李郁林，黃 林，邵國(guó)攀，李 琦

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院橋梁系，四川成都 610000)

斜拉索是斜拉橋等大跨度結(jié)構(gòu)中重要的受力構(gòu)件，它承擔(dān)了結(jié)構(gòu)的絕大部分荷載。隨著斜拉橋跨度的增大，較長(zhǎng)的斜拉索在受到風(fēng)雨激勵(lì)以及塔或橋面的振動(dòng)時(shí)更容易發(fā)生較大的振幅，同時(shí)可能呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性行為：跳躍、極限環(huán)、分叉以及混沌[1-2]。外部激勵(lì)作為參數(shù)出現(xiàn)在振動(dòng)系統(tǒng)中，并且隨著時(shí)間的變化，在這種激勵(lì)作用下的振動(dòng)稱(chēng)為參數(shù)振動(dòng)[3-4]。Simpson[5]、Irvine[6]等人運(yùn)用線性振動(dòng)理論針對(duì)于弦的短索發(fā)生微幅振動(dòng)進(jìn)行了分析。之后P.Hagedorn[7]等眾多學(xué)者建立了考慮大幅振動(dòng)時(shí)索的非線性振動(dòng)方程，但方程過(guò)于復(fù)雜[8-11]。Tagata研究了拉索的一階參數(shù)振動(dòng)，不計(jì)垂度影響，把拉索視為無(wú)重量的弦[12]，導(dǎo)出了無(wú)量綱的Mathieu方程。Lilien[13]利用Tagata的方法導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)弦方程，采用諧波平衡法研究穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)索的振動(dòng)幅值、瞬態(tài)(達(dá)到穩(wěn)態(tài)之前)振動(dòng)時(shí)索張拉力的表達(dá)方程。 楊詠漪[14]認(rèn)為隨著斜拉索傾角的變小，垂度效應(yīng)對(duì)索自振頻率的影響越大，因此在進(jìn)行拉索參數(shù)振動(dòng)分析時(shí)一定要考慮斜拉索自重所產(chǎn)生的垂度效應(yīng)影響; 當(dāng)拉索頻率和全橋頻率成一定比率時(shí)，極易發(fā)生大幅度參數(shù)振動(dòng)，對(duì)橋梁的使用和安全有不利影響。

目前對(duì)于拉索振動(dòng)的數(shù)值分析大部分未考慮塔柱和拉索的協(xié)同作用，忽略了索、塔、梁共同振動(dòng)并非是簡(jiǎn)單的參數(shù)振動(dòng)。

基于以上認(rèn)識(shí)，本文通過(guò)考慮索、塔、梁協(xié)同作用下的參數(shù)振動(dòng)，以某三跨斜拉橋(跨徑布置為108 m+340 m+108 m)為例通過(guò)全橋動(dòng)力特性特征的計(jì)算對(duì)參數(shù)振動(dòng)的振動(dòng)機(jī)理、線性?xún)?nèi)部共振進(jìn)行分析，并提出相應(yīng)的抑振措施。

1 拉索參數(shù)振動(dòng)機(jī)理分析

索、塔、梁共同振動(dòng)并非是簡(jiǎn)單的參數(shù)振動(dòng)，圖1(a)表示實(shí)際索與梁共同振動(dòng)的情況，將質(zhì)量M的運(yùn)動(dòng)分解為垂直于索軸線及沿軸向的兩種運(yùn)動(dòng)，分別見(jiàn)圖1(b)和圖1(c)，沿拉索橫向的激勵(lì)所引起的振動(dòng)是強(qiáng)迫振動(dòng)，沿拉索軸向的激勵(lì)所引起的振動(dòng)是參數(shù)振動(dòng)。

圖1 承受支撐端激勵(lì)的水平拉索

拉索的非線性參數(shù)振動(dòng)發(fā)生的條件是：外來(lái)激勵(lì)的頻率是索的自振頻率的2倍。非線性參數(shù)振動(dòng)一般為低階(一階)時(shí)最明顯。圖2所示，張緊的無(wú)重量拉索(忽略其微小的垂度)可以用來(lái)說(shuō)明非線性參數(shù)振動(dòng)的機(jī)理。

圖2 承受支撐端激勵(lì)的水平拉索

索的橫向振動(dòng)可以表示為：

(1)

每一時(shí)刻，索的任何微元的慣性力和恢復(fù)力都應(yīng)該保持平衡，由此出現(xiàn)縱向力的波動(dòng)，這種波動(dòng)會(huì)周期性的干擾恢復(fù)力。當(dāng)縱向激勵(lì)的頻率fb是橫向自振頻率fc的2倍時(shí)，索端以2fc頻率縱向運(yùn)動(dòng)，索力也以頻率2fc發(fā)生周期性的變化，索力的增量為：

ΔS(t)=ΔSmaxsin(4πfct)

(2)

這一變化將在拉索中引起二階的、隨時(shí)間變化的橫向荷載增量：

△q(t)=-△S(t)y′

(3)

將式(1)和式(2)代入式(3)可得式(4)：

(4)

括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)只是一個(gè)修正項(xiàng)，可略去不計(jì)。

△q是一個(gè)負(fù)阻尼力，若寫(xiě)成△q=ωy，則阻尼系數(shù)：

(5)

(6)

當(dāng)fb=2fc，發(fā)生非線性參數(shù)共振時(shí)的解將取決于拉索本身的初始阻尼能否消耗橋面支撐點(diǎn)所輸入的負(fù)阻尼能量，若忽略拉索自身的結(jié)構(gòu)阻尼，則：

(7)

按照強(qiáng)迫振動(dòng)原理，可解得共振最大振幅為：

(8)

(9)

然而，在實(shí)際斜拉橋中的拉索并不象上面所分析的受到一個(gè)周期變化的索力ΔSt的作用，而是作為一種支承激勵(lì)。拉索的振動(dòng)和作為支撐點(diǎn)的橋面、橋塔的振動(dòng)是相互牽制的。如果結(jié)構(gòu)的振動(dòng)不發(fā)散，拉索的橫向振動(dòng)也不可能出現(xiàn)一般非線性參數(shù)振動(dòng)所具有的發(fā)散現(xiàn)象，而是一種有限振幅的參數(shù)共振。

拉索的橫向振幅和其支撐點(diǎn)的縱向振幅之間存在以下關(guān)系：

(10)

式中Ac為拉索的橫向振幅；Ab拉索兩支撐點(diǎn)的相對(duì)縱向振幅。于是可以得到：

(11)

2 參數(shù)振動(dòng)與線性?xún)?nèi)部共振分析

全橋拉索布置如圖3所示，各拉索長(zhǎng)度如圖4所示，對(duì)實(shí)際斜拉空間結(jié)構(gòu)，建立精確的斜拉索端部受激振動(dòng)模型較為困難。一般，可首先對(duì)斜拉空間結(jié)構(gòu)用有限元方法進(jìn)行動(dòng)力特性分析，得出全橋的各階固有頻率，然后經(jīng)與每根拉索的各階固有振動(dòng)頻率比較，選出若干可能產(chǎn)生大幅振動(dòng)的拉索進(jìn)行分析。

圖3 全橋拉索布置

圖4 拉索長(zhǎng)度

假設(shè)拉索兩端支點(diǎn)固定，對(duì)全橋動(dòng)力特性特征進(jìn)行分析，應(yīng)用有限元法求出塔柱和空間結(jié)構(gòu)沿拉索軸向的剛度，根據(jù)頻率匹配關(guān)系求出模型中塔柱和空間結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)質(zhì)量。最后，利用本模型計(jì)算拉索受兩個(gè)端部軸向激勵(lì)作用的時(shí)程響應(yīng)，得出線性?xún)?nèi)部共振所需要的條件。

圖5所示為全橋前30階自振頻率，全橋自振頻率隨著振動(dòng)階數(shù)的增加而增加。根據(jù)第1節(jié)參數(shù)振動(dòng)機(jī)理的分析，計(jì)算邊跨和中跨拉索各階振型頻率如圖6～圖9所示如圖6～圖9所示，在大橋的西側(cè)與東側(cè)，拉索的振動(dòng)頻率均隨著振動(dòng)階數(shù)的上升而上升，且越靠近拉索所連接的橋塔，拉索振動(dòng)頻率越高，拉索的的振動(dòng)頻率隨著與所連接橋塔距離的增大而減小。已知各拉索的振動(dòng)頻率，由此可分析誘發(fā)參數(shù)振動(dòng)需滿(mǎn)足的頻率條件和拉索變動(dòng)軸力幅值條件。

圖5 全橋前30階振動(dòng)頻率

圖6 拉索振動(dòng)頻率(西側(cè)邊跨)

圖7 拉索振動(dòng)頻率(東側(cè)邊跨)

圖8 拉索振動(dòng)頻率(西側(cè)中跨)

圖9 拉索振動(dòng)頻率(東側(cè)中跨)

圖10的縱軸為橋的整體振動(dòng)頻率fb和2倍拉索一階自振頻率2fc之比，橫軸為拉索變動(dòng)軸力幅值ΔSmax和初始軸力S0之比。在fb/2fc=1附近可能發(fā)生參數(shù)振動(dòng)，針對(duì)拉索阻尼δ，當(dāng)主梁或塔引起的拉索軸力變化大于某一臨界值時(shí)，參數(shù)共振才可能發(fā)生。通過(guò)動(dòng)力計(jì)算可以得到拉索的軸力變動(dòng)幅值與拉索端部軸向變位幅值之間的關(guān)系。對(duì)于由頻率條件判斷出可能發(fā)生參數(shù)振動(dòng)的拉索，在給定拉索阻尼的前提下，可以確定出引起參數(shù)振動(dòng)的拉索軸力變化的臨界值，進(jìn)而得出相對(duì)應(yīng)的拉索端部軸向位移變動(dòng)幅值的臨界值。

圖10 參數(shù)振動(dòng)發(fā)生的條件

假定可能發(fā)生參數(shù)振動(dòng)的拉索為自振頻率分布在全橋自振頻率的1/2的±5 %范圍內(nèi)的拉索，主橋考慮前30階振型。可能引起參數(shù)振動(dòng)的橋梁振型和可能發(fā)生參數(shù)振動(dòng)的拉索見(jiàn)表1。由表1可知可能發(fā)生參數(shù)振動(dòng)的拉索主要集中在150 m以上的中長(zhǎng)索和超過(guò)200 m以上的長(zhǎng)索，拉索基頻集中在0.655 9～0.828 5 Hz范圍。

表1 誘發(fā)參數(shù)振動(dòng)的振型及發(fā)生參數(shù)振動(dòng)的拉索

可能發(fā)生線性?xún)?nèi)部共振的拉索假定為自振頻率分布在橋梁自振頻率±5 %范圍內(nèi)的拉索?？赡芤鹁€性?xún)?nèi)部共振的橋梁振型和可能發(fā)生線性?xún)?nèi)部共振的拉索見(jiàn)表2，由表2可知可能發(fā)生線性?xún)?nèi)部共振的拉索型號(hào)型號(hào)共64種，含蓋短索、中索、長(zhǎng)索，拉索基頻分布在0.372 1～1.438 1 Hz。

由以上分析可知，部分索有可能發(fā)生參數(shù)振動(dòng)，下面對(duì)可能發(fā)生參數(shù)振動(dòng)的索進(jìn)行了基于響應(yīng)的參數(shù)共振可能性分析。首先，將主橋前30階模態(tài)納入考慮，拉索基頻處于主橋自振頻率一半的±95 %范圍內(nèi)的斜拉索將可能發(fā)生參數(shù)共振。根據(jù)確定的拉索基頻和全橋基頻，按參數(shù)共振的判別條件推導(dǎo)處索力的最大增量；其次計(jì)算拉索伸長(zhǎng)量，即斜拉索兩支撐點(diǎn)的相對(duì)縱向振幅，再按斜拉索與橋面豎向夾角的關(guān)系，反推出主梁或橋塔振動(dòng)的幅值。當(dāng)主梁或橋塔振幅超過(guò)臨界參數(shù)共振允許的主梁或橋塔振幅，則斜拉索將發(fā)生參數(shù)共振；反之，斜拉索將不會(huì)發(fā)生參數(shù)共振。整個(gè)計(jì)算中斜拉索阻尼比按最不利的情況取0.1 %，則拉索的衰減系數(shù)為0.006 28。

表2 誘發(fā)線性?xún)?nèi)部共振的振型及發(fā)生線性?xún)?nèi)部共振的拉索

從表3可知。在推算出的發(fā)生參數(shù)共振的最不利情況下，主梁或橋塔振幅均在2.333 m以上，也就是說(shuō)斜拉索要發(fā)生參數(shù)共振，則主梁或橋塔的振幅至少要達(dá)到2.333 m。無(wú)論是節(jié)段模型還全橋氣彈模型風(fēng)洞試驗(yàn)研究的結(jié)果表明，主梁最大渦振的振幅均很小，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于上述值。因此該大橋發(fā)生斜拉索參數(shù)共振的阻尼條件不滿(mǎn)足，該橋斜拉索發(fā)生參數(shù)共振的可能性很小。

表3 誘發(fā)參數(shù)振動(dòng)的振型及發(fā)生參數(shù)振動(dòng)的拉索條件

由以上分析可得參數(shù)共振機(jī)制主要受系統(tǒng)非線性關(guān)系而非阻尼的影響，故調(diào)整局部結(jié)構(gòu)間的頻率關(guān)系比增加阻尼對(duì)于抑制斜拉索參數(shù)共振往往更為有效、合理。

3 斜拉索的抑振措施

通過(guò)以上分析，針對(duì)振動(dòng)拉索的參數(shù)振動(dòng)與線性?xún)?nèi)部共振，提出三類(lèi)拉索振動(dòng)的控制措施：空氣動(dòng)力學(xué)措施、結(jié)構(gòu)措施和機(jī)械阻尼措施。

(1)空氣動(dòng)力學(xué)措施。對(duì)于斜拉索風(fēng)雨振動(dòng)，由于拉索振動(dòng)與水線的形成有密切關(guān)系，通過(guò)改變拉索表面形狀以阻止水線的形成，可將PE護(hù)套外表面附加縱向肋條、纏繞螺旋線或在斜拉索表面壓制凹坑。

(2)結(jié)構(gòu)措施。對(duì)于參數(shù)共振或渦激振動(dòng)，目前證明有效的結(jié)構(gòu)措施主要是輔助索方法?？蓪⒏骼髦g用一根或多根輔助索連接起來(lái)，形成一個(gè)索網(wǎng)。輔助索方法減少了拉索的自由長(zhǎng)度，提高了整個(gè)索面的剛度，從而對(duì)于抑制參數(shù)振動(dòng)十分有效。

(3)機(jī)械減振措施。拉索易于振動(dòng)的主要原因是拉索具有非常低的結(jié)構(gòu)阻尼，因此增加拉索阻尼是控制拉索振動(dòng)最直接、有效的方法。因此在拉索和橋面之間安裝阻尼器成為必然選擇。在索錨處(即在梁體拉索鋼套管內(nèi))加設(shè)高阻尼橡膠阻尼器(HDR)是國(guó)內(nèi)外廣泛應(yīng)用方法之一。另一類(lèi)增加拉索阻尼的有效方法是在拉索和橋面之間安裝油阻尼器。