趙天騏，江曉東，李 鵬，白 浩，于 力

（1.天津大學(xué)電氣自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，天津 300072；2.南方電網(wǎng)科學(xué)研究院有限責(zé)任公司，廣州 510080）

電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)是能量管理系統(tǒng)EMS（ener?gy management system）的主要功能之一，在監(jiān)測(cè)和控制電力系統(tǒng)的可靠運(yùn)行方面發(fā)揮著重要作用。狀態(tài)估計(jì)器通過(guò)電壓、電流、線(xiàn)路功率、注入功率等測(cè)量來(lái)估計(jì)整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)，即每個(gè)母線(xiàn)的電壓幅值和相角。這些測(cè)量由數(shù)據(jù)采集與監(jiān)視控制系統(tǒng)的遠(yuǎn)動(dòng)終端提供。狀態(tài)估計(jì)結(jié)果為其他EMS功能，如安全分析、最優(yōu)潮流、電壓穩(wěn)定性分析等提供基礎(chǔ)。因此狀態(tài)估計(jì)的收斂性是電網(wǎng)在線(xiàn)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)和控制的關(guān)鍵。

基于高斯-牛頓迭代法的加權(quán)最小二乘WLS（weighted least squares）算法是最常用的狀態(tài)估計(jì)算法。然而牛頓法對(duì)初始值比較敏感，初始點(diǎn)選擇不當(dāng)會(huì)造成算法發(fā)散，尤其在以下的情況難以獲得狀態(tài)估計(jì)解：

（1）如果測(cè)量系統(tǒng)中出現(xiàn)嚴(yán)重的測(cè)量錯(cuò)誤或電網(wǎng)數(shù)據(jù)中有拓?fù)溴e(cuò)誤，基于牛頓迭代法的WLS估計(jì)器可能會(huì)發(fā)生不收斂；

（2）如果系統(tǒng)中含有不可觀(guān)測(cè)的狀態(tài)變量，這時(shí)增益矩陣會(huì)發(fā)生奇異，傳統(tǒng)基于牛頓迭代的WLS算法將無(wú)法進(jìn)行計(jì)算。

從數(shù)值的角度來(lái)看，當(dāng)存在很大的注入測(cè)量或者采用很大的權(quán)值時(shí)，狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題可能會(huì)出現(xiàn)病態(tài)。正交變換法[1]可以在一定程度上解決病態(tài)問(wèn)題。Peters-Wilkinson方法[2]在求解速度和數(shù)值穩(wěn)定性之間進(jìn)行了很好的平衡。Hachtel增廣矩陣法[3]和Cholesky分解法[4]也在克服數(shù)值病態(tài)問(wèn)題上有重要貢獻(xiàn)。文獻(xiàn)[5-6]指出正交分現(xiàn)震蕩發(fā)散而能給出狀態(tài)估計(jì)的解，提出了基于信賴(lài)域（trust region）的狀態(tài)估計(jì)算法來(lái)克服這個(gè)問(wèn)題。

本文提出基于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)算法，基本原理是將狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)SEP（stable equilibrium point），通過(guò)構(gòu)造商梯度系統(tǒng)QGS（quotient gradient system），使其退化的穩(wěn)定平衡流形對(duì)應(yīng)于WLS的解，從非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)理論出發(fā)，證明了這個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，因此通過(guò)對(duì)QGS進(jìn)行軌跡追蹤，可以得到狀態(tài)估計(jì)的解。由于所提出的方法不需要對(duì)增益矩陣進(jìn)行求逆，因此能夠克服傳統(tǒng)WLS算法的局限性。

1 電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題

WLS算法是電網(wǎng)狀態(tài)估計(jì)最常用的方法，其實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單并且計(jì)算速度快。該方法旨在找到測(cè)量值與其對(duì)應(yīng)測(cè)量方程之間的最佳擬合，從而確定出系統(tǒng)的狀態(tài)變量。由于潮流方程是非線(xiàn)性的，因此狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題也是非線(xiàn)性最小二乘問(wèn)題。定義以下的列向量。

對(duì)于一個(gè)有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的電力網(wǎng)絡(luò)可表示為

式中：z為測(cè)量向量；x為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；h(x)為測(cè)量方程；hi(x)為關(guān)于測(cè)量i的非線(xiàn)性測(cè)量方程；e為測(cè)量誤差列向量。

最小二乘估計(jì)是目標(biāo)函數(shù)J(x)的最小化問(wèn)題，可表示為

式中，Rii為測(cè)量誤差方差矩陣的對(duì)角元素。

以上最小二乘狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題通常采用高斯-牛頓法求解一階最優(yōu)條件，可表示為

迭代方程由g(x)的一階泰勒展開(kāi)并忽略高階項(xiàng)導(dǎo)出為

式中：Δx為迭代步長(zhǎng)；xk為第k次迭代后的狀態(tài)變量。

增益矩陣G可以表示為

式中，R為測(cè)量誤差方差矩陣。

高斯-牛頓法的收斂取決于增益矩陣G是否可逆，也就是說(shuō)必須有足夠的測(cè)量分布在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)上，從而可以推斷出2N-1個(gè)狀態(tài)變量的信息。當(dāng)有足夠的測(cè)量用于所有狀態(tài)變量時(shí)，稱(chēng)該系統(tǒng)為可觀(guān)測(cè)的。一個(gè)可觀(guān)測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)可以用測(cè)量來(lái)唯一地確定，然而測(cè)量并非總是在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中均勻分布。系統(tǒng)的一些子區(qū)域可能會(huì)因?yàn)闇y(cè)量不足或測(cè)量丟失而導(dǎo)致失去可觀(guān)測(cè)性。在這種情況下，傳統(tǒng)的高斯-牛頓法就不能給出狀態(tài)估計(jì)的解，而對(duì)于不可觀(guān)測(cè)的系統(tǒng)，狀態(tài)估計(jì)的解不唯一。

2 基于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)算法

基于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的方法基本思想是將狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為適當(dāng)構(gòu)造的動(dòng)力系統(tǒng)，狀態(tài)估計(jì)的解可以通過(guò)求解對(duì)應(yīng)動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)來(lái)得到。因此，動(dòng)力系統(tǒng)的構(gòu)造和性質(zhì)是該方法的關(guān)鍵。首先介紹非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)的一些基本概念。

2.1 非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)概述

非線(xiàn)性自治動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)可以表示為

式中：F:?n→?m為從?n空間到?m空間的映射；為狀態(tài)變量x的一階導(dǎo)數(shù)。定義動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的軌跡為t=0時(shí)刻起從x0出發(fā)的曲線(xiàn)，記作

下面介紹平衡流形和穩(wěn)定平衡流形的定義，以及相關(guān)的定理。

定義1 平衡流形：對(duì)于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式（6），稱(chēng)Σ={F (x)≡0|x∈?n}為該動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)平衡流形。即平衡流形Σ上的任意一點(diǎn)x都滿(mǎn)足F(x)=0。

定義2 穩(wěn)定平衡流形：若對(duì)于任意ε＞0，存在δ=δ(ε)＞0 ，使對(duì)于任意的 x∈Bδ(Σ )，有 Φ(t,x)∈Bε(Σ )，其中 Bδ(Σ)={x ∈ ?n|‖x-y‖＜δ,?y∈Σ }，則動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式（6）的平衡流形Σ是漸近穩(wěn)定的，稱(chēng)作穩(wěn)定平衡流形SEM（stable equilibrium mani?fold）。反之，平衡流形Σ是不穩(wěn)定的，稱(chēng)作不穩(wěn)定平衡流形UEM（unstable equilibrium manifold）。

定理1 設(shè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的平衡流形Σ和任意一點(diǎn)x∈Σ，DF(x)為F在x處的雅可比矩陣。若DF(x)在正規(guī)空間Nx(Σ)上的特征向量（所有不在切空間上的特征向量）所對(duì)應(yīng)的特征值的實(shí)部都為負(fù)值，則x是穩(wěn)定的，Σ為穩(wěn)定平衡流形。若DF(x)在正規(guī)空間Nx(Σ)上的特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值至少有一個(gè)含有正實(shí)部，則x是不穩(wěn)定的，Σ是不穩(wěn)定平衡流形。如果有k個(gè)含有正實(shí)部的特征值，稱(chēng)Σ為k型不穩(wěn)定平衡流形（type-k UEM）。

2.2 理論基礎(chǔ)

考慮如下QGS[7]：

式中，DH(x)為 H(x)的雅可比矩陣，H(x)=[z -h(x)]。

定理2 動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式（7）的一個(gè)穩(wěn)定平衡流形 Σs是函數(shù)E(x)=‖H (x)‖22的一個(gè)局部最小點(diǎn)。

證明：

設(shè)Σs是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式（7）的穩(wěn)定平衡流形，因此存在一個(gè) ε＞0使得對(duì)任意的y∈Bε(Σs)，其軌跡Φ(t,y)→Σs。因?yàn)楹瘮?shù) E(x)=‖H(x)‖22 沿著軌跡的導(dǎo)數(shù) E(x)=-‖DH (x)TH(x)‖2≤0是非正的，也就是說(shuō)對(duì)于任意的y∈Bε(Σs)，E(x)是一個(gè)非增函數(shù)，即Σs是下面最小化問(wèn)題的一個(gè)局部最優(yōu)解：

定義3 退化穩(wěn)定平衡流形DSEM（degenerat?ed stable equilibrium manifold）：動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式（7）的一 個(gè) 穩(wěn) 定 平 衡 流 形 Σs，若 H(Σs)≠0 且DH(Σs)TH(Σs)=0，則稱(chēng) Σs為退化穩(wěn)定平衡流形。

由于測(cè)量誤差的存在以及測(cè)量在局部具有一定的冗余度，根據(jù)定理2和定義3，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)將只存在退化的穩(wěn)定平衡流形，并且該退化的穩(wěn)定平衡流形是函數(shù)E(x)=‖H (x)‖22的一個(gè)非零局部最小點(diǎn)。這里2E(x)=Hs(x)THs(x)即為最小二乘準(zhǔn)則的目標(biāo)函數(shù)。若將Hs(x)中的約束乘以權(quán)值其中測(cè)量i的標(biāo)準(zhǔn)差σi反映了對(duì)應(yīng)測(cè)量的精確度，則有E(x)=Hs(x)TWHs(x)，這時(shí)WLS的解便為QGS的退化穩(wěn)定平衡流形。因此，可以通過(guò)對(duì)QGS進(jìn)行軌跡追蹤，得到其退化穩(wěn)定平衡流形上一點(diǎn)，從而得到WLS模型的狀態(tài)估計(jì)解。

下面討論DSEM的維數(shù)與狀態(tài)估計(jì)中不可觀(guān)測(cè)狀態(tài)變量維數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)集合ΣDSEM為QGS的退化穩(wěn)定平衡流形，如果ΣDSEM中的每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的H(x)值不同，那么集合ΣDSEM在?n中的Lebesgue測(cè)度為0。定理的證明見(jiàn)文獻(xiàn)[8]。

當(dāng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題中系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和測(cè)量能夠保證系統(tǒng)的可觀(guān)測(cè)性時(shí)，定理3中的假設(shè)是滿(mǎn)足的。因此對(duì)應(yīng)QGS的退化穩(wěn)定平衡流形，即WLS的解是孤立的點(diǎn)。然而，當(dāng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題中出現(xiàn)不可觀(guān)測(cè)變量時(shí)，由于不可觀(guān)狀態(tài)量的取值對(duì)WLS目標(biāo)函數(shù)值沒(méi)有影響，因此定理3中的假設(shè)不能滿(mǎn)足，此時(shí)給出下面的定理。

定理4 設(shè)系統(tǒng)中含有k個(gè)不可觀(guān)狀態(tài)變量，那么QGS動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的退化穩(wěn)定平衡流形ΣDSEM的維數(shù)為k。

證明：

設(shè)x為退化穩(wěn)定平衡流形ΣDSEM上一點(diǎn)，因此x=QH(x)=-DH(x)TH(x)=0。設(shè)系統(tǒng)中有k維不可觀(guān)測(cè)狀態(tài)變量，由于不可觀(guān)狀態(tài)量的取值對(duì)QH(x)的值沒(méi)有影響，則存在映射Ρ:U→?n，其中U是?k中的一個(gè)開(kāi)集，滿(mǎn)足QH[ ]Ρ(s)≡0，s∈U。因此ΣDSEM={Ρ (s)|s∈U }為一個(gè)k維平衡流形。證畢。

定理4說(shuō)明當(dāng)狀態(tài)問(wèn)題中含有k維不可觀(guān)測(cè)變量時(shí)，對(duì)應(yīng)QGS的退化穩(wěn)定平衡流形也是k維的，在k維退化穩(wěn)定平衡流形上的任意一點(diǎn)都可以使WLS目標(biāo)函數(shù)最小，因此WLS不具有唯一解。這時(shí)QGS收斂到退化穩(wěn)定平衡流形上的哪一點(diǎn)將和初始值有關(guān)。

2.3 算法流程

根據(jù)上面闡述的理論基礎(chǔ)，本節(jié)給出基于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)算法求解WLS模型的求解流程，當(dāng)傳統(tǒng)基于高斯牛頓的WLS算法不收斂時(shí)，啟動(dòng)基于QGS的狀態(tài)估計(jì)算法，通過(guò)對(duì)QGS的軌跡進(jìn)行追蹤，得到其退化穩(wěn)定平衡流形，從而得到WLS估計(jì)模型的狀態(tài)估計(jì)解。

步驟1 讀入電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)和測(cè)量數(shù)據(jù)；

步驟2 生成狀態(tài)估計(jì)測(cè)量方程；零注入平衡方程；

步驟3 采用高斯牛頓法求解WLS狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，如果收斂，輸出狀態(tài)估計(jì)結(jié)果；否則進(jìn)入步驟4；

步驟4 并構(gòu)造對(duì)應(yīng)的QGS如式（7）所示；

步驟5 對(duì)QGS的軌跡進(jìn)行跟蹤，采用數(shù)值積分方法，求解到QGS的退化穩(wěn)定平衡流形，收斂判據(jù)為‖QH(x)‖＜ε

求解過(guò)程中使用的數(shù)值積分方法可以采用隱式歐拉法、龍格庫(kù)塔法等常用的數(shù)值方法進(jìn)行軌跡的追蹤。仿真軟件Matlab中也提供了多種積分器可供選擇，本文的測(cè)試算例均采用隱式剛性積分器ode15s。

3 算例分析

3.1 IEEE 14節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)少量測(cè)算例

本節(jié)給出在IEEE14節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)上進(jìn)行的仿真結(jié)果，圖1給出了IEEE14節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)的接線(xiàn)圖，以及本算例使用的測(cè)量類(lèi)型和位置。該測(cè)試系統(tǒng)狀態(tài)變量維數(shù)為n=2×14-1=27，測(cè)量個(gè)數(shù)為m=36，零注入約束3個(gè)，分別是7號(hào)母線(xiàn)的有功和無(wú)功零注入約束，8號(hào)母線(xiàn)的有功零注入約束。所有的測(cè)量數(shù)據(jù)均由已知的潮流解推得，并疊加標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.02的隨機(jī)誤差。

圖1 IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)單線(xiàn)圖及其測(cè)量配置情況Fig.1 Single-line diagram of IEEE 14-bus test system and its measurement arrangement

該系統(tǒng)存在不可觀(guān)測(cè)狀態(tài)變量Va10（10號(hào)母線(xiàn)的電壓相角），這時(shí)WLS算法中的增益矩陣奇異，因此傳統(tǒng)基于高斯-牛頓法的WLS算法無(wú)法計(jì)算。按照如上介紹的基于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)算法流程，可以求解到QGS的穩(wěn)定平衡流形，從而得到可觀(guān)測(cè)變量的狀態(tài)估計(jì)解。

初始點(diǎn)設(shè)置為平啟動(dòng)（電壓幅值為1.0，相角為0°），得到測(cè)量殘差、狀態(tài)變量估計(jì)誤差和收斂過(guò)程如圖2所示。圖2（a）為QGS的收斂過(guò)程，橫坐標(biāo)是指積分運(yùn)算中的時(shí)間參數(shù)，不是實(shí)際計(jì)算時(shí)間?？v坐 標(biāo) 為QGS方 程 ‖QH(x)‖，收 斂 判 據(jù) 為‖QH(x)‖ ＜10-6。圖2（b）為測(cè)量殘差，圖2（c）為估計(jì)誤差，可以看到除不可觀(guān)變量外，其他狀態(tài)變量均有較高的估計(jì)精度，估計(jì)誤差均值為D=0.004 175。本算例中Va10的實(shí)際值為-0.264 rad，不可觀(guān)測(cè)變量的估計(jì)值和初始點(diǎn)選擇有關(guān)。

圖2 在測(cè)量含有標(biāo)準(zhǔn)差為0.02的隨機(jī)誤差時(shí)的收斂過(guò)程和測(cè)量殘差以及估計(jì)誤差Fig.2 Convergence process,measurement residuals and estimation errors when measuring random errors with standard deviation of 0.02

根據(jù)定理4，該算例含有1維不可觀(guān)測(cè)變量，則QGS的退化穩(wěn)定平衡流形也為1維，下面在Va9×Va10×Vm8的3維空間中展示QGS的退化穩(wěn)定平衡流形以及不同初始點(diǎn)的收斂軌跡。

如圖3所示，在Va9×Va10×Vm8的3維空間中隨機(jī)采樣20個(gè)不同的初始點(diǎn)，通過(guò)對(duì)QGS進(jìn)行軌跡追蹤，均收斂到QGS的退化穩(wěn)定平衡流形上，圖3中與Y軸Va10平行的一維曲線(xiàn)。不同的初始值會(huì)收斂到退化穩(wěn)定平衡流形上的不同點(diǎn)。由于不可觀(guān)變量Va10的取值對(duì)WLS目標(biāo)函數(shù)沒(méi)有影響，因此一維退化穩(wěn)定平衡流形上的任意一點(diǎn)都可以使WLS目標(biāo)函數(shù)最小。圖3中曲線(xiàn)的灰度表示W(wǎng)LS目標(biāo)函數(shù)，數(shù)值越小，黑色越深。

圖3 IEEE14節(jié)點(diǎn)不可觀(guān)測(cè)測(cè)試算例中QGS的退化穩(wěn)定平衡流形以及不同初始點(diǎn)的收斂軌跡Fig.3 DSEM of QGS for IEEE 14-bus unobservable test system and the convergence trajectory with different initial points

4.2 IEEE 118節(jié)點(diǎn)少量測(cè)測(cè)試算例

下面使用IEEE 118測(cè)試系統(tǒng)對(duì)基于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)算法進(jìn)行測(cè)試。系統(tǒng)中含有54個(gè)發(fā)電機(jī)，186條線(xiàn)路和91個(gè)帶有P-Q負(fù)荷的母線(xiàn)。本算例使用完整的電氣量測(cè)量一共有1 098個(gè)，包括118個(gè)電壓幅值測(cè)量，236個(gè)功率注入測(cè)量和744個(gè)線(xiàn)路首末端功率測(cè)量。本節(jié)使用的測(cè)量均在真實(shí)值基礎(chǔ)上疊加了標(biāo)準(zhǔn)差為0.05的隨機(jī)誤差。

從全部1 098個(gè)量測(cè)數(shù)據(jù)開(kāi)始，隨機(jī)地去掉量測(cè)直到只剩1個(gè)量測(cè)，對(duì)基于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)算法進(jìn)行測(cè)試。顯然，當(dāng)逐個(gè)去掉測(cè)量時(shí)，系統(tǒng)測(cè)量的冗余度下降，會(huì)有部分測(cè)量變?yōu)殛P(guān)鍵量測(cè)，如果繼續(xù)隨機(jī)地去掉測(cè)量，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)不可觀(guān)狀態(tài)變量。圖4給出了測(cè)量數(shù)目逐漸減少時(shí)，基于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)算法和傳統(tǒng)高斯-牛頓法的估計(jì)精度對(duì)比。當(dāng)測(cè)量數(shù)目小于460個(gè)時(shí)，由于增益矩陣的奇異，傳統(tǒng)WLS算法無(wú)法獲得狀態(tài)估計(jì)解，而本文提出的基于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的算法能夠在系統(tǒng)失去可觀(guān)測(cè)性時(shí)提供可以接受的估計(jì)值。當(dāng)然，隨著測(cè)量的減少，不可觀(guān)狀態(tài)變量的增多，估計(jì)誤差也迅速變大。

當(dāng)測(cè)量數(shù)目減少為300個(gè)時(shí)，經(jīng)可觀(guān)測(cè)性分析，系統(tǒng)中將有4個(gè)不可觀(guān)測(cè)狀態(tài)變量分別為Va112、Va20、Va38、Vm112。這時(shí)WLS算法的增益矩陣奇異，條件數(shù)為cond(G)=7.143 9×1019，傳統(tǒng)高斯牛頓法不能收斂。圖5給出了此時(shí)增益矩陣G的特征值。圖6給出了QGS的收斂過(guò)程。

圖4 隨著測(cè)量數(shù)目減少，基于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)算法和傳統(tǒng)高斯-牛頓法的估計(jì)精度對(duì)比Fig.4 Comparison of estimation accuracy between the method based on dynamical system and the traditional Gauss-Newton method when the number of measurements is decreasing

圖5 在測(cè)量數(shù)目減少為300個(gè)時(shí)，WLS算法中增益矩陣G的特征值Fig.5 Eigenvalue of the gain matrix G in WLS method when the number of measurements is reduced to 300

圖6 在測(cè)量數(shù)目減少為300個(gè)時(shí)，基于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)算法的收斂曲線(xiàn)Fig.6 Convergence curve of the method based on dynamical system when the number of measurements is reduced to 300

3.3 IEEE 14節(jié)點(diǎn)存在拓?fù)溴e(cuò)誤時(shí)的收斂性測(cè)試

采用文獻(xiàn)[5]中的測(cè)試算例，假設(shè)6-12線(xiàn)路被認(rèn)為斷開(kāi)，而實(shí)際上這條線(xiàn)路沒(méi)有斷開(kāi)。該算例有42個(gè)測(cè)量，包括7個(gè)電壓幅值測(cè)量，11個(gè)注入功率測(cè)量，24個(gè)線(xiàn)路功率測(cè)量。

圖7給出了IEEE 14節(jié)點(diǎn)測(cè)試算例含有一個(gè)拓?fù)溴e(cuò)誤時(shí)，高斯-牛頓算法和基于QGS動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)算法的收斂曲線(xiàn)對(duì)比。上方的橫坐標(biāo)表示高斯-牛頓法的迭代次數(shù)，下方的橫坐標(biāo)表示對(duì)QGS動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的積分時(shí)間參數(shù)，可以看出高斯-牛頓法呈現(xiàn)出震蕩的現(xiàn)象，未能求解到WLS解。而本文提出的算法可以收斂。

圖7 IEEE 14節(jié)點(diǎn)測(cè)試算例含有一個(gè)拓?fù)溴e(cuò)誤時(shí)，高斯牛頓法和動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)算法的收斂曲線(xiàn)對(duì)比Fig.7 Comparison of convergence curve between the Gauss-Newton method and the method based on dynamical system for IEEE 14-bus test system with one single topological error

牛頓（或高斯-牛頓）法在初始點(diǎn)接近解時(shí)具有優(yōu)良的收斂速度，但缺點(diǎn)在于對(duì)初始點(diǎn)很敏感，因此當(dāng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題中出現(xiàn)很大的測(cè)量殘差時(shí)可能造成求解失敗。當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)中含有嚴(yán)重的壞數(shù)據(jù)或者拓?fù)溴e(cuò)誤時(shí)，往往需要先求解出一個(gè)WLS解，然后對(duì)殘差或標(biāo)準(zhǔn)化殘差進(jìn)行分析，從而對(duì)壞數(shù)據(jù)和錯(cuò)誤拓?fù)溥M(jìn)行識(shí)別。然而從本算例可以看出，在出現(xiàn)嚴(yán)重錯(cuò)誤時(shí)，可能造成牛頓法不收斂，從而無(wú)法進(jìn)行下一步的壞數(shù)據(jù)和拓?fù)溴e(cuò)誤識(shí)別。本文提出的算法在這種情況下能夠保證收斂，為錯(cuò)誤測(cè)量和拓?fù)渥R(shí)別提供基礎(chǔ)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種新的基于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的方法來(lái)求解狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，構(gòu)造商QGS，其退化的穩(wěn)定平衡流形對(duì)應(yīng)于WLS的解，并證明QGS是漸進(jìn)穩(wěn)定的，因此可以保證算法的收斂性。該方法可以可靠地處理因拓?fù)溴e(cuò)誤而可能引起的不收斂問(wèn)題，當(dāng)系統(tǒng)中存在不可狀態(tài)變量時(shí)，可以繼續(xù)進(jìn)行求解并得到有效的狀態(tài)估計(jì)解，同時(shí)用數(shù)值算例對(duì)不可觀(guān)算例的WLS解進(jìn)行了刻畫(huà)。所提出的算法在IEEE 14節(jié)點(diǎn)和IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)上進(jìn)行測(cè)試，驗(yàn)證了其可靠性和有效性。