盧曉明 ，賈建軍 ，周成林 ，謝 永

（1.中國科學(xué)院 上海技術(shù)物理研究所，上海200083；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

地面觀測是衛(wèi)星技術(shù)的主要應(yīng)用方向之一，地球觀測衛(wèi)星在國民經(jīng)濟、社會發(fā)展和國家安全中發(fā)揮著不可或缺的作用，其應(yīng)用領(lǐng)域包括氣象預(yù)報、國土普查、作物估產(chǎn)、森林調(diào)查、環(huán)境保護、災(zāi)害監(jiān)測等，其數(shù)據(jù)與信息已經(jīng)成為國家的基礎(chǔ)性和戰(zhàn)略性資源.空間大口徑望遠鏡光機系統(tǒng)是對地觀測衛(wèi)星的主要有效載荷，隨著望遠鏡口徑的不斷增大，復(fù)合材料應(yīng)用比例越來越大，以往單一的設(shè)計方法不再適用于現(xiàn)代大口徑望遠鏡光機系統(tǒng).隨著空間對地觀測技術(shù)的快速發(fā)展，任務(wù)需求對空間大口徑望遠鏡系統(tǒng)輕量化與穩(wěn)定性的要求不斷提高[1].對于大口徑空間相機來說，次鏡與主鏡之間距離較遠（通常會超過700 mm），導(dǎo)致次鏡連接結(jié)構(gòu)剛性較差，次鏡是非常敏感的光學(xué)元件，一旦次鏡與主鏡的相對位置發(fā)生變化將導(dǎo)致成像質(zhì)量下降[2].因此，合理地設(shè)計主次鏡間的支撐結(jié)構(gòu)，使其既能夠滿足光學(xué)設(shè)計的要求又能夠適應(yīng)空間相機嚴酷的力學(xué)環(huán)境是一個值得深入研究的問題[3-4].

本文針對某空間相機1 m口徑望遠鏡主次鏡支撐筒進行研究.以有限元仿真分析為工具，對初步設(shè)計的支撐筒進行優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化設(shè)計出綜合性能滿足要求的支撐筒結(jié)構(gòu)，最終結(jié)構(gòu)性能相比初始設(shè)計均有顯著提高.

1 初步設(shè)計

前期開展的支撐筒結(jié)構(gòu)設(shè)計如圖1所示.材料為銦鋼，支撐筒筒壁的基本壁厚為5 mm，加強筋基本壁厚為2.5 mm，次鏡支架基本壁厚為10 mm，中央連接環(huán)壁厚為20 mm.重量為41 kg，徑向變形與軸向變形為22.1 μm與22.7 μm，一階模態(tài)為80.4 Hz.經(jīng)分析，支撐筒次鏡鏡架剛度偏低，重力變形較大，需對結(jié)構(gòu)進行進一步優(yōu)化改進.

圖1 支撐筒初步設(shè)計Fig.1 Preliminary design of support tube

2 拓撲優(yōu)化

支撐筒的主要功能為連接基座和次鏡構(gòu)件，在保證靜剛度和結(jié)構(gòu)強度的條件下，還要滿足低熱變形、低重量的要求[5-6].

結(jié)構(gòu)設(shè)計的目的是方案在輸入載荷條件下能夠滿足所有指標(biāo)要求，因此結(jié)構(gòu)設(shè)計可以說是一個優(yōu)化問題[7-8].即在保證方案達到某些性能目標(biāo)并滿足一定約束條件的前提下，通過改變某些設(shè)計變量，使得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性能達到最期望的目標(biāo)[9].例如，在結(jié)構(gòu)滿足變形、重量要求的前提下，通過改變某些設(shè)計變量，使得結(jié)構(gòu)的剛度最大.采用系統(tǒng)拓撲優(yōu)化的思路，以數(shù)學(xué)規(guī)劃為理論基礎(chǔ)，將設(shè)計問題的物理模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運用最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法進行系統(tǒng)求解，在充分考慮多種設(shè)計約束的前提下尋求滿足預(yù)定目標(biāo)的最佳設(shè)計[10-12].

優(yōu)化設(shè)計有3要素，即設(shè)計變量、約束條件和優(yōu)化目標(biāo)[13].

①設(shè)計變量是在優(yōu)化過程中發(fā)生改變從而提高性能的一組參數(shù).如結(jié)構(gòu)實體區(qū)域的單元密度即是典型的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中的設(shè)計變量.②約束條件是對設(shè)計的限制，是對設(shè)計變量和其他性能的要求.如結(jié)構(gòu)的一階固有頻率不得低于90 Hz、結(jié)構(gòu)重量不超過45 kg等，即是對約束條件的具體表述.③優(yōu)化目標(biāo)即是要求的最優(yōu)設(shè)計性能.如結(jié)構(gòu)某部位變形量最小等.考慮到目前的設(shè)計分析手段和計算規(guī)模限制，本文僅采用單目標(biāo)優(yōu)化方法.

優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型可表述為：

最小化：f（X）=f（x1，x2，…，xn）

式中：X=x1，x2，…，xn為設(shè)計變量；f（X）是目標(biāo)函數(shù)；第一類約束條件g（X）是不等式類型的約束函數(shù)；第二類約束條件h（X）是等式類型的約束函數(shù)；第三類約束條件xi是范圍類型的約束函數(shù).

在采用有限元方法進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計工作中，目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)都是從有限元分析中獲得的結(jié)構(gòu)響應(yīng).設(shè)計變量依賴于優(yōu)化類型，在拓撲優(yōu)化中，設(shè)計變量一般為結(jié)構(gòu)單元的密度[14-15].

本文采用了變密度法結(jié)構(gòu)拓撲算法[16-17].其基本思想是：人為假定有限元密度和材料物理屬性之間的某種對應(yīng)關(guān)系（如50%密度的有限元提供50%的質(zhì)量貢獻和25%的剛度貢獻），以連續(xù)變量的密度函數(shù)形式來表達這種對應(yīng)關(guān)系，然后運用數(shù)學(xué)規(guī)劃法或優(yōu)化準(zhǔn)則法進行求解.本文采用了變密度法的主要插值模型，“帶懲罰指數(shù)的固體各向同性微結(jié)構(gòu)模型”（SIM模型），進行結(jié)構(gòu)拓撲研究.本方法可以實現(xiàn)考慮多種約束條件（如重量、重心、固有頻率、應(yīng)力、穩(wěn)定性、制造性等）下的結(jié)構(gòu)剛度、強度和動力特性設(shè)計，并且能夠完成多材料配系、多載荷工況等復(fù)雜要求的結(jié)構(gòu)設(shè)計工作[18].

在采用本方法進行結(jié)構(gòu)拓撲求解時，其具體步驟為：

①采用有限元法分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)；②收斂判斷；③設(shè)計靈敏度分析；④利用靈敏度信息得到近似模型，并求解近似優(yōu)化問題；⑤返回第①步.

在判定迭代計算是否收斂時，用到了以下2種準(zhǔn)則，即規(guī)則收斂與軟收斂，滿足任意一種即判定計算收斂：（1）相鄰兩次迭代目標(biāo)函數(shù)值的變化小于目標(biāo)容差（本文設(shè)定為0.5%），并且約束條件違反率小于1%時，即達到規(guī)則收斂.此類收斂在工程上的一種常見表述方式為：方案閉合.（2）相鄰兩次迭代的設(shè)計變量變化很小或沒有變化時，達到軟收斂.軟收斂區(qū)別于規(guī)則收斂的典型特征為：其優(yōu)化結(jié)果無法全部滿足所有約束條件.此類收斂在工程上一般稱為：方案無法閉合.如果要在軟收斂結(jié)論的基礎(chǔ)上獲得規(guī)則收斂，需要根據(jù)計算過程數(shù)據(jù)判定影響方案成立主要的影響因素，并在總體指標(biāo)要求上進行相應(yīng)的妥協(xié)，妥協(xié)量可通過相應(yīng)的研究方法定量確定[19-20].

結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化過程經(jīng)歷了102步迭代，并成功收斂.圖2、圖3、圖4分別展示了若干迭代過程的示意圖.

圖2 第5迭代步結(jié)果Fig.2 The 5th iteration result

圖3 第50迭代步結(jié)果Fig.3 The 50th iteration result

圖4 第102迭代步結(jié)果Fig.4 The 102th iteration result

從拓撲優(yōu)化結(jié)果可以看出，結(jié)構(gòu)的主要承載區(qū)在鏡筒的上下法蘭區(qū)域、上法蘭靠下的環(huán)形區(qū)域、次鏡支架遠離中性面的區(qū)域、以及中央連接環(huán)部位.在結(jié)構(gòu)幾何設(shè)計時，應(yīng)重點針對這些部位開展加強設(shè)計.

3 結(jié)構(gòu)影響因素研究

結(jié)構(gòu)設(shè)計重點參考了拓撲優(yōu)化設(shè)計結(jié)果中單元密度高于0.3的區(qū)域.將拓撲優(yōu)化結(jié)果轉(zhuǎn)換為通用中轉(zhuǎn)格式，并導(dǎo)入到幾何設(shè)計軟件中[23].本章節(jié)主要針對筒壁參數(shù)、加強環(huán)參數(shù)、次鏡鏡架參數(shù)等主要結(jié)構(gòu)組件對結(jié)構(gòu)性能的影響進行規(guī)律性分析.

3.1 支撐筒壁厚參數(shù)

分別研究了筒壁壁厚為2、4、6 mm時，結(jié)構(gòu)的重量、中央連接環(huán)變形量和一階頻率的變化規(guī)律，具體結(jié)果如表1所列.由表1可見，壁厚越大，質(zhì)量越大，變形越小，一階頻率越高.

表1 不同筒壁參數(shù)對結(jié)構(gòu)性能的影響Tab.1 Influence of different wall parameters on structure performance

3.2 支撐筒變壁厚筒壁參數(shù)

考慮到筒壁在X-Y平面內(nèi)受重力振動激勵時，結(jié)構(gòu)為典型的懸臂形式.對于這種結(jié)構(gòu)，加強固定端的剛度，減小懸臂端的重量，能夠有效減小結(jié)構(gòu)的靜力變形.于是考慮變壁厚筒壁的參數(shù)研究，即從下部到上部的筒壁壁厚逐漸減小，這樣既滿足懸臂結(jié)構(gòu)的剛度分布，同時相比于一致壁厚的情況又能夠有效地減輕結(jié)構(gòu)重量.

分別研究不同的變壁厚組合下筒體結(jié)構(gòu)的重量、中央連接環(huán)變形量和一階頻率的變化規(guī)律，具體結(jié)果如表2所列.由表2可見，在一定范圍內(nèi)，靠近主鏡部分壁厚越大，變形越??；靠近次鏡部分壁厚越小，變形越小，一階頻率越高.

表2 不同變壁厚參數(shù)對結(jié)構(gòu)性能的影響Tab.2 Influence of different wall thickness parameters on structure performance

3.3 次鏡鏡架壁厚參數(shù)

為研究次鏡鏡架壁厚參數(shù)對結(jié)構(gòu)的影響，建立了次鏡鏡架結(jié)構(gòu)的簡化模型，分別研究不同壁厚參數(shù)對結(jié)構(gòu)性能的影響規(guī)律.模型中次鏡鏡架三爪遠端為固支約束.

分別研究了次鏡鏡架壁厚為5、7、9 mm時，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、中央連接環(huán)變形量和一階頻率的變化規(guī)律，具體結(jié)果如表3所列.由表3可見，壁厚越大，質(zhì)量越大，變形越小，一階頻率越高.

表3 不同次鏡鏡架壁厚對結(jié)構(gòu)性能的影響Tab.3 Influence of wall thickness of different mirror frames on structure and properties

3.4 次鏡鏡架材料參數(shù)

建立了次鏡鏡架結(jié)構(gòu)的簡化模型，分別研究C/SiC復(fù)合材料鏡架和SiC/SiC復(fù)合材料鏡架對結(jié)構(gòu)性能的影響規(guī)律.模型中次鏡鏡架三爪遠端為固支約束.

當(dāng)鏡架壁厚同為9 mm時，C/SiC和SiC/SiC復(fù)合材料鏡架結(jié)構(gòu)的重量、中央連接環(huán)變形量和一階頻率的變化規(guī)律如表4所列.由表4可見，當(dāng)鏡架材料替換為SiC/SiC時，質(zhì)量增加約1 kg，3個方向重力工況下的變形量均降低50%左右，一階頻率提升約35.2%.

表4 不同次鏡鏡架材料對結(jié)構(gòu)性能的影響Tab.4 Influence of different mirror frame materials on structural properties

4 優(yōu)化后方案

根據(jù)上述結(jié)構(gòu)參數(shù)研究結(jié)果，結(jié)合C/SiC材料的特點，以及工藝成型技術(shù)，對實際結(jié)構(gòu)開展了設(shè)計和分析工作.根據(jù)分析，支撐筒筒體選用C/SiC材料，壁厚從下到上分別為6 mm、4 mm、2 mm，次鏡鏡架選用SiC/SiC復(fù)合材料，鏡架壁厚為9 mm.

對優(yōu)化后方案進行了結(jié)構(gòu)性能分析，其重量為47.4 kg，徑向變形與軸向變形為 14.5 μm 與 14.3 μm，一階模態(tài)為114.8 Hz.相比初始方案，質(zhì)量提高了14.5%，徑向與軸向變形量分別減小了34.3%和37%，模態(tài)提高了42.8%.

5 結(jié)論

初始方案設(shè)計中，支撐筒構(gòu)件的主要問題是次鏡鏡架剛度偏低，本文針對這一問題進行優(yōu)化設(shè)計，在結(jié)構(gòu)優(yōu)化時，采用了無源結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的手段，獲得了鏡筒結(jié)構(gòu)的主要傳力路線、確定了結(jié)構(gòu)設(shè)計目標(biāo).進而針對鏡筒主要結(jié)構(gòu)參數(shù)開展了影響因素研究，并詳細設(shè)計了具體方案，優(yōu)化后質(zhì)量為47.4 kg，徑向變形與軸向變形為14.5 μm與14.3 μm，一階模態(tài)為114.8 Hz.相比初始方案，質(zhì)量提高了14.5%，徑向與軸向變形量分別減小了34.3%和37%，模態(tài)提高了42.8%.本文完成了1 m口徑主次鏡望遠鏡支撐筒結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，提高了整體性能，研究工作可為空間相機大口徑望遠鏡支撐筒的設(shè)計提供參考和借鑒.