，，，

(1西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西西安710049； 2西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710049)

0 引言

彈性箔片氣體軸承支承的高速永磁同步電機(jī)主要應(yīng)用于燃料電池空氣壓縮機(jī)、微型燃?xì)廨啓C(jī)等各種透平機(jī)械中，與傳統(tǒng)電機(jī)相比較，具有一些顯著的優(yōu)勢(shì)，是電機(jī)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。同時(shí)在節(jié)能減排的大環(huán)境下，永磁電機(jī)以效率高、性能好、輕型化等特點(diǎn)，發(fā)揮著重要的作用，具有廣闊的應(yīng)用前景。電磁場(chǎng)分析是電機(jī)研究中的基礎(chǔ)和重點(diǎn)內(nèi)容，對(duì)其計(jì)算和分析的結(jié)果是設(shè)計(jì)、優(yōu)化電機(jī)的關(guān)鍵，影響著電機(jī)振動(dòng)和噪聲、電磁損耗等特性計(jì)算和分析的準(zhǔn)確程度，還直接影響著電機(jī)的控制性能。

氣隙磁場(chǎng)的計(jì)算可以將永磁體磁場(chǎng)和電樞反應(yīng)磁場(chǎng)疊加[1]。在求解永磁電機(jī)電樞反應(yīng)磁場(chǎng)方面，1993年Zhu等[2]在將定子槽內(nèi)的載流導(dǎo)體等效為電流片的基礎(chǔ)上，在極坐標(biāo)下求解拉普拉斯方程，獲得了無(wú)刷永磁直流電機(jī)電樞反應(yīng)磁場(chǎng)的解析解。無(wú)刷永磁電機(jī)定子繞組厚度的作用不能忽視，尤其是當(dāng)繞組厚度與極距之比增加時(shí)，因此用無(wú)限薄電流片等效繞組的話并不合適，Atallah等[3]于1998年基于分布電流模型，獲得了考慮定子繞組厚度時(shí)極坐標(biāo)下無(wú)槽永磁無(wú)刷電機(jī)電樞反應(yīng)磁場(chǎng)的二維解析解。2012年Rahideh等[4]建立了計(jì)算內(nèi)轉(zhuǎn)子和外轉(zhuǎn)子無(wú)槽永磁無(wú)刷電機(jī)電樞反應(yīng)磁場(chǎng)的二維解析模型，該模型適用于交流、直流以及任何相數(shù)的電機(jī)。在求解的過(guò)程中，將整個(gè)電機(jī)的求解場(chǎng)域劃分成為了八個(gè)子區(qū)域，求解相應(yīng)的控制偏微分方程，得到各個(gè)子區(qū)域電樞反應(yīng)磁場(chǎng)分布的通解，根據(jù)邊界條件求出通解中的各個(gè)整數(shù)系數(shù)，進(jìn)而得到各個(gè)子區(qū)域的電樞反應(yīng)磁場(chǎng)分布。林福等[5]從單個(gè)線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)入手，進(jìn)而根據(jù)磁場(chǎng)分布矢量圖推導(dǎo)出單相繞組產(chǎn)生的磁場(chǎng)，通過(guò)合成各相繞組產(chǎn)生的磁場(chǎng)得到分?jǐn)?shù)槽集中繞組永磁同步單元電機(jī)無(wú)槽時(shí)電樞反應(yīng)磁場(chǎng)分布的解析表達(dá)式，基于保角變換方法推導(dǎo)出復(fù)數(shù)氣隙比磁導(dǎo)之后，將無(wú)槽時(shí)的電樞反應(yīng)磁場(chǎng)與復(fù)數(shù)氣隙比磁導(dǎo)相乘，考慮電機(jī)定子開(kāi)槽對(duì)電樞反應(yīng)磁場(chǎng)的影響。Bellara等[6]在2009年利用子區(qū)域法求解了表貼式永磁同步電機(jī)考慮齒槽效應(yīng)時(shí)的電樞反應(yīng)磁場(chǎng)，模型同時(shí)考慮了轉(zhuǎn)子心軸導(dǎo)磁和不導(dǎo)磁的情形，且適用于繞組為疊繞和非疊繞的布線方式，但是文獻(xiàn)并沒(méi)有給出明確的解析形式。Wu等[7]建立了考慮齒尖影響的疊繞和非疊繞繞組表貼式永磁電機(jī)電樞反應(yīng)靜態(tài)磁場(chǎng)的子區(qū)域解析模型。

對(duì)永磁電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁場(chǎng)、電磁損耗等特性進(jìn)行定性分析時(shí)，明確氣隙磁場(chǎng)的諧波成分是關(guān)鍵?，F(xiàn)有的很多永磁體氣隙磁場(chǎng)的解析解都可以清楚地表示出各次諧波磁場(chǎng)成分[8,9]，從這方面來(lái)說(shuō)，目前為止，大多數(shù)電樞反應(yīng)磁場(chǎng)解析解形式卻不太簡(jiǎn)潔，在分析電機(jī)相關(guān)特性時(shí)不夠方便。對(duì)于高速或超高速永磁電機(jī)，由于常規(guī)的疊片轉(zhuǎn)子難以承受高速旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力，需要采用實(shí)心轉(zhuǎn)子，即永磁體采用實(shí)心圓柱式或內(nèi)裝導(dǎo)磁或不導(dǎo)磁心軸的圓環(huán)形。本文針對(duì)這三種結(jié)構(gòu)類(lèi)型的分布繞組永磁同步電機(jī)，從氣隙中單根線電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)入手，推導(dǎo)三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的合成磁場(chǎng)，目的在于獲得以各次諧波成分表達(dá)的形式簡(jiǎn)單且在后續(xù)電機(jī)特性的研究中使用方便的電樞反應(yīng)磁場(chǎng)解析表達(dá)式。

1 實(shí)心圓柱式和內(nèi)裝不導(dǎo)磁心軸的環(huán)形永磁同步電機(jī)

實(shí)心轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)如圖1所示。首先推導(dǎo)實(shí)心圓柱式和內(nèi)裝不導(dǎo)磁心軸的環(huán)形永磁同步電機(jī)電樞反應(yīng)磁場(chǎng)的解析表達(dá)式。

圖1 實(shí)心轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)

1.1 氣隙中單根線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)

在極坐標(biāo)系下建立數(shù)學(xué)模型，下角標(biāo)r，θ和z分別表示變量的徑向、周向和軸向分量。為了分析方便，作如下假設(shè)

(1)定子鐵心的磁導(dǎo)率為無(wú)窮大；

(2)永磁材料的磁導(dǎo)率與空氣磁導(dǎo)率相等；

(3)忽略端部效應(yīng)。

如圖2所示，導(dǎo)線位于r=a，θ=0°處。P為氣隙中的一點(diǎn)，α和ρ表示以線電流所在位置作為原點(diǎn)時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)，則氣隙內(nèi)的向量磁位Az為[10]

(1)

式中，μ0—真空磁導(dǎo)率。

圖2 單根線電流

由于保護(hù)套選用不導(dǎo)磁合金，相對(duì)磁導(dǎo)率與空氣近似，可將永磁體、保護(hù)套和不導(dǎo)磁心軸作為空氣處理。邊界條件為：r→0時(shí)，徑向磁密Br和切向磁密Bθ有界

(2)

根據(jù)邊界條件，求得Aυ和Bυ，代入式(1)，得

(3)

1.2 氣隙中載流線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)

設(shè)線圈的兩條有效邊分別為c1和c2，節(jié)距為y1，張角為2ξ(ξ=y1×90°/τ)，如圖 3 所示，將線圈的兩條有效邊產(chǎn)生的向量磁位疊加可得到線圈在氣隙中產(chǎn)生的磁場(chǎng)，即

(4)

式中，Kyυ—υ次諧波的節(jié)距系數(shù)，Kyυ=sin(υξ)。

圖3 載流線圈

對(duì)于整距線圈，ξ=π/2，偶次諧波的節(jié)距系數(shù)Kyυ=0，式(4)改寫(xiě)為

(5)

氣隙磁密則為

(6)

1.3 相繞組在氣隙中產(chǎn)生的磁場(chǎng)

忽略鐵心飽和，位于定子槽內(nèi)的導(dǎo)體電流等效為位于光滑電樞表面的電流片，寬度等于槽口寬度bo，電流片分布可寫(xiě)為

(7)

式中，Nc—線圈的匝數(shù)；i(t)—定子相電流的瞬時(shí)值；a—并聯(lián)支路數(shù)；β—槽口寬度對(duì)應(yīng)的角度。

由式(6)和式(7)可以得到該電流片在光滑氣隙內(nèi)產(chǎn)生的電樞反應(yīng)磁場(chǎng)

(8)

式中，

(9)

若每極每相槽數(shù)為q，一個(gè)線圈組由q個(gè)線圈串聯(lián)而成。雙層繞組的一相繞組有2p(p為極對(duì)數(shù))個(gè)線圈組，單層繞組的相繞組有p個(gè)線圈組。將磁勢(shì)矢量相加，再考慮到對(duì)于雙層繞組，每相串聯(lián)匝數(shù)N=2pqNc/a，而對(duì)于單層繞組，N=pqNc/a。將單層繞組和雙層繞組綜合處理，若坐標(biāo)軸線取得與線圈組的軸線相重合，可得相繞組在氣隙中產(chǎn)生的磁密幅值為

(10)

(11)

式中，Kwυ—υ次諧波的繞組系數(shù)；Kdυ—υ次諧波的繞組分布系數(shù)；Kpυ—υ次諧波的短距系數(shù)；α—槽距角、電角度；y1—節(jié)距；τ—極距。

于是，單相繞組所產(chǎn)生的氣隙磁密可以寫(xiě)成

(12)

各次諧波的正負(fù)取決于繞組系數(shù)Kwυ的正負(fù)。由式(12)可知單相繞組所產(chǎn)生的氣隙磁密只含基波和3，5，7，…等奇數(shù)次諧波。

1.4 三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的合成磁場(chǎng)

定子三相對(duì)稱(chēng)繞組中通以三相對(duì)稱(chēng)電流，取A相繞組的軸線作為空間坐標(biāo)的原點(diǎn)，并以順著相序的方向作為θ的正方向，同時(shí)選擇A相電流為零的瞬間作為時(shí)間的零點(diǎn)，則各相繞組在氣隙中產(chǎn)生的磁場(chǎng)可寫(xiě)為

(13)

其中，

(14)

式中，Im—定子相電流的幅值。

將三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的磁場(chǎng)相加，并根據(jù)積化和差的三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分解，得到三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的υ次合成磁場(chǎng)為

(15)

(16)

其中，

(17)

由此可知當(dāng)定子三相對(duì)稱(chēng)繞組中通以三相對(duì)稱(chēng)電流時(shí)，三相繞組的基波合成氣隙磁密為一正向旋轉(zhuǎn)磁密波，轉(zhuǎn)速為同步轉(zhuǎn)速ns，諧波合成氣隙磁密不存在次數(shù)為3的整數(shù)倍的諧波成分，只含有5，7，11，…等奇數(shù)次諧波。當(dāng)諧波次數(shù)υ= 6k+ 1 (k= 1，2，3，… ) 時(shí)，諧波合成磁密是一個(gè)正向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為ns/υ的旋轉(zhuǎn)磁密波；當(dāng)υ= 6k-1 (k= 1，2，3，… )時(shí)，諧波合成磁密是一個(gè)反向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為ns/υ的旋轉(zhuǎn)磁密波。

2 內(nèi)裝導(dǎo)磁心軸的環(huán)形永磁同步電機(jī)

對(duì)于內(nèi)裝導(dǎo)磁心軸的環(huán)形永磁同步電機(jī)，假設(shè)心軸的磁導(dǎo)率為無(wú)窮大，邊界條件(1)變?yōu)?/p>

Bθ|r=Rr=0

(18)

式中，Rr—導(dǎo)磁心軸的外半徑。

用同樣的方法推導(dǎo)出相繞組在氣隙中產(chǎn)生的磁場(chǎng)，形式同式(12)，其中

(19)

進(jìn)而推導(dǎo)出三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的υ次合成磁場(chǎng)，形式同式(14)和式(15)，其中

(20)

3 有限元仿真驗(yàn)證

選用兩臺(tái)實(shí)心轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)，分析其電樞反應(yīng)磁場(chǎng)。電機(jī)1為實(shí)心圓柱式永磁同步電機(jī)，電機(jī)2為內(nèi)裝導(dǎo)磁心軸的環(huán)形永磁同步電機(jī)，電機(jī)模型參數(shù)如表1所示，兩臺(tái)樣機(jī)均采用雙層短距繞組結(jié)構(gòu)。在電磁場(chǎng)分析軟件Ansoft Maxwell中建立電機(jī)定子鐵心以及繞組的有限元模型并進(jìn)行氣隙磁場(chǎng)的仿真計(jì)算，將結(jié)果與本文解析模型計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。A相電流達(dá)到最大時(shí)，該相繞組的勵(lì)磁磁場(chǎng)如圖4和圖6所示，可以看出，距離定子內(nèi)徑相對(duì)較遠(yuǎn)處，定子槽口對(duì)氣隙磁密的影響非常微弱，解析解和有限元解吻合地非常好?？拷ㄗ觾?nèi)徑處，定子槽口對(duì)氣隙磁密的影響非常大，解析解和有限元解基本上仍然能夠很好地吻合。需要注意的是，在解析計(jì)算的過(guò)程中，磁場(chǎng)諧波的階次數(shù)取了有限值，這可能會(huì)造成解析解和有限元解的差異。

表1 電機(jī)模型參數(shù)

圖4 A相繞組勵(lì)磁磁場(chǎng)(電機(jī)1)

圖5 三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的合成磁場(chǎng)(電機(jī)1)

A相電流為零的瞬間，三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的合成磁場(chǎng)如圖5和圖7所示。由圖5和圖7可以得出與圖4和圖6相似的結(jié)論，解析法計(jì)算的結(jié)果與有限元法計(jì)算的結(jié)果能夠很好地吻合。

圖6 A相繞組勵(lì)磁磁場(chǎng)(電機(jī)2)

圖7 三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的合成磁場(chǎng)(電機(jī)2)

4 解析模型在電磁轉(zhuǎn)矩分析中的應(yīng)用

本文推導(dǎo)出的實(shí)心轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)電樞反應(yīng)磁場(chǎng)諧波式解析模型形式簡(jiǎn)潔，便于分析同類(lèi)電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩等相關(guān)特性。對(duì)于這三類(lèi)實(shí)心轉(zhuǎn)子永磁電機(jī)，轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)時(shí)，永磁體產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)可表示為

(21)

根據(jù)麥克斯韋應(yīng)力張量法，作用于電機(jī)轉(zhuǎn)子單位面積上的切向電磁力為

(22)

這些結(jié)構(gòu)類(lèi)型的永磁電機(jī)的有效氣隙長(zhǎng)度較大，由定子開(kāi)槽產(chǎn)生的低階力波幅值小，因此可忽略定子開(kāi)槽的影響。考慮到對(duì)于永磁體磁場(chǎng)和電樞反應(yīng)磁場(chǎng)，其自身的徑向和切向磁場(chǎng)相互作用不產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩，因此電磁轉(zhuǎn)矩為

(23)

其中，

(24)

式中，la—電機(jī)的有效軸向長(zhǎng)度；Bδr—負(fù)載徑向氣隙磁密；Bδθ—負(fù)載切向氣隙磁密；Baδr—電樞反應(yīng)徑向氣隙磁密；Baδθ—電樞反應(yīng)切向氣隙磁密；φ—電樞反應(yīng)磁場(chǎng)與永磁體磁場(chǎng)的夾角。

(25)

υ=1時(shí)，Cυ=-1，由式(25)可得到

(26)

即電磁轉(zhuǎn)矩為恒定值，不產(chǎn)生波動(dòng)。

5 結(jié)語(yǔ)

從氣隙中單根線電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)入手，推導(dǎo)了三類(lèi)實(shí)心轉(zhuǎn)子分布繞組永磁同步電機(jī)電樞反應(yīng)磁場(chǎng)的解析模型，結(jié)果表明

(1)單相繞組所產(chǎn)生的氣隙磁密只含基波和3，5，7，…等奇數(shù)次諧波。

(2)當(dāng)定子三相對(duì)稱(chēng)繞組中通以三相對(duì)稱(chēng)電流時(shí)，三相繞組的基波合成氣隙磁密為一正向旋轉(zhuǎn)磁密波，轉(zhuǎn)速為同步轉(zhuǎn)速ns，諧波合成氣隙磁密不存在次數(shù)為3的整數(shù)倍的諧波成分，只含有5，7，11，…等奇數(shù)次諧波。當(dāng)諧波次數(shù)υ=6k+1 (k=1，2，3，… )時(shí)，諧波合成磁密是一個(gè)正向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為ns/υ的旋轉(zhuǎn)磁密波；當(dāng)υ=6k-1 (k=1，2，3，…)時(shí)，諧波合成磁密是一個(gè)反向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為ns/υ的旋轉(zhuǎn)磁密波。

(3)本文電樞反應(yīng)磁場(chǎng)解析模型適用于任意極槽配合以及任意繞組層數(shù)的同類(lèi)實(shí)心轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)，形式簡(jiǎn)潔，方便于電磁轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁場(chǎng)、電磁損耗等電機(jī)特性的分析。

另外，本文將建立的電樞反應(yīng)磁場(chǎng)解析模型應(yīng)用于實(shí)心轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩的分析，結(jié)果表明電磁轉(zhuǎn)矩為恒定值，不產(chǎn)生波動(dòng)。