江蘇南京市雨花外國語小學(xué)（210012）

現(xiàn)行各版數(shù)學(xué)教材，都把“帶余除法”的教學(xué)規(guī)劃為2課時(shí)，第1課時(shí)主攻意義滲透，第2課時(shí)才真正觸及算法技能。什么是帶余除法？為何規(guī)定余數(shù)比除數(shù)小？研討這些問題，有利于教師準(zhǔn)確把握相關(guān)概念，并在教學(xué)中適時(shí)滲透思想方法，從而有效開展相關(guān)教學(xué)。

一、正確定義，揭示帶余除法

許多人望文生義，認(rèn)為“帶余除法”就是“無法整除有剩余的除法”，這樣的理解并不全面，因?yàn)橛鄶?shù)是有取值范圍的。那么“帶余除法”的代數(shù)定義是什么呢？如果整數(shù)m＞n＞0，p＞0,且p×n＜m＜（p+1）×n，m-p×n=t，就說n除m，商為p，余數(shù)為t，并記作m=p×n+t。從定義中可知，p為最大商數(shù)，且必有t＜n。換言之，帶余除法定義中已經(jīng)暗含了各參數(shù)的取值范圍。與帶余除法關(guān)系緊密的還有整除的概念。設(shè)m、n是整數(shù)，且n≠0。那么，必然存在唯一的一對(duì)整數(shù)p與t，滿足m=p×n+t，0≤t＜n。此外，n能整除m的充要條件是t=0。

依照上述理論，若整數(shù)m=p×n+t（0＜t＜n），當(dāng)t不為0時(shí)，就說m不能被n整除，在此情況下推測(cè)p和t的演算過程，就是帶余除法。當(dāng)t=0時(shí)，就成了整除。由此可見，整除與帶余除法是討論同種關(guān)系式的兩種情況，是一體兩面。把整除視為余數(shù)為0的除法是謬誤的。之所以規(guī)定余數(shù)小于除數(shù)，一般采用反證法來驗(yàn)證，以分發(fā)實(shí)物為例，“如果余數(shù)比除數(shù)大了就還能再分”。其實(shí)，這樣的解釋站不住腳。如“平安夜某水果店做促銷活動(dòng)，拿出23個(gè)蘋果免費(fèi)分送給當(dāng)晚21：00后進(jìn)入店鋪的顧客，每人5個(gè)，先到先得，送完為止，問可以分給多少人？

圖1

以上的每一種分法，都可能出現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)情境中，因?yàn)楫?dāng)晚21：00后進(jìn)入該商店的人數(shù)是不可控的。每種可能都有對(duì)應(yīng)的圖例和算式，都符合“商×除數(shù)+余數(shù)＝被除數(shù)”的規(guī)律。而“能不能繼續(xù)再分”則需要根據(jù)客觀狀況而定，無法作為判斷余數(shù)應(yīng)比除數(shù)小的結(jié)論。為了避免出現(xiàn)一式多解的亂象，確保結(jié)果的唯一性，故而規(guī)定余數(shù)必須小于除數(shù)。

二、步步為營，突出余數(shù)本質(zhì)

[教學(xué)片段1 1]

問題1：有20枚雞蛋，每5枚裝1袋，可以裝幾袋？

生1：20÷5=4（袋）。

師：算式的意義是什么？

生1：20枚雞蛋，每次拿出5枚作為一組，一共可以分4組。

問題2：同樣多的雞蛋，如果每6枚裝一袋，最多可以裝幾袋？

生2：最多可以裝3袋，余下2枚。（如圖2）

圖2

師：能列式嗎？

生2：20 ÷ 6=3（袋）。

生3：20÷ 6=3（袋）……2枚。

生4：20 ÷ 6=3（袋）余 2（枚）。

師：到底怎么表示才正確？

生5：第一種列式?jīng)]將余下的2枚反映出來，是錯(cuò)誤的。

師：后兩種列式你更傾向于哪一種？

生5：第三種列式多一個(gè)“余”字非常必要，沒這個(gè)字表意不完整。

師：在數(shù)學(xué)中，“余”字可用專用符號(hào)“……”表示。如20÷6=3（袋）……2（枚），簡(jiǎn)潔明了。

師：誰能把這個(gè)算式中的所有數(shù)字表示的意義重新說一遍。

圈、點(diǎn)、數(shù)的活動(dòng)，正是借助直觀圖形幫助學(xué)生理解帶余除法，余下的點(diǎn)數(shù)也揭示了余數(shù)的意義。理解帶余除法的意義，既要能分別掌握算式中每個(gè)數(shù)字指代的意義，還要能從整體上理解算式的意義。

三、深入探究，發(fā)現(xiàn)余數(shù)規(guī)律

[教學(xué)片段2 2]

師：如果問題1中的雞蛋數(shù)分別為41、42、43和46、47、48，分畫的結(jié)果會(huì)如何？請(qǐng)分別寫出對(duì)應(yīng)的算式。

師：你能根據(jù)規(guī)律續(xù)寫下一個(gè)算式嗎？

生6：第一組：44÷5=8……4；第二組：49÷5=9……4

師：為什么？

生6：除數(shù)不變，總數(shù)加1后，余數(shù)相應(yīng)增加1。

師：如果被除數(shù)繼續(xù)加1，余數(shù)會(huì)怎樣？

生7：余數(shù)會(huì)增加到5。

師：真的嗎？

生8：錯(cuò)的！45除以5商數(shù)為9，剛好分完，余數(shù)消失。

師：寫出這個(gè)算式并思考余數(shù)為何消失。

生9：余數(shù)達(dá)到5，可以再分一個(gè)除數(shù)出來。（課件演示二次分配過程）

師：照上面的規(guī)律繼續(xù)列式，多列幾組，看看余數(shù)有什么變化。

生10：余數(shù)在變化，1、2、3、4，1、2、3、4，循環(huán)往復(fù)，周而復(fù)始。但永遠(yuǎn)不會(huì)超過4。

通過以上探究發(fā)現(xiàn)，余數(shù)永遠(yuǎn)小于除數(shù)，帶余除法的定義中明確有這一條。有的教師喜歡在毫無關(guān)聯(lián)的隨機(jī)出現(xiàn)的算式中，探究余數(shù)與除數(shù)的大小關(guān)系，導(dǎo)致學(xué)生思維受阻或者始終無法抓住問題核心。實(shí)在沒辦法，教師只好直接灌輸“余數(shù)小于除數(shù)”的概念。對(duì)此學(xué)生也是丈二和尚摸不著頭腦，不知為什么非要將余數(shù)和除數(shù)拿來對(duì)比。上述教學(xué)中，所有的式子呈現(xiàn)高度的相關(guān)性和清晰的變化規(guī)律：除數(shù)相同，被除數(shù)漸次遞增，商也相同，著重突出余數(shù)的周期變化。余數(shù)必定小于除數(shù)的規(guī)律也蘊(yùn)含在這個(gè)變化中。

四、逆向驗(yàn)證，揭示余數(shù)屬性

雖然通過同一類除法算式中的余數(shù)漸變規(guī)律能夠確認(rèn)余數(shù)比除數(shù)小的合理性和必然性，但是，這還不足以說明余數(shù)比除數(shù)小是帶余除法的基本屬性。要揭示它的基本屬性，需要用到逆運(yùn)算。

除法與乘法互為逆運(yùn)算，帶余除法的逆運(yùn)算怎么書寫呢？是乘加混合算式。理論上，一個(gè)乘加混合算式調(diào)換除數(shù)源和商數(shù)源的位置，就可以反推出兩個(gè)帶余除法的算式，如5×6+4=34，就可以改寫成“34÷5=6……4”和“34÷6=5……4”兩個(gè)帶余除式，但這只限于加數(shù)（余數(shù)源）同時(shí)小于兩個(gè)因數(shù)（除數(shù)源和商數(shù)源）。一旦脫離這個(gè)條件，有的乘加算式就只能改寫成一個(gè)帶余除式，這還是由于余數(shù)要小于除數(shù)造成的。如把“5×7+6=41”反推成帶余除式，只存在“41÷7=5……6”一種情況，而“41÷5=7……6”則不存在。通過逆運(yùn)算，可把乘加混合運(yùn)算與帶余除式有機(jī)融通，使學(xué)生體會(huì)兩者之間的交互證明關(guān)系。溝通二者的關(guān)聯(lián)，不僅可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)帶余除法的理解，而且為總結(jié)歸納“商×除數(shù)+余數(shù)=被除數(shù)”的推論打好基礎(chǔ)。

通過以上探究發(fā)現(xiàn)，無論在哪種觀點(diǎn)下，余數(shù)永遠(yuǎn)要小于除數(shù)。這一點(diǎn)實(shí)際上就是帶余除法的基本屬性。單純?cè)谒闶奖碚魃线M(jìn)行不完全歸納，推定兩者的關(guān)系在理論上是站不住腳的。若不明就里，學(xué)生只是被教師牽著鼻子走，為師命是從，那么這種強(qiáng)記必不長久和穩(wěn)固，一旦遇到變式就會(huì)引起思維混亂，甚至動(dòng)搖原有的正確認(rèn)知。

一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)定的出臺(tái)，背后一定有著深刻的道理。數(shù)學(xué)中的所有定則，都是邏輯發(fā)展的必然產(chǎn)物。如果孤立地看待某些規(guī)定，或許很難理解，但是聯(lián)系知識(shí)前后的來龍去脈，問題就會(huì)迎刃而解。