申柳肖，趙 春

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

生物種群模型與生態(tài)環(huán)境保護(hù)及生物多樣性等息息相關(guān)，因此一直是人們關(guān)注的熱點(diǎn).近年來，許多文獻(xiàn)研究了具有年齡結(jié)構(gòu)的種群模型[1-4].而個(gè)體尺度對(duì)研究生物種群有著重要意義，它比年齡結(jié)構(gòu)更能精準(zhǔn)地反映生物種群的某些行為[5]，因此受到了眾多學(xué)者的關(guān)注[5-10].文獻(xiàn)[6-7]研究了兩類單種群模型的最優(yōu)收獲問題.文獻(xiàn)[5]研究了一類個(gè)體尺度差異的兩競(jìng)爭(zhēng)種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲問題.文獻(xiàn)[8]研究了一類競(jìng)爭(zhēng)種群系統(tǒng)平衡解的穩(wěn)定性條件.文獻(xiàn)[9-10]研究了兩類種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題.本文在以往文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上研究基于個(gè)體尺度的三競(jìng)爭(zhēng)種群系統(tǒng)的最優(yōu)輸入率控制問題，此時(shí)競(jìng)爭(zhēng)種群之間的相互影響依賴于各種群的加權(quán)總規(guī)模.

本文考慮如下模型

其中：i、k=1、2、3；Q=[0，m]× [0，T]，常數(shù) T 為種群個(gè)體的控制周期，固定常數(shù)m為最大的個(gè)體尺度；gi（s）為第i個(gè)種群尺度為s的個(gè)體的尺度增長(zhǎng)率；pi（s，t）為第i個(gè)種群在t時(shí)刻尺度為s的種群密度；βi（s，t）和μi（s，t）分別為第i個(gè)種群的出生率和死亡率；Qi（s，t）為第i個(gè)種群的加權(quán)總規(guī)模，qi（s，t）為權(quán)重函數(shù)；λik（s，t）為各種群間的相互影響系數(shù)；p0i（s）為第i個(gè)種群個(gè)體尺度的初始分布；αi（s，t）為控制變量，表示第i個(gè)種群的個(gè)體輸入率.

本文做如下基本假設(shè).

考慮控制問題

1 解的存在唯一性

2 最優(yōu)控制的必要性條件