郭 歡

(鄭州工程技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院,鄭州 450044)

高等數(shù)學(xué)是以函數(shù)為研究對(duì)象，函數(shù)的求導(dǎo)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，是學(xué)習(xí)微積分的必備知識(shí)。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)在導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中起著關(guān)鍵的作用，它是衡量導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)是否扎實(shí)的一個(gè)重要指標(biāo)，而多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題是以復(fù)合函數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)，它是微積分的重要內(nèi)容之一，其求法也要求學(xué)生掌握。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 多元函數(shù)的定義

設(shè)D是Rn中的一個(gè)非空點(diǎn)集，f是一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，若使得對(duì)于D內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)P(x1,x2,…,xn),都能唯一地確定一個(gè)實(shí)數(shù)y，則稱對(duì)應(yīng)法則f為定義在D上的一個(gè)n元函數(shù)，記為

y=f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)∈D

或者y=f(P),P∈D。

其中，稱(x1,x2,…,xn)為自變量，稱y為因變量，點(diǎn)集D稱為函數(shù)的定義域，記為D(f)，而f(x1,x2,…,xn)稱為對(duì)應(yīng)于(x1,x2,…,xn)函數(shù)值，全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域，記為R(f)。[1]27

特別的，當(dāng)n=1時(shí)，即得一元函數(shù)，通常記為

y=f(x),x∈D,D?R。

當(dāng)n=2時(shí)，即得二元函數(shù)，通常記為

z=f(x,y),(x,y)∈D,D?R2。

二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。

1.2 一元復(fù)合函數(shù)

已知函數(shù)y=f(u),u∈D(f),y∈R(f),u=g(x),x∈D(g)，u∈R(g),若D(f)∩R(g)≠φ，那么就稱y=f[g(x)],x∈{x|g(x)∈D(f)}為由函數(shù)y=f(x)經(jīng)u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，其中x稱為自變量，y稱為因變量，u稱為中間變量，集合{x|g(x)∈D(f)}稱為函數(shù)y=f[g(x)]的定義域。[1]]262

1.3 二元復(fù)合函數(shù)

設(shè)函數(shù)z=f(u,v)是變量u,v的函數(shù)，而u,v又是變量x,y的函數(shù)，u=φ(x,y)，v=Ψ(x,y)，因而z=f[φ(x,y),Ψ(x,y)]是x,y的復(fù)合函數(shù)。[1]272

對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，由于復(fù)合的過(guò)程形式靈活、情形多樣，對(duì)于大一的學(xué)生來(lái)說(shuō)，不易掌握，顯得抽象，容易出錯(cuò)。在教學(xué)過(guò)程中，首先，要學(xué)生學(xué)會(huì)正確判斷出復(fù)合函數(shù)，從形式上來(lái)看，即基本初等函數(shù)x的位置不再是x，而是關(guān)于x的代數(shù)式[2]。其次，能夠正確分析出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，掌握基本初等函數(shù)是分析復(fù)合函數(shù)的基礎(chǔ)，通過(guò)認(rèn)真觀察復(fù)合函數(shù)的形式，恰當(dāng)引入一個(gè)或多個(gè)中間變量，由外層向內(nèi)層將一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單的基本初等函數(shù)，這也是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。最后，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，即鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行求導(dǎo)即可。

對(duì)于多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，一直以來(lái)都是教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)。對(duì)于高校的大一學(xué)生來(lái)說(shuō)，這部分內(nèi)容顯得相對(duì)抽象、比較難學(xué)，學(xué)生求導(dǎo)時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)。[3]教師在課堂教學(xué)中可以將一元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)所用的鏈?zhǔn)椒▌t，拓展到多元復(fù)合函數(shù)上，并結(jié)合因變量與自變量之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖來(lái)解析其求導(dǎo)法則。這種借助關(guān)系圖來(lái)求解復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法，會(huì)使多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則相對(duì)簡(jiǎn)單一些，就能使學(xué)生對(duì)這部分的內(nèi)容理解的更透徹，掌握的更牢固，進(jìn)而真正掌握多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題。

2 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

2.1 一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

鏈?zhǔn)椒▌t如圖1表示：

圖1 鏈?zhǔn)椒▌t

該定理可以推廣到任意有限次復(fù)合的情形。在應(yīng)用此鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，注意要從最外層起，由外層向內(nèi)層，層層相套，注意銜接，首尾相連。前面對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，后面就需要乘以這個(gè)變量對(duì)下一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，直到最后一個(gè)變量為自變量為止[4]；而引入中間變量是為了簡(jiǎn)化復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，最后求導(dǎo)之后還要將其還原為x的表達(dá)式；當(dāng)熟練掌握此復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法之后，就可以將中間變量省略，那么求導(dǎo)過(guò)程將會(huì)顯得簡(jiǎn)單一些。

2.2 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，下面主要討論二元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。

設(shè)z=f(u,v)在(u,v)處可微，函數(shù)u=φ(x,y)，v=Ψ(x,y)，在點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則復(fù)合函z=f[φ(x,y),Ψ(x,y)]在點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有如下鏈?zhǔn)椒▌t[5]：

以上這個(gè)法則可以推廣到多于兩個(gè)自變量的情形。我們可以將其因變量與自變量之間的關(guān)系圖表示為

分析：變量關(guān)系圖為

由以上五個(gè)變量z,u,v,x,y之間的關(guān)系圖可知，z是u,v的二元函數(shù)，而u是x,y的二元函數(shù)，v是x,y的二元函數(shù)。從變量z到x共有兩個(gè)分支，z→u→x與z→v→x，每一分支的內(nèi)容，用乘法相連，分叉的部分即兩個(gè)分支的部分用加號(hào)相連；從變量z到y(tǒng)也有兩個(gè)分支，z→u→y與z→v→y，每一分支的內(nèi)容，用乘法相連，分叉的部分即兩個(gè)分支的部分用加號(hào)相連。因z對(duì)u,v分叉，u對(duì)x,y分叉，v對(duì)x,y分叉，故z分別對(duì)u,v、u分別對(duì)x,y以及v分別對(duì)x,y的導(dǎo)數(shù)都用?表示。[6]

解：設(shè)u=x-y,v=x+y則z=eusinv

∴由復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t知：

eusinv·1+eucosv·1=

ex-ysin(x+y)+ex-ycos(x+y)，

eusinv·(-1)+eucosv·1=

-ex-ysin(x+y)+ex-ycos(x+y)，

2.3 三種特殊情形的求解

以下三種特殊情形也可以通過(guò)鏈?zhǔn)椒▌t來(lái)求解。

2.3.1 一元函數(shù)復(fù)合多元函數(shù)

設(shè)二元函數(shù)z=f(u),u=φ(x,y)，則復(fù)合函數(shù)z=f[φ(x,y)]用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)數(shù)得

分析：變量關(guān)系圖為

由以上四個(gè)變量z,u,x,y之間的關(guān)系圖可知，z是u的一元函數(shù)，而u的x,y二元函數(shù)。從變量z到x僅有一個(gè)分支，z→u→x該分支的內(nèi)容，用乘法相連；從變量z到y(tǒng)僅有一個(gè)分支，z→u→y該分支的內(nèi)容，用乘法相連。因u對(duì)x,y分叉，故u對(duì)x,y的導(dǎo)數(shù)都用?表示，z對(duì)u未分叉即單路，故z對(duì)u的導(dǎo)數(shù)都用d表示。

解：由題意知

∴由復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t知

2.3.2 多元函數(shù)復(fù)合一元函數(shù)

設(shè)二元函數(shù)z=f(u,v)，u=φ(t),v=Ψ(t)，則復(fù)合函數(shù)z=f([φ(t),Ψ(t)]用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)數(shù)得

分析：變量關(guān)系圖為

由以上四個(gè)變量z,u,v,t之間的關(guān)系圖可知，z是u,v的二元函數(shù)，而u是t的一元函數(shù)，v是t的一元函數(shù)。從變量z到t共有兩個(gè)分支，z→u→t，z→v→t，每一分支的內(nèi)容，都用乘法相連，分叉的部分即兩個(gè)分支的部分用加號(hào)相連。因z對(duì)u,v分叉，故z分別對(duì)u,v的導(dǎo)數(shù)都用?表示，u對(duì)t未分叉，v對(duì)t未分叉，故u對(duì)t、v對(duì)t的導(dǎo)數(shù)都用d表示。

∴由復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t知

2.3.3 多元函數(shù)復(fù)合一元函數(shù)和多元函數(shù)

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,v)，u=φ(x,y)，則復(fù)合函數(shù)z=f[x,φ(x,y)]用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)數(shù)得

分析：變量關(guān)系圖為

由以上四個(gè)變量z,u,x,y之間的關(guān)系圖可知，z是x,u的二元函數(shù)，而u是x,y的二元函數(shù)。從變量z到x共有兩個(gè)分支，z→x，z→u→x，每一分支的內(nèi)容，都用乘法相連，分叉的部分即兩個(gè)分支的部分用加號(hào)相連；從變量z到y(tǒng)只有一個(gè)分支，z→u→y，該分支的內(nèi)容，都用乘法相連。因z對(duì)x,u分叉，u對(duì)x,y分叉，故z分別對(duì)x,u和u對(duì)x,y的導(dǎo)數(shù)都用?表示。

∴由復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t知

通過(guò)分析以上幾種情形的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)以及多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，結(jié)合變量關(guān)系圖，可以總結(jié)為如下規(guī)律：分段用乘，分叉用加，單路全導(dǎo)，叉路偏導(dǎo)。這樣的通俗易懂的口訣，幫助學(xué)生理清復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)的實(shí)質(zhì)，抽象出來(lái)它的本質(zhì)，學(xué)生通過(guò)正確使用此口訣來(lái)求解多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題。

3 結(jié)語(yǔ)

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法是導(dǎo)數(shù)中一個(gè)重要內(nèi)容，多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t是高等數(shù)學(xué)中非常重要的解決方法。教師要在教學(xué)過(guò)程中仍需不斷地修改教學(xué)內(nèi)容，改變教學(xué)方法，探索到更好的方法讓學(xué)生對(duì)此部分理解的深刻、學(xué)習(xí)的透徹，一方面學(xué)生要正確理解其鏈?zhǔn)椒▌t，搞清此法則的含義及正確使用求導(dǎo)符號(hào)；另一方面要多加練習(xí)，多思考，孰能生巧，進(jìn)而真正掌握多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題。