馮曉東 趙容舟 黃世榮 劉圣威

(1.紹興文理學(xué)院 土木工程學(xué)院，浙江 紹興312000；2.浙江精工鋼結(jié)構(gòu)集團(tuán)有限公司 技術(shù)中心，浙江 紹興312000)

0 引言

張拉整體結(jié)構(gòu)(Tensegrity structures)作為新型大跨度空間結(jié)構(gòu)憑借其構(gòu)形獨(dú)特、質(zhì)量輕盈、可折疊、形態(tài)可控等特點(diǎn)正吸引著世界各國學(xué)者的廣泛關(guān)注，成為當(dāng)今空間結(jié)構(gòu)領(lǐng)域中最前沿的課題.通常而言，由于桿件中自應(yīng)力的存在，使得其在任何外力(包括重力)作用之前，整個結(jié)構(gòu)體系能夠保持自平衡狀態(tài)，因此張拉整體結(jié)構(gòu)是典型的自平衡結(jié)構(gòu).此外，這類結(jié)構(gòu)所具有的一系列潛在特點(diǎn)，剛度可協(xié)調(diào)性、主動阻尼共振、形態(tài)可控性，使得“張拉整體”的概念迅速貫穿于包括但不僅限于建筑土木、智能機(jī)器人、航空航天、新材料、生物力學(xué)等領(lǐng)域[1-5].

對于這類自平衡結(jié)構(gòu)體系而言，結(jié)構(gòu)的初始幾何構(gòu)形是滿足自平衡的必要條件，因此找形問題是對張拉整體結(jié)構(gòu)分析過程中的關(guān)鍵問題，也是后續(xù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)分析，靜、動力分析，能量分析等問題研究的基礎(chǔ).張拉整體結(jié)構(gòu)的初始剛度由預(yù)應(yīng)力提供，其找形的過程同時也是一個找力的過程.設(shè)計(jì)人員在此階段即可同時實(shí)現(xiàn)兩個目標(biāo)：幾何形狀和自應(yīng)力.找形方法可以優(yōu)先考慮幾何方面的要求(以形狀參數(shù)為主變量)，也可以優(yōu)先考慮力學(xué)方面的要求(以應(yīng)力參數(shù)為主變量)，但截至目前，尚無有效的方法可以僅憑其中一方面的要求實(shí)現(xiàn)找形的目的.通常而言，為了確定張拉整體結(jié)構(gòu)初始形態(tài)，必須同時用到形狀參數(shù)和應(yīng)力參數(shù).根據(jù)找形過程中所采用的主變量的不同，找形方法大致分為如下兩大類：形狀控制法和內(nèi)力控制法.在張拉整體結(jié)構(gòu)發(fā)展初期，大部分學(xué)者主要致力于研究前者，以Snelson為代表的大多雕塑家，能很好地闡述“形狀控制法”的基本原理.但由于其目標(biāo)僅僅是制作基于張拉整體思想的模型，因此并不在乎構(gòu)件是否具有相同的規(guī)格尺寸，同時也不在乎制作完成的結(jié)構(gòu)本身的力學(xué)特性，而其穩(wěn)定性則是通過基于實(shí)驗(yàn)的試錯法及實(shí)際的試錯過程保證的，因此形狀控制法在某些有時候的確可以得到較為理想和精確的結(jié)果.力密度法[6]、動力松弛法[7-8]、能量法[9]一系列較為熟知的典型算法則是在此基礎(chǔ)上演化而來的.第二類找形方法則是建立在理論模型基礎(chǔ)上的，其得到的結(jié)果通?？梢詽M足體系本身的受力需求.但采用這類方法時，必須同時確定結(jié)構(gòu)體系的拓?fù)湫螒B(tài)方式及預(yù)應(yīng)力水平，因此，往往可以獲得精確的結(jié)果，但有時候也存在找形失敗的情況.此類找形代表算法主要以搜索可行預(yù)應(yīng)力或預(yù)應(yīng)力優(yōu)化算法的形式出現(xiàn)[10-15].需要強(qiáng)調(diào)的是，應(yīng)用此類找形方法得到的結(jié)果通常是高度規(guī)則的幾何構(gòu)型，而不會像試錯法那樣出現(xiàn)千變?nèi)f化的結(jié)果.此外，絕大部分現(xiàn)有的方法都必須事先假定一系列人為設(shè)定的條件，比如為簡化找形步驟事先假定結(jié)構(gòu)的幾何對稱性，或者將力密度系數(shù)作為一個符號變量，或者在事先假定若干個單元的初始長度.然而，這些信息在找形之前其實(shí)并不都是那么容易確定的.此外，大部分找形方法只適用于尋找自由形態(tài)的張拉整體結(jié)構(gòu)的初始構(gòu)型，而對于有邊界支撐的張拉整體結(jié)構(gòu)的初始自應(yīng)力的確定尚缺乏有效手段.

針對上述問題，本章中提出了一種新穎的數(shù)值分析方法，目的在于解決有邊界支撐的非自由形態(tài)的張拉整體結(jié)構(gòu)初始自應(yīng)力問題.相比于目前其他現(xiàn)有的方法，文本所呈現(xiàn)的方法，不需要事先假定或定義結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、材料特性、單元長度、對稱性或者力密度矩陣的半正定性等一系列附加條件，只需要已知研究對象的空間維數(shù)、拓?fù)潢P(guān)系(即節(jié)點(diǎn)和單元的關(guān)聯(lián)性)和單元類型即可，這也正是本文所提出的方法的創(chuàng)新之處.

1 張拉整體結(jié)構(gòu)找形理論基礎(chǔ)

1.1 基本假定

針對張拉整體結(jié)構(gòu)的固有特點(diǎn)，找形之前有如下基本假定：

·節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)是確定結(jié)構(gòu)幾何形態(tài)的唯一途徑；

·各單元之間的連接方式均為鉸接；

·忽略結(jié)構(gòu)自重且不考慮外荷載；

·不考慮結(jié)構(gòu)的局部或整體失穩(wěn).

1.2 自平衡方程的推導(dǎo)

考慮一個由b個單元，n個自由節(jié)點(diǎn)，nf個固定節(jié)點(diǎn)組成的d維(d=2或3)張拉整體結(jié)構(gòu)，其拓?fù)潢P(guān)系可用關(guān)聯(lián)矩陣CS∈Rb×(n+nf)來表示[16].假定i和j(i

(1)

圖1 (a) 二維預(yù)應(yīng)力張拉整體結(jié)構(gòu) (b) 利用虛擬單元移除支撐后的自平衡張拉整體結(jié)構(gòu)

將關(guān)聯(lián)矩陣CS如下分解為兩部分：

(2)

式中，C∈Rb×n為單元與自由節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)矩陣；Cf∈Rb×nf為單元與固定節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)矩陣.

如圖1(a)為一個簡單的二維預(yù)應(yīng)力張拉整體結(jié)構(gòu)，包括5個單元(b=5，4根拉索和1根壓桿)和4個節(jié)點(diǎn)(2個自由節(jié)點(diǎn)，n=2；2個固定節(jié)點(diǎn)，nf=2).其關(guān)聯(lián)矩陣如表1所示.

表1 二維張拉整體結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)矩陣

Element/NodeCsCCf1234(1)10-10(2)100-1(3)010-1(4)01-10(5)1-100

令x，y，z(∈Rn)和xf，yf，zf(∈Rnf)分別代表自由節(jié)點(diǎn)和固定節(jié)點(diǎn)在x-，y-和z-方向的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)向量.同時定義q={q1,q2,…,qb}T∈Rb，矩陣中各元素之值為該單元的力fk和單元長度lk的比值，qk=fk/lk(k=1,2…b).因此可將結(jié)構(gòu)的力密度矩陣Q∈Rb×b如下表述：

Q=diag(q)

(3)

于是有鉸接結(jié)構(gòu)的平衡方程如下[16]：

CTQCx+CTQCfxf=px

(4)

CTQCy+CTQCfyf=py

(5)

CTQCz+CTQCfzf=pz

(6)

式中，px，py，pz(∈Rn)分別代表x-，y-和z-方向作用在自由節(jié)點(diǎn)上的外力向量.

定義E∈Rn×n和Ef∈Rn×nf：

E=CTQC

(7)

Ef=CTQCf

(8)

由式(7)和式(8)可知，對于任意一個張拉整體結(jié)構(gòu)，矩陣E的任意一列或一行的元素值均為0，因此，矩陣E是一個對稱的奇異方陣[16].

忽略外力和自重，式(4)-式(8)可以寫成如下形式：

Ex=-Efxf

(9)

Ey=-Efyf

(10)

Ez=-Efzf

(11)

通常情況下，固定節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)xf，yf，zf是已知的，這表明可以通過式(9)-式(11)求解未知節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)x，y，z.換言之，矩陣E和Ef是恒定的.

根據(jù)力密度矩陣E是否為奇異矩陣，可分為如下兩種情況.(1)E為非奇異矩陣：索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)中所有單元均受拉，qk>0(k=1,2…b).(2)E為奇異矩陣：預(yù)應(yīng)力張拉整體結(jié)構(gòu)，由于結(jié)構(gòu)中有壓桿(qk<0)存在，導(dǎo)致矩陣E必然秩虧.

在未給定固定節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和力密度矢量的前提下，為了能夠執(zhí)行本方法，同時獲得節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和力密度系數(shù)這兩組參數(shù)，這里引入虛擬桿單元來釋放固定節(jié)點(diǎn).由此，未知的固定節(jié)點(diǎn)可被視為自由節(jié)點(diǎn).但值得注意的是，根據(jù)Zhang等[17]的建議，虛擬桿單元和固定單元還是有著本質(zhì)上的不同，連接固定單元的固定節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)是事先指定好的，而連接虛擬桿單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)在本方法中是未知的.利用虛擬桿單元這個概念，可以將有支撐預(yù)應(yīng)力張拉整體結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為無外界支撐的自平衡結(jié)構(gòu).

如圖1(b)所示，其中粗、細(xì)和虛線分別代表壓桿、拉索和虛擬桿單元.利用虛擬桿單元6釋放固定節(jié)點(diǎn)3和4.得到二維自平衡張拉整體結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)矩陣C(6×4)，如表2所示.

表2 利用虛擬單元求得的二維自平衡張拉整體結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)矩陣

考慮到自適應(yīng)結(jié)構(gòu)體系的特點(diǎn)，在忽略自重及外荷載的情況下，整個結(jié)構(gòu)體系可視為一個空間自由體系，其幾何形狀可由相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)體現(xiàn)[19].于是可將式(2)-式(6)簡寫為：

Ex=0

(12)

Ey=0

(13)

Ez=0

(14)

為簡化起見,可將式(12)-(14)合并整合為：

(15)

將式(7)和式(8)帶入式(12)-式(14)，合并可得張拉整體結(jié)構(gòu)的自平衡方程：

(16)

式中，A∈Rdn×b為張拉整體結(jié)構(gòu)的平衡矩陣.

1.3 秩虧條件

綜上所述，矩陣E和A分別代表結(jié)構(gòu)的力密度矩陣和平衡矩陣.于是對于一個d維張拉整體結(jié)構(gòu)，有如下兩個必要但不充分的秩虧條件[16].

一是關(guān)于半正定矩陣E

nE=n-rE=n-rank(E)≥d+1

(17)

式中nE為矩陣E的秩虧.

二關(guān)于平衡矩陣A，同時也是式(16)無解的必要條件

rA=rank(A)

(18)

該秩虧條件能夠保證結(jié)構(gòu)的自應(yīng)力模態(tài)數(shù)s=b-rA≥1.獨(dú)立機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)[18]為m=dn-rA.

需要指出的是，考慮到張拉整體結(jié)構(gòu)是典型的自平衡機(jī)構(gòu)體系，其獨(dú)立機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)可分解為剛體位移模態(tài)數(shù)和無窮小機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)兩部分.其中無窮小機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)mim可按下式得到：

mim=m-rb

(19)

(20)

式中，m為獨(dú)立機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)；rb為剛體位移模態(tài)數(shù)；d為張拉整體結(jié)構(gòu)的空間維數(shù).

2 找形方法

2.1 力密度矩陣特征值分解

將力密度矩陣E進(jìn)行特征值分解，如下：

E=ΗΛΗT

(21)

HHT=In

(22)

式中，

H∈Rn×n為正交矩陣，并且其第i列hi∈Rn為矩陣E的特征向量基；

In∈Rn×n為單位矩陣；

Λ∈Rn×n為對角矩陣，其對角線上的元素即為對應(yīng)的特征值，亦即Λii=λi；

矩陣H的特征向量hi則對應(yīng)于矩陣Λ的特征值λi.

力密度矩陣E特征值為零的個數(shù)等于其零空間的維數(shù)[19].此時定義k為矩陣E特征值小于或等于零的個數(shù)，則有如下兩種情況：

(1)平衡態(tài)(k

(23)

(24)

Chi=0

(25)

或

det|ld(ld)T|=0

(26)

式中，ld為b個單元的長度向量，

(27)

(28)

由各相連節(jié)點(diǎn)(i,j)組成的單元延n方向的投影長度L∈Rb×n為：

(29)

類似的，需剔除滿足式(25)或式(26)的矢量hi.

綜上所述，在空間張拉整體結(jié)構(gòu)的初始找形過程中，最有效的方案即為在前四組特征向量基(分別對應(yīng)于前四個最小特征值)中選取三組可能的特征向量，然后將這些選取的特征值通過本問題出的方法逐步調(diào)整直至其縮小為零，由此求出對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)矩陣：

(30)

2.2 平衡矩陣的奇異值分解

一旦相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)被確定，即可將其代入式(16)，將平衡矩陣A進(jìn)行奇異值分解：

A=UVWT

(31)

(32)

(33)

μ1≥μ2≥…≥μb≥0

(34)

式中，U∈Rdn×dn和W∈Rb×b均為正交矩陣；V∈Rdn×b為由矩陣A的非負(fù)奇異值組成的對角矩陣，其奇異值大小按式(34)排列.

在整個迭代步驟中，s同樣存在如下兩種情況.

(1)平衡態(tài)(s=1)

在這種情況下，矩陣U和矩陣W的零空間為：

(35)

(36)

式中，m∈Rdn為m(=dn-rA)個無窮小機(jī)構(gòu)所組成的矢量.

定義機(jī)構(gòu)矩陣M∈Rdn×(dn-rA)如下：

(37)

考慮到s=b-rA=1，式(36)可重新寫成：

(38)

若sign(q1)≡sign(q0)，即矢量q1與q0的符號關(guān)系相同，則可判定矢量q1為滿足式(16)的唯一自應(yīng)力模態(tài).

(2)非平衡態(tài)(s=0)

此時結(jié)構(gòu)內(nèi)部不存在自應(yīng)力模態(tài)，亦即式(31)中所定義的矩陣A不存在零空間，表明矩陣V中A的右奇異值μb不為零，由此式(16)不存在非零解.此時若將矩陣W的右奇異矢量基wb(對應(yīng)于矩陣V中最小的右奇異值μb)作為近似的q，則矢量q1與q0不一定會有相同的符號關(guān)系.為了克服這個困難，采用本文所提出的方法時，設(shè)計(jì)人員必須逐一檢查矩陣W中的所有列，直到尋找到某個wj(j=b,b-1,…,1)，使其滿足該wj中的各元素與q0有著相同的符號關(guān)系，即sign(wj)≡sign(q0).通過上述步驟，整個找形過程可以尋找出合適的q，使得下式滿足：

Aq≈0

(39)

(40)

(41)

需要指出的是，對于某個給定的張拉整體結(jié)構(gòu)，根據(jù)本方法所求得的力密度系數(shù)矢量q不一定是唯一的.換言之，對于相同的關(guān)聯(lián)矩陣C和同樣符號的q0，可能存在其他的矢量q滿足條件.

2.3 穩(wěn)定性計(jì)算

張拉整體結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣KT表達(dá)式如下[21]：

?E

(42)

式中，

KE為結(jié)構(gòu)的線剛度矩陣；

KG為與自應(yīng)力模態(tài)有關(guān)的幾何剛度矩陣；

e為各單元的楊氏模量；

a為各單元的橫截面面積；

l0為各單元的初始長度；

I∈R3×3為單位矩陣；

?為張量積.

如若切線剛度矩陣為正定，則可判定整個結(jié)構(gòu)體系是穩(wěn)定的(在剛體位移忽略的情況下).亦即對于任意一個無窮小位移d，矩陣KT的二次型是正定的[21]

dT(KT)d>0

(43)

或，

式中，rb為式(20)中定義的獨(dú)立的剛體機(jī)構(gòu)數(shù)目.

利用這個準(zhǔn)則，任意自適應(yīng)張拉整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性可通過結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣的特征值來判定.

定義的不平衡力矢量υf∈Rdn如下[11]

υf=Aq

(45)

或?qū)⒉黄胶饬Ψ謩e在x-，y-和z-方向上投影

υx=Ex

(46)

υy=Ey

(47)

υz=Ez

(48)

引入Euclidean范數(shù),設(shè)計(jì)誤差κ可以表述為

(49)

3 算例

基于第二節(jié)中的理論可知，根據(jù)事先給定的不同信息，存在兩種不同的張拉整體結(jié)構(gòu)找形方法.第一種方法是通過給定結(jié)構(gòu)的幾何形態(tài)找形，即通過給定結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)求解各單元的力密度矢量.第二種方法是根據(jù)有限的節(jié)點(diǎn)拓?fù)潢P(guān)系(關(guān)聯(lián)矩陣)和單元類型，同時尋找出合適的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和力密度矢量，從而實(shí)現(xiàn)找形的目的.在本節(jié)中，分別將這兩種方法稱為幾何形態(tài)法和并行法.

3.1 截頂四面體

考慮一個由二桿六索組成的二維張拉整體結(jié)構(gòu)(一類)，如圖2(a)所示.通過引入虛擬桿單元將兩個支撐轉(zhuǎn)換為自由節(jié)點(diǎn)從而得到自平衡張拉整體結(jié)構(gòu).當(dāng)實(shí)施了第二節(jié)中所述找形方法后，虛擬桿單元將重新轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的兩個支撐.加入虛擬桿單元后的自平衡二維張拉整體結(jié)構(gòu)拓?fù)湫问饺鐖D2(b)所示，其中粗、細(xì)和虛線分別代表壓桿、拉索和虛擬桿單元.

圖2 (a) 有支撐的二維二桿張拉整體結(jié)構(gòu) (b) 利用虛擬桿單元移除支撐后的自平衡二維張拉整體結(jié)構(gòu)

幾何形態(tài)法.根據(jù)本方法所需條件，將事先指定的結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)列于表3中.

表3 二維二桿張拉整體結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

節(jié)點(diǎn)123456x2.005.005.002.000.007.00y-2.00-2.002.002.000.000.00

如表4列出了最終得到的歸一化力密度系數(shù)(表示相對于桿1的力密度，下同)，與Zhang等[21]的結(jié)果相符.需要指出的是，Zhang等所采用的方法，將某些單元的方向指定為已包含在結(jié)構(gòu)自平衡方程中的幾何約束方向.隨后，通過指定兩組獨(dú)立的力和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，從自平衡約束方程中按順序求解出特定的力和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo).這也是與本方法的主要區(qū)別所在.

表4 二維二桿張拉整體結(jié)構(gòu)力密度系數(shù)

力密度q1q2q3q4q5q6q7q8q9Zhang等[64]1.00000.66671.00001.00000.66671.0000-0.5000-0.5000-0.5714本文1.00000.66671.00001.00000.66671.0000-0.5000-0.5000-0.5714

圖3 二維二桿張拉整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定形態(tài)

并行法.節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、幾何對稱性、單元長度和力密度系數(shù)均未知，所需的條件僅為結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)矩陣和單元類型.根據(jù)本章所提出的找形方法，自動分配初始力密度矢量如下：

找形得到的歸一化力密度系數(shù)矢量為：

如圖3展示了找形結(jié)束并且移除虛擬桿單元后結(jié)構(gòu)的最終穩(wěn)定形態(tài).找形過程僅經(jīng)過一次迭代即達(dá)到收斂，且設(shè)計(jì)誤差κ=3.4667×10-16

兩種找形方法中力密度矩陣E均為半正定矩陣，這表明在不考慮材料特性和預(yù)應(yīng)力的影響下，結(jié)構(gòu)是超穩(wěn)定的.進(jìn)一步而言，自應(yīng)力模態(tài)剛化了所有的無窮小機(jī)構(gòu)位移模態(tài)，使得整個結(jié)構(gòu)體系在除了三個剛體方向之外均能保持穩(wěn)定.總而言之，利用本章提供的找形方法，在已知結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)拓?fù)潢P(guān)系(關(guān)聯(lián)矩陣)和單元類型的前提下，通過強(qiáng)制滿足兩個必要的秩虧條件，能夠找到幾何穩(wěn)定的自平衡張拉整體結(jié)構(gòu).

3.2 三維五桿張拉整體結(jié)構(gòu)

考慮一個由5桿20索組成的三維張拉整體結(jié)構(gòu)(一類)，如圖4(a)所示.加入虛擬桿單元后的自平衡三維張拉整體結(jié)構(gòu)拓?fù)湫问饺鐖D4(b)所示.

圖4 (a) 有支撐的三維五桿張拉整體結(jié)構(gòu) (b) 利用虛擬桿單元移除支撐后的自平衡三維張拉整體結(jié)構(gòu)

表5 三維五桿張拉整體結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

Node123456789101112131415x-9.51-5.889.519.510.00-4.76-4.76-2.94-2.942.942.944.764.760.000.00y3.09-8.09-8.093.0910.001.541.54-4.05-4.05-4.05-4.051.551.555.005.00z0.000.000.000.000.002.50-2.502.50-2.502.50-2.502.50-2.502.50-2.50

幾何形態(tài)法.同二維二桿張拉整體結(jié)構(gòu)，將事先指定的結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)列于表5中.最終得到的歸一化力密度系數(shù)矢量為：

并行法.同二維二桿張拉整體結(jié)構(gòu)，已知信息僅為結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)矩陣和單元類型.根據(jù)并行找形法，自動分配初始力密度矢量如下：

找形得到的歸一化力密度系數(shù)矢量為：

找形過程僅經(jīng)過一次迭代即達(dá)到收斂，且設(shè)計(jì)誤差為κ=4.0715×10-16滿足條件.圖5展示了找形結(jié)束并且移除虛擬桿單元后結(jié)構(gòu)的最終穩(wěn)定形態(tài).在忽略六個剛體位移模態(tài)(rb=6)后,最終得到一個自應(yīng)力模態(tài)(s=1)和十個無窮小機(jī)構(gòu)位移模態(tài)(mim=10).本例中力密度矩陣E為半負(fù)定矩陣，表明結(jié)構(gòu)不是超穩(wěn)定的.通過研究該結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣可以發(fā)現(xiàn)其為正定，從而證明該結(jié)構(gòu)是幾何穩(wěn)定的.

圖5 三維五桿張拉整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定形態(tài)(a)俯視圖(b)軸測圖

4 結(jié)論

本文主要研究了張拉整體結(jié)構(gòu)初始找形問題，主要在力密度法的基礎(chǔ)上，引入幾何拓?fù)淅碚摵途仃嚪治隼碚?，提出了考慮結(jié)構(gòu)幾何拓?fù)洹⒎€(wěn)定性、誤差評估等諸多因素的張拉整體結(jié)構(gòu)的初始找形方法.本方法的提出將張拉整體結(jié)構(gòu)的力密度矩陣和平衡矩陣的關(guān)系緊密結(jié)合在一起，并通過結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣特征進(jìn)一步判定體系的穩(wěn)定類型.本文的方法均由編程實(shí)現(xiàn)，不需要反復(fù)試算，大幅提升了找形的計(jì)算效率.最后結(jié)合兩個張拉整體結(jié)構(gòu)的具體實(shí)例進(jìn)行分析比較，結(jié)果表明本文所提出的找形方法對于分析解決帶有約束支撐的張拉整體結(jié)構(gòu)是非常適用的.