☉江蘇省蘇州市吳江區(qū)平望中學(xué) 吳建琴

高中數(shù)學(xué)解題中往往會遇到問題逐漸復(fù)雜并且無法采取統(tǒng)一方法求解的情況，對復(fù)雜情況進(jìn)行多種情形的分析并分別根據(jù)一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行解題即為我們通常所說的分類討論的解題方法，根據(jù)多種可能將解決的問題由大化小、由整體化部分、由一般化特殊進(jìn)行分類討論是很多復(fù)雜問題的有效解決之道.不過，很多高中生在解題中運(yùn)用分類討論思想的意識與能力都需要教師在具體的教學(xué)中進(jìn)行有意識的培養(yǎng).

一、分類討論思想的概述

準(zhǔn)確攫取數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)并將研究對象進(jìn)行各種不同分類的研究即是我們數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常提及的分類討論思想.分類與比較唇齒相依，不過，分類往往會因?yàn)楹饬繕?biāo)準(zhǔn)的不一致而獲得更多不同的結(jié)果.教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)有意識地為學(xué)生多創(chuàng)造應(yīng)用分類討論思想的機(jī)會并幫助學(xué)生提升應(yīng)用這一思想的能力，使學(xué)生能夠在分類討論思想的具體應(yīng)用中做到有的放矢.

二、分類討論思想的應(yīng)用原則

分類討論思想需要根據(jù)具體問題的條件或者性質(zhì)進(jìn)行清晰而準(zhǔn)確的分類，不僅如此，解題時還應(yīng)做到層次分明且不重不漏，越級討論的現(xiàn)象在具體問題的解決中是不應(yīng)該出現(xiàn)的.

例如，證明對于集合B成立的命題就可以把集合B分成若干個非空真子集Bi（i=1，2，3，…，n）（n≥2，n∈N），并使集合B的每個元素屬于且僅屬于其中的一個子集，即：（1）B1∪B2∪B3∪…∪Bn=B；（2）Bi∩Bj=?.

再如橢圓中的一個例子：

學(xué)生對于m＞0且m≠5以及m與5之間的大小對橢圓焦點(diǎn)產(chǎn)生的影響是比較容易理解的，因此，此題求解時可以根據(jù)m的取值范圍來討論，即分0＜m＜5與m＞5這兩種情況.

三、分類討論思想在解題中的應(yīng)用

1.概率中的分類討論思想

例1 設(shè)集合I={0，2，4，6，8}，選擇I的兩個非空子集A和B，如果使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則一共存在多少種不同的選擇方法呢？

分析：根據(jù)已知條件，（1）A和B是I的兩個非空子集，（2）B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，這兩個條件又應(yīng)該怎樣實(shí)現(xiàn)呢？分類討論是此時最為合理的方法.

①B中最小的數(shù)為2，此時A有1種選法，即A={0}，B有8種不同選法，即4、6、8這三個元素可以在B中也可以不在.

②B中最小的數(shù)為4，此時A有3種選法，即A為{0}，{2}，{0，2}，B有4種不同選法，即6、8這兩個元素可以在B中也可不在.

③B中最小的數(shù)為6，此時A有7種選法，即A為{0，2，4}的非空子集，而B有2種選法，即8這一元素可以在B中也可不在.

④B中最小的數(shù)為8，此時A有15種選法，即A為{0，2，4，6}的非空子集，而B只有1種選法，即B={8}.

綜上所述，共有1×8+3×4+7×2+15×1=49（種）選擇方法.

2.不等式中的分類討論思想

例2 設(shè)k∈N，求滿足不等式|m|+|n|＜k的整數(shù)解組的（m，n）解集.

分析：若想直接給出此題的答案自然是比較困難的，因此，可以將k看成參數(shù)，與k相關(guān)的是整數(shù)解的組數(shù)，將其設(shè)為g（k），從特殊情況著手并探求其中的計(jì)算規(guī)律，作出猜想后證明其結(jié)論.

當(dāng)k=1時，有解（0，0），即g（1）=1；

當(dāng)k=2時，有解（0，0），（0，±1），（±1，0），即g（2）=1+4=5；

當(dāng)k=3時，有解（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±1，±1），（±2，0），即g（3）=1+4+4×2；

當(dāng)k=4時，有解（0，0），（0，±1），（0，±2），（0，±3），（±1，0），（±1，±1），（±2，0），（±3，0），（±1，±2），（±2，±1），

即g（4）=1+4+4×2+4×3.

猜想：g（k）=1+4×1+4×2+…+4（k-1）=1+2k（k-1）.

由此可得遞推式：g（k）=g（k-1）+4（k-1）.

3.函數(shù)中的分類討論思想

學(xué)生在具體的解題過程中往往因?yàn)榉诸愑懻撘庾R薄弱而無法清晰明確哪些問題需要分類討論，有的學(xué)生即使能夠明白哪些問題需要分類討論，但在具體分類中卻無法做到科學(xué)合理.因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)結(jié)合教材內(nèi)容啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生對問題的本質(zhì)進(jìn)行思考，使得分類討論思想的本質(zhì)以及具體問題的本質(zhì)清晰地展現(xiàn)出來，并因此使學(xué)生能夠在解題中不斷強(qiáng)化分類意識.比如，在函數(shù)概念、性質(zhì)等研究中會用到分類討論等等.

例3 對數(shù)函數(shù)y=logax中底數(shù)a不一樣時會導(dǎo)致函數(shù)圖像的不同，因此，教師在對數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)的具體教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論以獲得更加清晰的思維和理解.

（1）當(dāng)a＞1時，函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)镽，函數(shù)非奇非偶，且其在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)0＜a＜1，函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)镽，函數(shù)非奇非偶，且其在定義域內(nèi)單調(diào)遞減.

教師根據(jù)底數(shù)a＞1和0＜a＜1這兩種情況進(jìn)行了分類討論并得出了對數(shù)函數(shù)的不同性質(zhì)，學(xué)生了解不同分類對整個函數(shù)性質(zhì)影響的同時還能在具體解題中進(jìn)行完整的分類解題.

例4 已知函數(shù)f（x）=cos2x+asinx-a2+2a+5有最大值2，則實(shí)數(shù)a的取值如何？

4.幾何中的分類討論思想

例5 如圖1，在△ABC中，AB=AC，△ABC內(nèi)有任意一點(diǎn)O，且∠AOB＞∠AOC.

求證：OB＜OC.

圖1

證明：設(shè)∠AOB=α1，∠AOC=α2，∠ABO=β，∠ACO=γ，則由正弦定理得

又因?yàn)椤螦OB＞∠AOC，即α1＞α2，且α1+α2＞180°，得90°＜α1＜180°，0°＜α2＜180°.

在此區(qū)間sinα2為非單調(diào)函數(shù)，因此，需要分類討論：

①當(dāng)α2≥90°時，因?yàn)棣?＞90°，且α1＞α2，則sinα1＜sinα2，所以sinβ＜sinγ，且β、γ＜90°，則β＜γ.

②當(dāng)α2＜90°時，因?yàn)棣?＞90°，則180°-α1＜90°，又α1+α2＞180°，得α2＞180°-α1，則sinα1=sin（180°-α1）＜sinα2，所以sinβ＜sinγ，且β、γ＜90°，則β＜γ.

綜上，∠ABC=∠ACB，∠OBC＞∠OCB，所以O(shè)B＜OC.

四、應(yīng)用分類討論思想時的注意點(diǎn)

1.明確分類討論的原因

問題為什么需要分類、又應(yīng)該根據(jù)什么來分類是學(xué)生解題時首先要弄清楚的，只有這樣，學(xué)生才能準(zhǔn)確定位分類的標(biāo)準(zhǔn)并做到不重復(fù)、不遺漏.數(shù)學(xué)學(xué)科中的某些概念、定義、定理、性質(zhì)、法則、公式等都是分類給出并呈現(xiàn)一定系統(tǒng)性的，故而使得這些問題的解決需要運(yùn)用分類討論的思想.

2.掌握分類討論的方法

學(xué)生在解決具體問題時應(yīng)特別注意分類的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)并因此進(jìn)行準(zhǔn)確、合理的分類，只有這樣才能在解題中做到不重不漏，因此，教師在分類討論運(yùn)用于解題的教學(xué)中應(yīng)教會學(xué)生以下原則：（1）分類標(biāo)準(zhǔn)明確清晰；（2）分類討論對象不能重復(fù)且遺漏；（3）當(dāng)多個分類討論的對象存在時應(yīng)采取分層次的分類討論，每個層次中又必須都有統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn).

3.應(yīng)對結(jié)論進(jìn)行整合

學(xué)生必須具備一定的分析、邏輯推理與分類技巧等多方面的能力才能圓滿地運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行解題，不過，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在面對參數(shù)問題時應(yīng)有選擇性地運(yùn)用分類討論思想，很多能夠從整體上處理的數(shù)學(xué)問題并不需要分類討論，教師在具體教學(xué)中應(yīng)教會學(xué)生進(jìn)行有的放矢地運(yùn)用分類討論思想.

近年來很多高考試題的解決都需要運(yùn)用分類討論的思想，因此，教師應(yīng)善于分析近年來全國各地的高考試題并注重多種有效解題方法的總結(jié)，只有這樣才能在實(shí)際教學(xué)中幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)與應(yīng)用.F