☉湖南省衡陽市第八中學(xué) 肖中秋

解三角形主要通過對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能利用它們解決一些簡(jiǎn)單三角形度量問題及一些與測(cè)量和計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.該部分是每年高考中的基本考點(diǎn)之一，大都運(yùn)算量大、公式應(yīng)用多，這就要求我們不僅具有較高的運(yùn)算水平、較強(qiáng)的運(yùn)算能力和良好的記憶能力，還應(yīng)善于審題，采用相應(yīng)的策略，優(yōu)化過程.特別對(duì)于解三角形中的參數(shù)取值問題，備受命題者青睞，更是各類考試中的熱點(diǎn)題型.下面結(jié)合一道三角形中的參數(shù)取值范圍問題加以多解剖析.

【問題】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若sinA+sinB+λsinAsinB=0，且a+b=2c，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是______.

分析：本題給出三角形的三邊之間的一個(gè)確定關(guān)系式a+b=2c，并結(jié)合兩角與參數(shù)之間所滿足的條件關(guān)系式sinA+sinB+λsinAsinB=0來確定參數(shù)的取值范圍，解決問題的關(guān)鍵就是如何巧妙利用關(guān)系式a+b=2c來確定角C的取值范圍，為進(jìn)一步利用sinA+sinB+λsinAsinB=0來轉(zhuǎn)化參數(shù)λ，進(jìn)而結(jié)合相關(guān)的知識(shí)來確定其取值范圍.采用解三角形中的常見的正弦定理與余弦定理，基本不等式及其不等式的性質(zhì)，三角恒等變換以及數(shù)學(xué)模型等方法來處理，都可以收到不錯(cuò)的解題效益.

解法1：由于a+b=2c，

由a+b=2c并結(jié)合正弦定理有sinA+sinB=2sinC，

則有4sin2C=（sinA+sinB）2=sin2A+sin2B+2sinAsinB≥2sinAsinB+2sinAsinB，可得sin2C≥sinAsinB，當(dāng)且僅當(dāng)sinA=sinB，即a=b時(shí)等號(hào)成立.

解法2：由于a+b=2c，

解法3：由a+b=2c并結(jié)合正弦定理有sinA+sinB=2sinC且角C為銳角，

解法5：由a+b=2c并結(jié)合正弦定理有sinA+sinB=2sinC且角C為銳角，

由sinA+sinB+λsinAsinB=0可得

解法6：如圖1，以A、B為焦點(diǎn)，且滿足a+b=2c的點(diǎn)C的軌跡方程是橢圓，其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為

由sinA+sinB+λsinAsinB=0并結(jié)合正弦定理可得

圖1

點(diǎn)評(píng)：在解決三角形問題時(shí)，比較常見的思維方法就是正弦定理與余弦定理，這也是解決此類問題的典型方法.而涉及三角形中的參數(shù)問題，關(guān)鍵是通過代數(shù)運(yùn)算，將幾何模型代數(shù)化，利用正弦定理、余弦定理、三角相關(guān)公式等來轉(zhuǎn)化與解題，利用基本不等式法、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)法、數(shù)學(xué)模型法等來確定取值范圍問題.

通過從多個(gè)不同角度來處理，巧妙把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來，多角度出發(fā)，多方面求解，真正體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，充分展現(xiàn)知識(shí)的交匯與綜合，達(dá)到提升能力，拓展應(yīng)用的目的.進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.” F