設(shè)每月的增長(zhǎng)率為x,由題意得:100(1+x)2=364,解得x≈0.91,或x≈-2.91(不合題意舍去).答:每月的增長(zhǎng)率是91%.
【剖析】本題的錯(cuò)誤是將364萬(wàn)元當(dāng)成了3月份的生產(chǎn)收入,而實(shí)質(zhì)上364萬(wàn)元是1至3月份的總收入.題目條件中“累計(jì)”一詞已明確告知.1月份生產(chǎn)收入100萬(wàn)元,每月的增長(zhǎng)率為x,則2月份收入為100(1+x)萬(wàn)元,3月份收入為100(1+x)2萬(wàn)元,三個(gè)月的收入相加為總收入364萬(wàn)元.
【正解】設(shè)每月的增長(zhǎng)率為x,由題意得:100+100(1+x)+100(1+x)2=364,解得x=0.2,或x=-3.2(不合題意,舍去).答:每月的增長(zhǎng)率是20%.
【點(diǎn)評(píng)】本題在解答時(shí)應(yīng)抓住的本質(zhì)是“累計(jì)”達(dá)到的收入,忽視對(duì)關(guān)鍵詞的理解會(huì)讓你“滿盤皆輸”.
例3某商店進(jìn)了一批服裝,每件成本為50元,如果按每件60元出售,可銷售800件;如果按每件提價(jià)0.5元出售,其銷售量就減少10件.如果商店銷售這批服裝要獲得利潤(rùn)12000元,同時(shí)要使顧客得到實(shí)惠,那么這種服裝售價(jià)應(yīng)定為多少元?
【錯(cuò)解1】設(shè)這種服裝售價(jià)應(yīng)為x元,由題意,得(x-50)[800-10×0.5×(x-60)]=12000.
【錯(cuò)解2】設(shè)這種服裝售價(jià)應(yīng)為x元,由題意,得解這個(gè)方程,得x1=70,x2=80.答:每件服裝定價(jià)為70元或80元.
【剖析】對(duì)于每件服裝的利潤(rùn),同學(xué)們沒(méi)有問(wèn)題,但對(duì)于服裝的銷售數(shù)量,很多同學(xué)不知所云,導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)解1中的情況.同學(xué)們思考的障礙在于“如果按每件提價(jià)0.5元出售,其銷售量就減少10件”,應(yīng)當(dāng)把它轉(zhuǎn)化為“每件提價(jià)1元出售,其銷售量就減少20件”.有些同學(xué)碰上小數(shù)就發(fā)怵,如果條件是“如果按每件提價(jià)5元出售,其銷售量就減少100件”,他們就沒(méi)問(wèn)題了.錯(cuò)解2中沒(méi)有抓住“要使顧客得到實(shí)惠”這句話,沒(méi)有將定價(jià)高的答案舍去.
【正解】設(shè)這種服裝售價(jià)應(yīng)為x元,由題意,得解這個(gè)方程,得x1=70,x2=80.∵商店要使顧客得到實(shí)惠,∴定價(jià)為每件80元不合題意,應(yīng)舍去.答:每件服裝定價(jià)為70元.
【點(diǎn)評(píng)】本題在解答時(shí)應(yīng)抓住的本質(zhì)是服裝銷售數(shù)量的關(guān)系式,這個(gè)關(guān)系式的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵是隨著售價(jià)的變化,銷售數(shù)量是如何變化的.本題另一個(gè)關(guān)鍵是驗(yàn)根,一元二次方程都有兩個(gè)根,在求解無(wú)誤的前提下也必須要檢驗(yàn),要看這兩個(gè)根是否有實(shí)際意義,是否滿足題目限制條件.
小試牛刀
1.如圖,利用一面墻(墻EF最長(zhǎng)可利用28米),圍成一個(gè)矩形花園ABCD.與墻平行的一邊BC上要預(yù)留2米寬的入口(如圖中MN所示,不用砌墻).圍花園的材料長(zhǎng)60米,當(dāng)矩形的長(zhǎng)BC為多少米時(shí),矩形花園的面積為300平方米?
2.某香蕉經(jīng)營(yíng)戶以4元/kg的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批香蕉,以6元/kg的價(jià)格出售,每天可售出200kg.為了盡快售罄,該經(jīng)營(yíng)戶決定降價(jià)促銷,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種香蕉每降價(jià)0.1元/kg,每天可多售出50kg.另外,經(jīng)營(yíng)期間每天還需支出固定成本50元.該經(jīng)營(yíng)戶要想每天盈利650元,應(yīng)將每千克香蕉的售價(jià)降低多少元?