羅 帥 朱佳洋 楊 浩 陳潤之 沈康立

(紹興文理學(xué)院 土木工程學(xué)院,浙江 紹興312000)

0 引言

結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性是影響結(jié)構(gòu)在地震或風(fēng)荷載作用下動(dòng)態(tài)響應(yīng)的基本屬性，對(duì)于框架結(jié)構(gòu)的抗震分析，在建立結(jié)構(gòu)模型之后，往往直接對(duì)模型進(jìn)行模態(tài)分析以得到結(jié)構(gòu)的地震影響系數(shù)[1-3]，未考慮服役結(jié)構(gòu)各樓層的質(zhì)量布置，而這些質(zhì)量的大小和分布形式會(huì)影響結(jié)構(gòu)上慣性力的分布[4]，從而改變結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)[5-7].

趙峰等[8]采用對(duì)懸臂梁結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量與其結(jié)構(gòu)模態(tài)進(jìn)行了研究，結(jié)果表明附加質(zhì)量可使結(jié)構(gòu)前三階模態(tài)頻率發(fā)生10Hz的改變；祝文畏等[9]在對(duì)框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)發(fā)現(xiàn)填充墻等豎向質(zhì)量分布會(huì)對(duì)框架結(jié)構(gòu)的高階頻率產(chǎn)生很大影響；王磊等[10]研究表明附加質(zhì)量對(duì)于膜結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性有明顯影響,在其振動(dòng)分析中不能忽略；楊秋偉等[11-12]根據(jù)附加質(zhì)量影響結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的關(guān)系，提出了損傷識(shí)別的附加質(zhì)量法.本文擬對(duì)結(jié)構(gòu)的樓層荷載考慮成質(zhì)量之后結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的變化，研究質(zhì)量分布對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性影響，為結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)提供更合理的分析模型，所得結(jié)果對(duì)結(jié)構(gòu)抗震分析具有指導(dǎo)意義[13-14].

1 結(jié)構(gòu)分析模型

如圖1(a)所示，考慮受軸向壓應(yīng)力作用的等截面框架柱單元，我們主要分析由彎曲引起的變形，并假定軸向力的大小不受側(cè)向變形的影響.

側(cè)向變形在柱的中和軸上將引起附加應(yīng)變，如圖1(b)所示，從柱單元中取出一微段ab，長為dx，側(cè)向變形量為dv，在產(chǎn)生側(cè)向變形后，其長度將改變?yōu)椋?/p>

(a)結(jié)構(gòu)模型(mm)

(b)柱單元分析模型圖1 框架結(jié)構(gòu)簡圖

(1)

利用Taylor公式，將上式展開，得到

(2)

忽略高階項(xiàng)，得到撓度在單元中和軸上引起的附加應(yīng)變?nèi)缦拢?/p>

(3)

(4)

其中Z為柱單元截面上中和軸到考查點(diǎn)之間的間距，將以上二項(xiàng)疊加起來，得到柱單元內(nèi)的應(yīng)變?nèi)缦拢?/p>

(5)

不妨將單元的應(yīng)變能分成彎曲應(yīng)變能與外力做功兩部分的和，有

(6)

單元體的彎曲應(yīng)變能可由下式計(jì)算

(7)

其中Vol代表對(duì)體積進(jìn)行積分，把式(5)代入式(7)，并令式d(Vol)=dA·dx其中dA表示微元面積，得到

(8)

已知以下面積分形式

其中A為單元面積，I為單元慣性矩，將這些積分結(jié)果代入應(yīng)變能表達(dá)式(8)得

(9)

在上式中E為單元彈性模量.高階項(xiàng)可以略去，則單元彎曲應(yīng)變能表達(dá)式可以化簡為：

(10)

外力P做功可由下式計(jì)算

(11)

把式(5)代入式(11)，得到

(12)

顯然軸向應(yīng)變能與彎曲變形無關(guān)，在上式(12)中，略去高階項(xiàng)，則外力做功表達(dá)式可以化簡為：

(13)

將式(10)和式(13)代入到方程(6)中得到總的單元應(yīng)變能表達(dá)式為：

(14)

用通常的方法去建立一個(gè)有限元模型.考慮受軸向壓應(yīng)力作用的等截面柱單元，把坐標(biāo)原點(diǎn)放在柱截面的形心上，由于柱單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有一個(gè)撓度變形，一個(gè)轉(zhuǎn)角，即一個(gè)單元共有四個(gè)自由度，其廣義位移為：

(15)

上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置，將柱單元的側(cè)向變形v用三次多項(xiàng)式表示：

(16)

則轉(zhuǎn)角為

(17)

上式中a是位移模式的待定參數(shù)，它可以由結(jié)點(diǎn)的位移表示為：

(18)

化簡可得

(19)

所以

(20)

其中N為單元的形函數(shù)，根據(jù)能量原理，單元的動(dòng)能可以寫成

(21)

上標(biāo)點(diǎn)表示位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，因此，將分布在構(gòu)件中的質(zhì)量集中到各層樓板處建立整體質(zhì)量矩陣：

(22)

求解可得單元質(zhì)量矩陣為：

(23)

將分布在樓層中的質(zhì)量集中到各單元的結(jié)點(diǎn)處建立分布質(zhì)量矩陣：

(24)

將式(23)和式(24)代入式(21)中可得單元質(zhì)量矩陣：

(25)

根據(jù)能量原理，單元的應(yīng)變能可以寫成

(26)

由其中K為單元的剛度矩陣，Kea為彎曲剛度矩陣，Keg為幾何剛度矩陣.

由式(10)已知，單元的彎曲應(yīng)變能為：

由式(20)可得，單元的彎曲應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(27)

求得彎曲剛度矩陣表達(dá)式：

(28)

化簡可得單元彎曲剛度為

(29)

外力做功，由式(20)可得，單元的軸向應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(30)

求得彎曲剛度矩陣表達(dá)式

(31)

求解可得單元幾何剛度為：

(32)

通常情況下，上式中當(dāng)單元受拉時(shí)P為正值，單元受壓時(shí)P取負(fù)值，將式(29)和式(32)帶入到式(26)中可得單元?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

(33)

新的剛度矩陣考慮了分布質(zhì)量的重力在框架結(jié)構(gòu)的柱單元中產(chǎn)生軸向壓力，改變單元的剛度特性，從而影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性[16]，進(jìn)一步影響結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)[17].

表1為圖中所示的框架模型的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)，根據(jù)構(gòu)件的屬性及結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性將各層柱歸并，按樓層劃分為6個(gè)單元，7個(gè)結(jié)點(diǎn)，每結(jié)點(diǎn)2個(gè)自由度，共14個(gè)自由度，因此在整體坐標(biāo)系下將結(jié)點(diǎn)位移矢量在整體坐標(biāo)系下記為D，則總的位移向量可以表示為：

(34)

表1 框架結(jié)構(gòu)模型設(shè)計(jì)參數(shù)

彈性模量E/GPa單元密度/kg·m-3單元截面積/m2慣性矩I/m4單元長度/mm樓板質(zhì)量/g分布總質(zhì)量/g69 2 7004.90 e-51.91 e-1080 2903 000

根據(jù)單元結(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)接關(guān)系和單元局部位移與整體位移之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將按照式(25)和式(33)建立的單元質(zhì)量及剛度矩陣中的元素置入整體質(zhì)量和剛度矩陣的相應(yīng)位置組裝成整體矩陣以分析系統(tǒng)的模態(tài)特性.

2 參數(shù)分析

根據(jù)表2中設(shè)定的分布質(zhì)量取值方法，以總質(zhì)量3 kg為限，分析四種不同的工況，為了對(duì)比分析結(jié)果在第一種工況中未添加樓層質(zhì)量并且未考慮軸向力的影響，第二種工況中未添加樓層質(zhì)量但是考慮了軸向受力構(gòu)件壓力對(duì)剛度的影響，第三種工況中每層添加了質(zhì)量但未考慮軸向力的影響，第四種工況每層添加質(zhì)量且考慮軸向力的影響.

根據(jù)表1中的質(zhì)量分布狀態(tài)，采用式(25)和式(33)建立相應(yīng)的模態(tài)分析質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，求得系統(tǒng)的前六階自振頻率列于表3中.

表2 結(jié)構(gòu)分布質(zhì)量取值

工況分布質(zhì)量分析工況1st未添加質(zhì)量未考慮軸向壓力2nd未添加質(zhì)量考慮軸向壓力3rd每層添加0.5 kg質(zhì)量不考慮軸向壓力4rd每層添加0.5 kg質(zhì)量考慮軸向壓力

表3 前6階自振頻率

工況1階自振頻率/Hz2階自振頻率/Hz3階自振頻率/Hz4階自振頻率/Hz5階自振頻率/Hz6階自振頻率/Hz1st23.5269.21110.87146.08172.81189.492nd23.5269.21110.87146.08172.81189.493rd14.8243.6069.8492.02109.87119.384th13.8642.6369.6891.04108.91118.89

由表3可知，對(duì)于結(jié)構(gòu)未添加質(zhì)量的空載狀態(tài)而言，無論是否考慮軸向壓力的影響，結(jié)構(gòu)的固有頻率變化并不明顯，這是因?yàn)檩S向壓力較小，對(duì)柱子的側(cè)向剛度影響不大[18]；當(dāng)結(jié)構(gòu)樓層上均勻分布上質(zhì)量之后，無論是否考慮軸向壓力的影響，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)固有頻率均下降明顯，表明此時(shí)分布質(zhì)量產(chǎn)生的慣性力對(duì)結(jié)構(gòu)固有模態(tài)產(chǎn)生了不可忽略的影響，進(jìn)一步，當(dāng)考慮軸向壓力對(duì)柱子側(cè)向剛度產(chǎn)生的影響時(shí)，系統(tǒng)自振動(dòng)頻率進(jìn)一步下降，說明荷載作用下結(jié)構(gòu)的軸向壓力引起的側(cè)向剛度改變以及質(zhì)量引起的側(cè)向慣性力對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性影響較為明顯.

由于當(dāng)前常用的結(jié)構(gòu)抗震分析中采用反應(yīng)譜法分析結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)時(shí)[19-20]，求得的地震影響系數(shù)通常忽略了結(jié)構(gòu)樓層上承受的荷載就是質(zhì)量的本質(zhì)，與實(shí)際結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性會(huì)產(chǎn)生不可忽略的偏差，本研究進(jìn)行的質(zhì)量分布對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響分析對(duì)于結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)分析具有重要的實(shí)際意義.

3 結(jié)論

在結(jié)構(gòu)抗震分析中結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性對(duì)結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)特性起著重要作用.本文圍繞結(jié)構(gòu)上部質(zhì)量分布變化引起的結(jié)構(gòu)模態(tài)特性變化問題，推導(dǎo)了考慮質(zhì)量變化的結(jié)構(gòu)模態(tài)特性分析方法，結(jié)果表明：(1)對(duì)于高層結(jié)構(gòu)來說，樓層上分布的質(zhì)量引起結(jié)構(gòu)側(cè)向剛度改變不能忽略；(2)質(zhì)量分布產(chǎn)生的慣性力會(huì)引起結(jié)構(gòu)模態(tài)特性的改變；(3)當(dāng)前常用的結(jié)構(gòu)抗震分析方法忽略了結(jié)構(gòu)上質(zhì)量分布對(duì)系統(tǒng)模態(tài)特性的影響，值得改進(jìn).