☉江蘇省常熟市梅李高級中學(xué) 孫 長

美國數(shù)學(xué)家克萊因認為數(shù)學(xué)這一目標明確的思維活動是人類的一種理性精神，人類思維的完善往往能夠在數(shù)學(xué)現(xiàn)象、問題的探究中逐步得以實現(xiàn).但是，當前的高中數(shù)學(xué)教育卻在很大程度上展現(xiàn)出與這一理念完全相悖的局面，這主要是數(shù)學(xué)教學(xué)功利化造成的，學(xué)生與教師因此也將數(shù)學(xué)成績視作數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)優(yōu)良的唯一標準.但事實上，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠不斷提升其思維品質(zhì)才是數(shù)學(xué)教育應(yīng)該確立的主要目標.

一、培養(yǎng)思維廣闊性

對同一個問題能夠從多種角度、多個方面進行考慮就是我們所說的思維廣闊性，數(shù)學(xué)中的一題多解正是培養(yǎng)學(xué)生思維廣闊性的有效途徑.

解題方法單一是大多數(shù)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時候的表現(xiàn)，這主要是學(xué)生在大量練習(xí)中欠缺深入思考而造成的.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)不斷引導(dǎo)學(xué)生對同一問題進行多角度的思考以達成思維廣闊性的提高.

圖1

表1f（x）及f′（x）隨x的變化情況表

看似簡單的一道題實際上卻可以通過七種方法來解決，這七種方法涵蓋了高中整個階段的主要內(nèi)容，學(xué)生長期在這種一題多解的訓(xùn)練中一定能提升思維的廣闊性.

二、培養(yǎng)思維靈活性

數(shù)學(xué)思維僵化是很多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍存在的，很多時候是由于教師教學(xué)中過于強調(diào)程序化與模式化而造成的，很多教師在例題教學(xué)中習(xí)慣于幫助學(xué)生歸納類型與解題方法，學(xué)生在長期的重復(fù)練習(xí)中自然養(yǎng)成了按部就班解題的思維習(xí)慣，學(xué)生自主思考與探索的意識也就慢慢淡化了，長期的模仿、套用模式解題的習(xí)慣使學(xué)生的思維應(yīng)變能力逐漸喪失.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)善于運用變式教學(xué)以清除數(shù)學(xué)思維僵化的現(xiàn)象.

層層遞進的變式題目有力地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)生在更好地掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)的同時也大大提升了自身思維的靈活性.

三、培養(yǎng)思維的批判性

發(fā)現(xiàn)與辨別事物本質(zhì)的能力往往與思維深刻性的強弱息息相關(guān)，思維深刻的學(xué)生在數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性及其內(nèi)在聯(lián)系的把握上往往更有心得，在思維深刻性基礎(chǔ)上發(fā)展起來的批判性對于問題的深層分析與辯證又起到?jīng)Q定性的作用.

學(xué)生的思維如果能具備一定的深刻性與批判性，就能夠?qū)?shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性和相互聯(lián)系進行更好的認知、分析與理解，但實際上，很多學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、定理往往缺少必要的思考，學(xué)生因為難以產(chǎn)生自己的見解而導(dǎo)致學(xué)習(xí)缺乏創(chuàng)新.

（解題略）學(xué)生給出了單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）的錯誤答案.

分析：一般地，給定區(qū)間I上的函數(shù)y=f（x）：若對屬于這個區(qū)間I上的自變量的任意兩個值x1、x2，當x1＜x2時都有f（x1）＜f（x2），就說函數(shù)y=f（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間I叫做函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間.當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2），就說函數(shù)y=f（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間I則稱作函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間.這是函數(shù)的定義，其中“任意”和“都有”這兩個詞是大家都需要注意的.在學(xué)生給出的區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞）上確實能找到x1=-1，x2=1，則f（x1）=-1，f（x2）=1，此時雖有x1＜x2，但f（x1）＜f（x2），這與單調(diào)遞減的定義矛盾.

若想學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)中勇于發(fā)現(xiàn)并提出自己的見解，這與他們對概念、定理的精準把握與徹底理解是離不開的.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)關(guān)注概念的形成過程并促使學(xué)生在概念的學(xué)習(xí)中形成真正的理解，抓住問題的本質(zhì)才能展開問題的深入分析與解決，才不至于被問題的一些表面現(xiàn)象所迷惑.

四、培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

思維創(chuàng)造性和創(chuàng)造性思維在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中表現(xiàn)形式是一樣的，即根據(jù)已有的信息與經(jīng)驗并在思考、探索的基礎(chǔ)上產(chǎn)生一些新穎、獨特的有價值的思維成果.高中數(shù)學(xué)中的“信息遷移題”就是考查學(xué)生思維創(chuàng)造性的有效練習(xí).

例4 已知M（x0，y0）是圓C：x2+y2=r2上一點，則經(jīng)過點M的圓C的切線l的方程應(yīng)該是怎樣的？

結(jié)論：當點M（x0，y0）在圓C：x2+y2=r2上時，直線x0x+y0y=r2是過點M的切線.

教師在此題講解結(jié)束之后可以這樣啟發(fā)學(xué)生：如果M（x0，y0）不在圓上，直線x0x+y0y=r2會不會具備其他的意義或性質(zhì)呢？經(jīng)過一番自主、合作探究易得下列結(jié)論：

結(jié)論1：當點M（x0，y0）在圓C：x2+y2=r2外時，過點M向圓作兩條切線且與圓切于點A和點B，故直線AB的方程是x0x+y0y=r2.

結(jié)論2：當M（x0，y0）在圓C：x2+y2=r2內(nèi)但不與圓心重合，直線l：x0x+y0y=r2與圓C：x2+y2=r2相離并有以下性質(zhì)：

如圖2，連接OM并延長交直線l：x0x+y0y=r2于點P，過點P作圓的兩條切線，切點分別是A和B，則直線AB過點M.

改變點M和圓的位置關(guān)系得到了上述兩個結(jié)論，那么如果題中某些條件改變之后能否得到其他的結(jié)論呢？經(jīng)過教師的啟發(fā)，學(xué)生模仿上述探究過程并得到了以下幾個新的問題：

圖2

問題1：已知圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0）上有一點M（x0，y0），則過點M的圓C的切線方程是怎樣的？

問題2：已知M（x0，y0）是橢圓=1（a＞b＞0）上一點，求過點M的橢圓的切線方程.

問題3：問題2中的曲線是橢圓，如果這一條件改成雙曲線或者拋物線呢？結(jié)論又會是什么呢？

教師在教學(xué)中如果想加強學(xué)生思維創(chuàng)造性的培養(yǎng)，首先要讓學(xué)生能夠?qū)λ鶎W(xué)知識融會貫通，引導(dǎo)學(xué)生面對問題時首先進行自主獨立的思考，然后引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生在合作探究中積極探索并勇于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，問題的提出意味著學(xué)生創(chuàng)新思維的啟動與發(fā)展.

教育家斯托利爾曾明確表達了數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)這一鮮明的觀點，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展在他的觀念里是數(shù)學(xué)教學(xué)所有目標中應(yīng)該排在首位的.事實上，重視“雙基”基礎(chǔ)上的思維深度、廣度的挖掘與訓(xùn)練確實能夠很好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，只有思維品質(zhì)提高了，學(xué)生在分析問題、解決問題時才能有較好的基礎(chǔ)與底蘊，這對于素質(zhì)教育的深化改革來說也是極具價值的有效途徑.