橫向磁場下環(huán)形液池?zé)崦殹×α?/h1>
2018-09-10 05:44:06呂?；?/span>王霞陽宏閔中強
河南科技 2018年23期 關(guān)鍵詞：數(shù)值模擬
呂海慧 王霞 陽宏 閔中強
摘 要：為了解橫向磁場作用下環(huán)形液池內(nèi)熱毛細-浮力對流的基本特性，利用有限體積法對磁場強度分別為0、0.3T和0.5T進行了三維數(shù)值模擬。結(jié)果表明：當(dāng)溫差分別為5K、10K時，無磁場條件下，對流為穩(wěn)態(tài)流動，在外加磁場的條件下，隨著磁場的增加，對流失去穩(wěn)定性，變?yōu)橐?guī)則的振蕩對流；進一步增大磁場，對流轉(zhuǎn)變?yōu)闊o規(guī)則振蕩對流。
關(guān)鍵詞：環(huán)形液池；橫向磁場；熱毛細-浮力對流；數(shù)值模擬
中圖分類號：TK124 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-5168（2018）23-0135-06
Thermocapillary-buoyancy Convection in Annular Fluid
Pool under Transverse Magnetic Field
LYU Haihui WANG Xia YANG Hong MIN Zhongqiang
（College of Mathematical Sciences and Engineering， Anhui University of Technology，Maanshan Anhui 243032）
Abstract： In order to understand the basic characteristics of thermocapillary-buoyancy convection in the annular fluid pool under the effect of transverse magnetic field， the finite volume method was used to simulate the magnetic field strength of 0， 0.3T and 0.5T， respectively. The results showed that when the temperature difference was 5K and 10K respectively， the convection was steady flow under the condition of no magnetic field. With the addition of magnetic field， the convection lost its stability and becomes regular oscillating convection. With increasing magnetic field， convection became irregular oscillatory convection.
Keywords： annular fluid pool；transverse magnetic field；thermocapillary-buoyancy convection；numerical simulation
1 研究背景
在晶體生長過程中，熔體對流對晶體質(zhì)量有著至關(guān)重要的影響。一般來說，希望得到性能均勻的晶體材料，但是，如果熔體的運動是非穩(wěn)定的，則晶體的均勻性就會受到破壞。熔體流動的擾動產(chǎn)生湍流會造成熔體劇烈的溫度波動，晶體生長速度也將會隨溫度的變化產(chǎn)生波動，導(dǎo)致晶體中產(chǎn)生生長條紋。外加橫向磁場，對流會做切割磁感線運動，產(chǎn)生安培力，削弱流體運動，減小熔體的溫度波動，從而減少晶體中的生長條紋，這使晶體的結(jié)構(gòu)更加完整，晶體的質(zhì)量也得到改善。
李友榮等[1]在環(huán)形淺液池內(nèi)采用漸近線方法獲得浮力-熱毛細對流的近似解析解，得到了主流區(qū)速度場和溫度場的表達式。石萬元等[2]進行非穩(wěn)態(tài)三維數(shù)值模擬浮力對水平溫度梯度作用下環(huán)形液池內(nèi)的熱毛細對流，發(fā)現(xiàn)在深液池內(nèi)，當(dāng)溫差超過臨界值時，在常重力條件下，軸對稱穩(wěn)態(tài)流動將轉(zhuǎn)化為三維穩(wěn)定流動。周小明等[3]研究了大尺度環(huán)形液池中雙層流體系統(tǒng)在內(nèi)外壁面溫差加熱下的熱毛細對流不穩(wěn)定性，對大小熱毛細對流的振蕩產(chǎn)生于內(nèi)壁面附近，并沿著溫度梯度相反的方向傳播。Chen等[4]利用三維直接數(shù)值模擬環(huán)形池中毛細管比對熱溶質(zhì)毛細管-浮力對流。Kimura[5]等研究了橫向磁場對直徑為20mm的摻雜硅單晶浮區(qū)法生長過程的影響。宇慧平等[6，7]利用兩維數(shù)值模擬了垂直磁場和勾形磁場作用下大直徑晶體的生長情況，結(jié)果表明，垂直磁場能抑制熔體中的徑向?qū)α?，?dāng)磁場強度過高時，湍流程度也增加；隨著勾形磁場強度增加，熔體內(nèi)的紊流得到了有效抑制。Kalae[8]利用三維數(shù)值研究了直徑為400mm的單晶硅生長過程中施加水平磁場和勾形磁場的抑制效果，外加磁場可以有效地控制熔體湍流，減小熔體的熱量波動。年夫雪等[9]利用三維數(shù)值模擬了水平磁場下45.72cm（18in）直拉硅單晶生長工藝，分析了不同強度水平磁場作用下熔體和晶體中的溫度場分布、熔體中流場的變化及其對晶體生長固液界面形狀的影響及其變化規(guī)律。Huang[10]等研究了橫向磁場和勾形磁場對熱毛細對流及自由液面變形的影響。上述研究表明，在晶體生長過程中，外加磁場可以有效控制熔體對流。本文利用三維數(shù)值模擬了橫向磁場作用下環(huán)形液池?zé)崦?浮力對流。
2 物理數(shù)學(xué)模型
重力環(huán)境下g=9.8m/s2，本文所采用的直拉單晶生長模型如圖1所示。液池外壁半徑為rc=0.04m，內(nèi)壁半徑為ri=0.02m，高h=0.02m。上下表面為絕熱狀態(tài)。
[Z][ri][rc][h]
圖1 物理模型
物理模型的簡化如下：①流體為不可壓縮的牛頓型粘性流體；②流體密度變化滿足Boussinesq近似，流體表面張力是溫度的線性函數(shù)，其他物性保持不變；③自由表面為平面且不發(fā)生變形；④上表面和底面絕熱且所有壁面都為電絕緣壁面。
基于上述假設(shè)，環(huán)形液池內(nèi)硅熔體的流動控制方程可表示為：
[1r×?ru?r+?v?z+1r×?w?θ=0] （1）
[?u?x+u?u?r+v?ur?θ+v?ur?z-w2r=-1ρ×?p?r+v1r×??rr?u?r+1r2×?2u?θ-2r2×?w?θ-ur2+1ρJθBz-JzBθ]（2）
[?v?t+u?v?r+w?v?r?θ+v?ur?z=-1ρ×?p?z+v1r×??rr?u?r+1r2×?2u?θ2+?2v?z2+gβT-Tref+1ρJrBθ-JθBr] （3）
[?w?t+u?w?r+v?wr?θ+v?w?z-uvr=-1ρ×?pr?θ+v1r×??rr?u?r+1r2×?2w?θ2+?2w?z2+2r2×?w?θ-wr2+1ρJzBr-JrBz] （4）
[?T?T+u?T?r+wr×?T?θ+v?T?z=-kρCp1r×??rr?T?r+1r2×?2T?θ+?2T?z2] （5）
其中，u、v、w分別表示r、z和[θ]方向的速度，[ρ]為密度，p為壓力，T為溫度，Tref為Boussinesq假設(shè)中的參考溫度，Cp為比熱容，[μ]為流體動力黏度，v為運動黏度系數(shù)，k為流體的導(dǎo)熱系數(shù)，J為誘導(dǎo)電流，B為磁場強度。
電磁感應(yīng)方程可以通過Maxwell方程和Ohm定律推導(dǎo)出來：
[?b?t+V×?b=1μmσm?2b+B0+b×?V] （6）
其中，V表示速度矢量，B為磁場強度，等于外加磁場[B0]和誘導(dǎo)磁場b之和，[σm]為電導(dǎo)率，[μm]為磁導(dǎo)率。誘導(dǎo)電流通過式（7）獲得：
[J=1μm?×b] （7）
洛倫茲力表示為：[F=J×B]。
硅熔體物性參數(shù)見表1。
表1 硅熔體物性參數(shù)
[參數(shù) 符號 數(shù)值 密度（kg·m-3） [ρ] 2.53×103 動力黏度（kg·m-1·s-1） [μ] 7×10-4 導(dǎo)熱系數(shù)（W·m-1·K-1） k 64 熱容量（J·kg-1·K-1） CP 1×103 電導(dǎo)率（Ω-1·m-1） [σm] 1×106 磁場強度/T B0 0，0.3，0.5 磁導(dǎo)率 [μm] 1.257×10-6 ]
3 計算方法
采用非均勻結(jié)構(gòu)化交錯網(wǎng)格的有限體積法對控制方程進行離散，對動量方程、能量方程中的對流項采用二階迎風(fēng)格格式離散，對流項采用二階迎風(fēng)格離散，擴散項都采用二階中心差分離散，時間項采用二階隱式推進法，壓力速度耦合采用SIMPLE算法。本文計算區(qū)域劃分為25.6萬個網(wǎng)格，計算中采用時間步長為5×10-3s。迭代求解過程中，當(dāng)速度、溫度、壓力等變量相對變化率小于10-5時認為計算已收斂。
4 結(jié)果與分析
4.1 溫度分布
圖2是上表面溫度等值線分布。
（c） [ΔT]=5K，B0=0.5T （d） [ΔT]=10K，B0=0T
（e） [ΔT]=10K，B0=0.3T （f） [ΔT]=10K，B0=0.5T
圖6 [θ=π]截面速度矢量分布
內(nèi)外壁面存在溫度差，在熔體自由表面上產(chǎn)生表面張力梯度，驅(qū)動自由表面處熔體從溫度較高的外壁流向溫度較低的內(nèi)壁。在表面張力和重力的共同作用下，對流呈現(xiàn)出一個大的渦旋。外加B0=0.3T的橫向磁場時，由于磁場的抑制作用，在截面的右上方有一個較小的渦旋。當(dāng)磁場強度進一步增加到B0=0.5T時，上表面的速度很小。液池內(nèi)部有多個形狀無規(guī)則的渦旋，且分布具有任意性。由此可以發(fā)現(xiàn)，外加橫向磁場時，內(nèi)壁附近速度明顯減小。因為橫向磁場作用下液池壁面附近洛侖茲力大，且與流動方向相反，由于洛侖茲力極大地減弱了液池內(nèi)壁附近的流動，所以對流的速度減小。
橫向磁場對平行于磁力線的流動速度分量具有間接作用，直接作用于垂直于磁力線的流動速度分量。圖7是[θ=π/2]截面速度矢量分布。
（a） t=t0 （b） t=t0+[τ1/4]
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Keywords： annular fluid pool；transverse magnetic field；thermocapillary-buoyancy convection；numerical simulation
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李友榮等[1]在環(huán)形淺液池內(nèi)采用漸近線方法獲得浮力-熱毛細對流的近似解析解，得到了主流區(qū)速度場和溫度場的表達式。石萬元等[2]進行非穩(wěn)態(tài)三維數(shù)值模擬浮力對水平溫度梯度作用下環(huán)形液池內(nèi)的熱毛細對流，發(fā)現(xiàn)在深液池內(nèi)，當(dāng)溫差超過臨界值時，在常重力條件下，軸對稱穩(wěn)態(tài)流動將轉(zhuǎn)化為三維穩(wěn)定流動。周小明等[3]研究了大尺度環(huán)形液池中雙層流體系統(tǒng)在內(nèi)外壁面溫差加熱下的熱毛細對流不穩(wěn)定性，對大小熱毛細對流的振蕩產(chǎn)生于內(nèi)壁面附近，并沿著溫度梯度相反的方向傳播。Chen等[4]利用三維直接數(shù)值模擬環(huán)形池中毛細管比對熱溶質(zhì)毛細管-浮力對流。Kimura[5]等研究了橫向磁場對直徑為20mm的摻雜硅單晶浮區(qū)法生長過程的影響。宇慧平等[6，7]利用兩維數(shù)值模擬了垂直磁場和勾形磁場作用下大直徑晶體的生長情況，結(jié)果表明，垂直磁場能抑制熔體中的徑向?qū)α?，?dāng)磁場強度過高時，湍流程度也增加；隨著勾形磁場強度增加，熔體內(nèi)的紊流得到了有效抑制。Kalae[8]利用三維數(shù)值研究了直徑為400mm的單晶硅生長過程中施加水平磁場和勾形磁場的抑制效果，外加磁場可以有效地控制熔體湍流，減小熔體的熱量波動。年夫雪等[9]利用三維數(shù)值模擬了水平磁場下45.72cm（18in）直拉硅單晶生長工藝，分析了不同強度水平磁場作用下熔體和晶體中的溫度場分布、熔體中流場的變化及其對晶體生長固液界面形狀的影響及其變化規(guī)律。Huang[10]等研究了橫向磁場和勾形磁場對熱毛細對流及自由液面變形的影響。上述研究表明，在晶體生長過程中，外加磁場可以有效控制熔體對流。本文利用三維數(shù)值模擬了橫向磁場作用下環(huán)形液池?zé)崦?浮力對流。
2 物理數(shù)學(xué)模型
重力環(huán)境下g=9.8m/s2，本文所采用的直拉單晶生長模型如圖1所示。液池外壁半徑為rc=0.04m，內(nèi)壁半徑為ri=0.02m，高h=0.02m。上下表面為絕熱狀態(tài)。
[Z][ri][rc][h]
圖1 物理模型
物理模型的簡化如下：①流體為不可壓縮的牛頓型粘性流體；②流體密度變化滿足Boussinesq近似，流體表面張力是溫度的線性函數(shù)，其他物性保持不變；③自由表面為平面且不發(fā)生變形；④上表面和底面絕熱且所有壁面都為電絕緣壁面。
基于上述假設(shè)，環(huán)形液池內(nèi)硅熔體的流動控制方程可表示為：
[1r×?ru?r+?v?z+1r×?w?θ=0] （1）
[?u?x+u?u?r+v?ur?θ+v?ur?z-w2r=-1ρ×?p?r+v1r×??rr?u?r+1r2×?2u?θ-2r2×?w?θ-ur2+1ρJθBz-JzBθ]（2）
[?v?t+u?v?r+w?v?r?θ+v?ur?z=-1ρ×?p?z+v1r×??rr?u?r+1r2×?2u?θ2+?2v?z2+gβT-Tref+1ρJrBθ-JθBr] （3）
[?w?t+u?w?r+v?wr?θ+v?w?z-uvr=-1ρ×?pr?θ+v1r×??rr?u?r+1r2×?2w?θ2+?2w?z2+2r2×?w?θ-wr2+1ρJzBr-JrBz] （4）
[?T?T+u?T?r+wr×?T?θ+v?T?z=-kρCp1r×??rr?T?r+1r2×?2T?θ+?2T?z2] （5）
其中，u、v、w分別表示r、z和[θ]方向的速度，[ρ]為密度，p為壓力，T為溫度，Tref為Boussinesq假設(shè)中的參考溫度，Cp為比熱容，[μ]為流體動力黏度，v為運動黏度系數(shù)，k為流體的導(dǎo)熱系數(shù)，J為誘導(dǎo)電流，B為磁場強度。
電磁感應(yīng)方程可以通過Maxwell方程和Ohm定律推導(dǎo)出來：
[?b?t+V×?b=1μmσm?2b+B0+b×?V] （6）
其中，V表示速度矢量，B為磁場強度，等于外加磁場[B0]和誘導(dǎo)磁場b之和，[σm]為電導(dǎo)率，[μm]為磁導(dǎo)率。誘導(dǎo)電流通過式（7）獲得：
[J=1μm?×b] （7）
洛倫茲力表示為：[F=J×B]。
硅熔體物性參數(shù)見表1。
表1 硅熔體物性參數(shù)
[參數(shù) 符號 數(shù)值 密度（kg·m-3） [ρ] 2.53×103 動力黏度（kg·m-1·s-1） [μ] 7×10-4 導(dǎo)熱系數(shù)（W·m-1·K-1） k 64 熱容量（J·kg-1·K-1） CP 1×103 電導(dǎo)率（Ω-1·m-1） [σm] 1×106 磁場強度/T B0 0，0.3，0.5 磁導(dǎo)率 [μm] 1.257×10-6 ]
3 計算方法
采用非均勻結(jié)構(gòu)化交錯網(wǎng)格的有限體積法對控制方程進行離散，對動量方程、能量方程中的對流項采用二階迎風(fēng)格格式離散，對流項采用二階迎風(fēng)格離散，擴散項都采用二階中心差分離散，時間項采用二階隱式推進法，壓力速度耦合采用SIMPLE算法。本文計算區(qū)域劃分為25.6萬個網(wǎng)格，計算中采用時間步長為5×10-3s。迭代求解過程中，當(dāng)速度、溫度、壓力等變量相對變化率小于10-5時認為計算已收斂。
4 結(jié)果與分析
4.1 溫度分布
圖2是上表面溫度等值線分布。
（c） [ΔT]=5K，B0=0.5T （d） [ΔT]=10K，B0=0T
（e） [ΔT]=10K，B0=0.3T （f） [ΔT]=10K，B0=0.5T
圖6 [θ=π]截面速度矢量分布
內(nèi)外壁面存在溫度差，在熔體自由表面上產(chǎn)生表面張力梯度，驅(qū)動自由表面處熔體從溫度較高的外壁流向溫度較低的內(nèi)壁。在表面張力和重力的共同作用下，對流呈現(xiàn)出一個大的渦旋。外加B0=0.3T的橫向磁場時，由于磁場的抑制作用，在截面的右上方有一個較小的渦旋。當(dāng)磁場強度進一步增加到B0=0.5T時，上表面的速度很小。液池內(nèi)部有多個形狀無規(guī)則的渦旋，且分布具有任意性。由此可以發(fā)現(xiàn)，外加橫向磁場時，內(nèi)壁附近速度明顯減小。因為橫向磁場作用下液池壁面附近洛侖茲力大，且與流動方向相反，由于洛侖茲力極大地減弱了液池內(nèi)壁附近的流動，所以對流的速度減小。
橫向磁場對平行于磁力線的流動速度分量具有間接作用，直接作用于垂直于磁力線的流動速度分量。圖7是[θ=π/2]截面速度矢量分布。
（a） t=t0 （b） t=t0+[τ1/4]
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