胡后燕
(安徽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院,安徽 合肥 230601)
VaR一般表示在一定風(fēng)險狀態(tài)下的價值,即在一定的置信水平下某個既定的持有時間內(nèi),某種金融序列或者金融組合可能會遭受的最大限度上的損失額度。對于VAR的理解需要掌握幾個要點:首先是置信水平,VAR不是一般意義上的損失額而是對應(yīng)置信水平的最大損失額。其次是持有期VAR是對應(yīng)持有期的潛在的最大損失額。最后就是正常市場,VaR不是極端市場的最大損失額而是正常市場中出現(xiàn)的最大損失[1]。從數(shù)學(xué)的角度來講VaR就是針對某個損益在預(yù)期分布里面相應(yīng)的置信水平下的分為點數(shù)的值,其數(shù)學(xué)表達(dá)形式為:
VAR的計算公式為:
式中的V0代表金融序列的初始值,δ為方差,Zα表示下分位數(shù),T表示持有期。
傳統(tǒng)的理論一般認(rèn)為市場是有效的,波動率指的是資產(chǎn)收益率的條件標(biāo)準(zhǔn)差,因此金融資產(chǎn)的波動是恒定的,金融序列的波動性基本上不會因為時間的關(guān)系改變,根據(jù)很多的實證研究結(jié)果,我們可以總結(jié)金融序列在波動性方面存在一些比較明顯的特點。如,金融序列的波動性一般在均值旁邊的點會存在比正態(tài)分布的狀態(tài)下更高的尖峰厚尾的特點,同時在分布的尾部也會看起來比正態(tài)分布寬大,分布的峰高超過3;金融序列的某一個變動后面會伴隨著一種相應(yīng)的變動,這就是所謂的波動集聚效應(yīng)。波動性對有利和不利消息的反應(yīng)展現(xiàn)出不對稱的狀態(tài),也就是說在一定的條件下,不利消息對市場的影響要超過有利消息,這就是非對稱性。金融序列收益率的絕對值展現(xiàn)出緩慢衰減的現(xiàn)象,即使相互之間有著較長的時間間隔,也還是相互間存在關(guān)聯(lián),這就是長期記憶性所呈現(xiàn)的歷史對將來的影響。在一定程度上長期記憶性表明收益存在可預(yù)測性,市場上可能因為收益的可預(yù)測性產(chǎn)生套利行為[2]。因此有效市場假說不成立。波動性是影響上證50股票交易的因素之一,筆者側(cè)重對上證50股票收益率的波動性進(jìn)行研究,考量其條件異方差模型。條件異方差模型有兩種類型,一種是從函數(shù)的角度去描述方差;另外一種是借助隨機(jī)方程來描述方差。GARCH模型就是屬于第一種類型。波動率模型主要研究資產(chǎn)收益率是序列相不相關(guān),還是低階相關(guān)的,我們可以通過對金融序列的單位根檢驗圖來進(jìn)行判斷。假設(shè)金融資產(chǎn)的收益率序列為Xt,我們知道波動率是刻畫金融序列收益率的某種相關(guān)關(guān)系,如果給定前一時刻已經(jīng)獲得的信息集合是我們可以得到Xt的條件均值和條件方差,其關(guān)系式分別為:
μ=E(Xt/Ft-1)
δ2=VaR(Xt/Ft-1)=E[(Xt-μt2/Ft-1)]
上述Ft-1表示已知的信息集合,它包括了金融資產(chǎn)收益率的函數(shù),在某種程度上條件異方差模型就是把一個動態(tài)方程加到一個金融序列的模型里面,這又在一定程度上闡明了資產(chǎn)收益率的條件異方差會順時而變的特點。
恩格爾在1982年提出了ARCH模型,認(rèn)為時間序列數(shù)據(jù)一般存在一種特殊的異方差,即自回歸條件異方差。ARCH模型的簡單形式為:
ARCH(1):Yt=βXt+εt
Xt=δtεt
ARCH模型認(rèn)為金融序列的擾動項之間是不相關(guān)的并且相互之間也是不獨立的;金融序列收益率的某一種變動往往可能會跟著一個類似的變動。我們一般用LM檢驗、F檢驗、Q檢驗,來檢驗金融序列的ARCH效應(yīng),這里最常用的就是拉格朗日乘數(shù)法檢驗,檢驗步驟為:
H0:α1=α2=…αp如果α1=α2=…αp=0則說明不存在ARCH效應(yīng),如果其中存在一個αp不是0,說明ARCH效應(yīng)是存在的。然后檢驗統(tǒng)計量為LM=nR2~χ2(q)這里的n代表樣本數(shù)量,R2代表輔助回歸項系數(shù),如果原假設(shè)被推翻則認(rèn)為該金融序列存在ARCH效應(yīng),反之如果原假設(shè)成立則樣本序列不存在ARCH效應(yīng)。
由上式可知,t期殘差的方差由其滯后一期殘差的平方和滯后一期殘差方差的平方?jīng)Q定,將上式進(jìn)行推廣可以得到更一般的GARCH模型,即GARCH(p,q)模型,其方程形式為:
在GARCH模型里面有幾個重要的參數(shù),即α,表示誤差系數(shù),它在很大程度上決定了金融序列的波動性對市場運動反應(yīng)的敏感度,并且α數(shù)值越大,意味著波動性的反應(yīng)越迅速。α的數(shù)值通常小于0.25;β表示滯后系數(shù),它在很大程度決定著波動性對市場運動產(chǎn)生反應(yīng)的持久性,β的數(shù)值越大,說明產(chǎn)生波動越持久。β數(shù)值通常大于0.7;上述兩個參數(shù)的和(α+β)被持久稱作持久度,它的作用就是在一定程度上決定著波動性向均值反轉(zhuǎn)的速度。(α+β)的數(shù)值越大,說明持久性越強(qiáng),向均值回復(fù)的速度就會更慢。
不利的消息往往比有利的消息對金融資產(chǎn)的價格產(chǎn)生更大更強(qiáng)烈的影響,鑒于此Glosten,Jagannathan and Runkle在1993年提出了TGARCH模型。
假設(shè)條件方差方程為:
EGARCH模型是由于對稱的ARCH類模型無法準(zhǔn)確地反映正負(fù)沖擊效應(yīng)而提出的改進(jìn)模型,在一定程度上可以處理股價比的非對稱分布問題。它的一般形式為:
PGARCH模型是由Ding在1993年提出的,它具有一套科學(xué)模型,并能進(jìn)行量化計算。
偏度S=-0.274635<0,峰度K=6.534878>3,這說明上證50指數(shù)收益率比正態(tài)分布的圖像偏左一些并且呈現(xiàn)尖峰后尾的分布狀態(tài)。
表1 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征
圖1 上證50基本統(tǒng)計特征
圖1里面的后兩項是總體分布的正態(tài)性檢驗所采取的Jarque-Bera檢驗所得到的結(jié)果,我們一般假設(shè)在JB檢驗里面樣本序列一般服從正態(tài)分布,其檢驗的統(tǒng)計量為:
式中S表示金融樣本序列的偏動幅度,K表示金融樣本序列的峰高,m代表進(jìn)行樣本序列估計時所采用的樣本系數(shù)的個數(shù)。一般在零假設(shè)的情況下,我們可以認(rèn)JB統(tǒng)計量服從χ2(2)分布通過Eviews軟件操作的結(jié)果,我們可以判讀有沒有必要拒絕原假設(shè)。由圖1我們可以看到,這里的概率值近乎為0,則說明了在至少99%的置信水平的條件下我們可以不接受原假設(shè),即認(rèn)為金融樣本序列不服從正態(tài)分布。
緊接著利用QQ圖做驗證,見圖2。
通過圖2我們可以看到,金融序列樣本的值在一起呈現(xiàn)出一條彎曲的線,與圖中傾斜45°的直線相偏離,即此金融序列不是正態(tài)分布。
檢驗上證50指數(shù)對數(shù)收益率的單位根得如下結(jié)果,見表2。
表2 上證50對數(shù)收益率序列的單位根檢驗圖
由此可以知道上證50對數(shù)收益率的單位根相較于臨界值小,說明這個金融序列較為穩(wěn)定,繼續(xù)檢驗相關(guān)和偏自相關(guān)性如下:
圖3 上證50指數(shù)對數(shù)收益率自相關(guān)圖
根據(jù)圖3,我們可以利用上證50的三階滯后量來求自相關(guān)函數(shù)值和偏自相關(guān)函數(shù)值,得知上證50指數(shù)的對數(shù)收益率之間的關(guān)聯(lián)度不明顯,但是在更高階之后關(guān)聯(lián)度呈現(xiàn)明顯的現(xiàn)象。
進(jìn)行條件異方差檢驗就是判斷金融序列是否存在ARCH效應(yīng),可以通過上面的結(jié)果知道樣本平方回報率存在著自相關(guān)性,緊接著用兩種方式檢查是不是存在條件異方差。
1.檢驗殘差圖法
由圖4,可以得知殘差序列存在波動集聚效應(yīng),認(rèn)為金融序列存在條件異方差。
2.檢驗ARCH效應(yīng)
一般根據(jù)ARCH效應(yīng)的存在與否來判斷隨機(jī)擾動項是否存在GARCH效應(yīng),利用拉格朗日乘數(shù)法檢驗ARCH效應(yīng)。假設(shè)模型隨機(jī)誤差項εt~ARCH(q)建立輔助回歸方程:
圖4 殘差圖
若檢驗的原假設(shè)H0=α1=α2=…=αq=0,則說明不存在ARCH效應(yīng),若回歸系數(shù)至少存在一個不為0,說明序列存在ARCH效應(yīng)不接受原假設(shè)。檢驗統(tǒng)計量為LM=nR2~χ2(q)這里的n表示樣本個數(shù),R2表示回歸系數(shù)。如果原假設(shè)被推翻則認(rèn)為金融序列有ARCH效應(yīng),反之樣本序列不存在ARCH效應(yīng)。其結(jié)果見表3。
由上面的分析可以看出最小二乘法的檢驗結(jié)果中的統(tǒng)計量Obs*R-squared的值及其概率,及統(tǒng)計量F的值及其概率,概率值都將近為零,由此認(rèn)為金融序列存在ARCH效應(yīng)。[4]
筆者將對3個模型進(jìn)行參數(shù)估計,計算出標(biāo)準(zhǔn)差,由標(biāo)準(zhǔn)差得到VAR的值。
1.GARCH(1,1)的模型
表3 ARCH-LM檢驗結(jié)果輸出
需要對這里的(α0α1γ1)進(jìn)行參數(shù)估計。
2.EGARCH(1,1)的模型
需要對這里的(α0α1γ1β1)4個參數(shù)進(jìn)行估計。
3.PGARH(1,1)的模型
需要對這里的(α0α1|1γ1δ)5個參數(shù)進(jìn)行估計。
表4 正態(tài)分布假定下模型的參數(shù)估計
注:上述括號內(nèi)的數(shù)字表示為t的估計統(tǒng)計量,***表示在1%的置信水平下顯著;**表示在5%的置信水平下顯著;*表示在10%的置信水平下顯著。
表5 在T分布的假定下模型的參數(shù)估計
表6 在GED分布假定下模型的參數(shù)估計
上述表4、表5、表6是由Eviews得到的在正態(tài)分布、T分布、廣義誤差分布下的參數(shù)估計的結(jié)果,我們可以知道3個模型在1%的置信水平下都是比較顯著的,擬合的效果較好。在GARCH、EGARCH、PGARCH模型下γ都比零大,這在一定程度上說明有非對稱效應(yīng)的存在,即不好的消息會比好的消息對市場產(chǎn)生更大的影響。根據(jù)檢驗可以發(fā)現(xiàn)3個模型的參數(shù)都是顯著的,而在對殘差項進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗的時候,我們發(fā)現(xiàn)異方差現(xiàn)象不是很明顯,這說明了上述模型可以比較好地刻畫上證50的對數(shù)收益率的異方差現(xiàn)象。
表7 正態(tài)分布下的VAR的計算結(jié)果
表8 T分布下VAR的計算結(jié)果
表9 廣義誤差分布下VAR的計算結(jié)果
利用Eviews軟件得到金融序列的條件異方差,根據(jù)條件異方差算出標(biāo)準(zhǔn)差,然后將其帶入VaR的公式里面,我們可以得到在不同分布不同置信水平下的VaR值。計算出所有金融序列VAR值的平均值,根據(jù)計算的結(jié)果進(jìn)行回測檢驗,一個簡單的做法就是向后構(gòu)建一個檢驗樣本。比如樣本數(shù)為300天,根據(jù)2016年11月10日到2018年1月26日每日交易收盤價,逐日計算頭寸損益,并將計算結(jié)果按升序排列,即可得到一個關(guān)于損益的排序結(jié)果。然后把金融序列的VAR均值與頭寸損益的絕對值進(jìn)行比較,如果VAR均值大于頭寸損益,說明檢驗失??;如果VAR均值小于頭寸損益,說明檢驗成功。統(tǒng)計出失敗天數(shù)和失敗頻率就可以得到上面的3個表,即表5、表6、表7。
通過以上的3個計算VAR結(jié)果的表格,(見表7,表8,表9)我們可以看到上證50對數(shù)收益率在T分布下失敗天數(shù)和失敗率最小,這說明在T分布條件下,金融序列的尾部特征得到了較好的表現(xiàn),但是在T分布下金融序列的VAR值高于正態(tài)分布和廣義誤差分布,從側(cè)面反映出其風(fēng)險被高估,正態(tài)分布和廣義誤差分布的估計效果也不錯,失敗天數(shù)和失敗率一致。
綜上,可以發(fā)現(xiàn)在同一個分布條件下,GARCH模型、EGARCH模型、PGARCH模型的VAR值在同一個置信區(qū)間相差不大,在失敗率和失敗天數(shù)上正態(tài)分布和廣義誤差分布上基本一致,并且在正態(tài)分布和廣義誤差分布下VAR的值在相同的置信區(qū)間下,GARCH模型下的VAR值要高于EGARCH和PGARCH值,說明EGARCH模型和PGARCH模型的擬合效果比GARCH模型的擬合效果要好。這同時證明上證50指數(shù)存在顯著的杠桿效應(yīng),不好信息給股市帶來影響力比好的信息給股市帶來的影響力還要大。
第一,上證50對數(shù)收益率呈現(xiàn)出左偏,尖峰后尾的特點,并且有強(qiáng)烈的波動聚集,存在自回歸的條件異方差,從檢驗結(jié)果可以看出歷史的波動對將來的波動變化的影響變得逐漸減小。
第二,上證50的收益率序列存在比較顯著的杠桿效應(yīng),也就是在相同的條件下,股市中的利空消息給市場帶來的影響比利好消息帶來的影響更大,也就是所謂的非對稱效應(yīng)。
第三,我們根據(jù)GARCH模型族對金融序列進(jìn)行一系列的檢驗,得到了在正態(tài)分布、T分布以及廣義誤差分布下的參數(shù),由參數(shù)可以得到模型在99%的置信區(qū)間內(nèi)比較顯著,從整體上來說正態(tài)分布的結(jié)果較為保守,而T分布和廣義誤差分布的效果要略勝一籌。