吳國(guó)麗

摘 要：高校線性代數(shù)教學(xué)一般采用的是教師講解、學(xué)生聽(tīng)講的模式，這種重理論、輕實(shí)踐的教育模式，難以順應(yīng)新課改需求。想要實(shí)現(xiàn)線性代數(shù)教學(xué)質(zhì)量的提升，需要強(qiáng)化案例式教學(xué)的應(yīng)用。在案例分析的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力、分析問(wèn)題能力、解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)與提升。文章首先分析了案例教學(xué)法在線性代數(shù)教學(xué)中的作用，同時(shí)闡述了線性代數(shù)教學(xué)中案例教學(xué)模式的應(yīng)用，最后總結(jié)了全文，旨在為提升線性代數(shù)教學(xué)質(zhì)量提供參考性意見(jiàn)。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；案例式教學(xué)；教學(xué)應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2018）20-0102-03

Abstract： The teaching of linear algebra in colleges and universities generally adopts the mode of teacher explanation and student listening. This kind of theory and light practice education mode is difficult to comply with the new curriculum reform needs. In order to improve the teaching quality of linear algebra， it is necessary to strengthen the application of case teaching. On the basis of case analysis， students will be able to develop and improve their ability to discover problems， analyze problems， and solve problems. The article first analyzes the role of case teaching method in linear algebra teaching， and expounds the application of case teaching mode in linear algebra teaching. Finally， it summarizes the full text and aims to provide reference for improving the quality of linear algebra teaching.

Keywords： linear algebra； case teaching method； teaching application

學(xué)生在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中，存在著難以掌握知識(shí)點(diǎn)的特點(diǎn)，不管是教師還是學(xué)生均需要明確線性代數(shù)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)知識(shí)，采取有效措施，促使抽象的知識(shí)形象化。在大學(xué)數(shù)學(xué)公共課程教學(xué)中，教師需要實(shí)現(xiàn)教學(xué)方式的創(chuàng)新，比如：案例教學(xué)法、翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)法等，綜合考慮學(xué)生的個(gè)性化差異，因材施教，本文主要探討的是案例教學(xué)法在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用。

一、案例教學(xué)法在線性代數(shù)教學(xué)中的作用

將案例教學(xué)方式應(yīng)用在線性代數(shù)教學(xué)中，主要體現(xiàn)為引入概念、聯(lián)系實(shí)際、展示應(yīng)用、提升興趣等，為降低學(xué)生與課程知識(shí)之間的距離，需要強(qiáng)化學(xué)生問(wèn)題分析能力的提升，強(qiáng)化教材內(nèi)容與實(shí)際問(wèn)題之間的聯(lián)系，促使學(xué)生認(rèn)知到線性代數(shù)課程的重要性，以謹(jǐn)慎的態(tài)度去學(xué)習(xí)線性代數(shù)知識(shí)，不斷完善自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。結(jié)合相關(guān)資料，案例教學(xué)法在線性代數(shù)教學(xué)中的作用主要如下：

（一）激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

通過(guò)引入適當(dāng)?shù)陌咐?，合理?yīng)用語(yǔ)言可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，大部分的案例引入均可達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的最終目的。案例引入一般只會(huì)占據(jù)幾分鐘的課堂時(shí)間，學(xué)生通過(guò)順利應(yīng)用某一概念，在課堂學(xué)習(xí)中能夠始終貫穿案例。將課程知識(shí)點(diǎn)與案例相互融合，全面激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣。在實(shí)際課程教學(xué)中，教師通過(guò)恰到好處的應(yīng)用案例，能夠促使學(xué)生感受到課程的重要性與應(yīng)用性，進(jìn)而全身心的投入到學(xué)習(xí)中。

（二）簡(jiǎn)化教材知識(shí)難度

由于線性代數(shù)案例與實(shí)際應(yīng)用背景之間有著密切的聯(lián)系，因此，需要遵循以學(xué)生專業(yè)知識(shí)為基礎(chǔ)的原則。由于大學(xué)低年級(jí)學(xué)生對(duì)線性代數(shù)知識(shí)儲(chǔ)備較少，均屬初次接觸線性代數(shù)知識(shí)，教師想要借助課堂上的幾十分鐘讓學(xué)生全部掌握知識(shí)點(diǎn)難度較大，學(xué)生也很難全面理解。由于線性代數(shù)課程內(nèi)的知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)固定化，是近代數(shù)學(xué)家們的知識(shí)結(jié)晶。在工程實(shí)際應(yīng)用中，線性代數(shù)知識(shí)也在不斷更新與變化，受到各類因素的影響，教師很難與時(shí)俱進(jìn)，進(jìn)而無(wú)法保障線性代數(shù)教學(xué)的有效性。在線性代數(shù)教學(xué)中，通過(guò)應(yīng)用案例教學(xué)方式，以故事的形式引入案例，促使學(xué)生明確其中的核心內(nèi)容，學(xué)生在腦海中能夠形成清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)，明確就自己而言，哪些屬于重難點(diǎn)知識(shí)，哪些屬于基礎(chǔ)知識(shí)，不斷加深學(xué)生對(duì)線性代數(shù)知識(shí)的印象。

（三）促使抽象知識(shí)形象化

線性代數(shù)學(xué)時(shí)相對(duì)較短，從學(xué)生的實(shí)際反饋而言，屬于一門(mén)難懂、難學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。線性代數(shù)課程對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了較大的學(xué)習(xí)難度，線性代數(shù)知識(shí)的特點(diǎn)為系統(tǒng)性，前后知識(shí)之間有著非常緊密的聯(lián)系，知識(shí)的概念性也相對(duì)較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的邏輯能力、抽象能力有很高的要求。在線性代數(shù)課程中，向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)屬于抽象性的內(nèi)容，學(xué)生認(rèn)為此部分內(nèi)容與實(shí)際生活之間的聯(lián)系性不強(qiáng)，完全屬于一種數(shù)字游戲。在教學(xué)中利用應(yīng)用案例教學(xué)方式，可促使抽象的知識(shí)形象化，不斷簡(jiǎn)化線性代數(shù)內(nèi)容的難度。在線性代數(shù)教學(xué)中應(yīng)用案例教學(xué)方式，能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解與掌握，逐步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析和解決能力。

二、線性代數(shù)教學(xué)中案例教學(xué)模式的應(yīng)用

線性代數(shù)教學(xué)中應(yīng)用案例教學(xué)方式，可重現(xiàn)一些生活場(chǎng)景，促使學(xué)生將自己納入到案例場(chǎng)景內(nèi)，通過(guò)應(yīng)用探討、研討的方式，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展線性代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)。線性代數(shù)教學(xué)中案例教學(xué)模式的應(yīng)用主要如下：

（一）矩陣計(jì)算的應(yīng)用

矩陣計(jì)算在線性代數(shù)教學(xué)中占比較大，由于此部分知識(shí)比較繁瑣，想要實(shí)現(xiàn)解題速度與解題效率的提升，需要合理應(yīng)用案例教學(xué)模式，構(gòu)建形象的知識(shí)結(jié)構(gòu)，精準(zhǔn)開(kāi)展解題工作。

例如：基于加密傳輸基本原理的基礎(chǔ)上，每個(gè)字母需要對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)字，在信息傳輸中，傳輸信息為“it is a secret”，傳輸者需要在信息的基礎(chǔ)上，用矩陣表達(dá)對(duì)應(yīng)的數(shù)字信息。一般按照4×4的矩陣排列方式，A= 9 20 0 919 0 1 019 5 3 18 5 20 0 0，其中數(shù)據(jù)并不是加密信息，在實(shí)際應(yīng)用并不可行。教師在此階段可加入一些關(guān)于密鑰的知識(shí)與破譯方式，引入一些實(shí)際的案例，促使學(xué)生將抽象的知識(shí)形象化。由于加密方式相對(duì)較多，教師可從簡(jiǎn)單的入手，逐步深化教學(xué)難度。首先，需要取一個(gè)4×4可逆的矩陣，X=1 2 3 44 1 2 33 4 1 22 3 4 1，假設(shè)B=XA，B=124 108 132 156115 150 105 8011 7 7 1563 72 45 90。在發(fā)送了加密信息B后，接受者需要在A=X-1B的基礎(chǔ)上開(kāi)展解密工作。

由于此部分涉及的是一些較為簡(jiǎn)單的加密傳輸，在實(shí)際應(yīng)用中，信息加密方式較為復(fù)雜。通過(guò)應(yīng)用案例教學(xué)方式，可將抽象的知識(shí)形象化，引導(dǎo)學(xué)生更好的開(kāi)展矩陣計(jì)算，掌握線性代數(shù)知識(shí)，不斷提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，完善自身的線性代數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

教師在案例引入過(guò)程中，可要求學(xué)生以小組為單位，自行模擬一個(gè)加密信息，并將具體的解題流程展示出來(lái)。只有學(xué)生親身投入到實(shí)踐案例中，才可加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)知，明白自身學(xué)習(xí)中的不足之處，以此采取針對(duì)性的解決措施，不斷完善自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)，掌握更多的線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)，為自身后期的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

（二）矩陣對(duì)角化的應(yīng)用

知識(shí)與行動(dòng)均是學(xué)生活動(dòng)的關(guān)鍵點(diǎn)，在線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)中，教師需要合理創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，在線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)主題的基礎(chǔ)上，遵循相應(yīng)的生態(tài)原則。端正態(tài)度，強(qiáng)化教學(xué)引導(dǎo)，合理設(shè)置提問(wèn)情境，滲透感情因素，實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。切實(shí)將案例教學(xué)方式的作用凸顯出來(lái)，提升線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)課堂教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)效率。

在甲、乙兩個(gè)不同的地區(qū)里，甲地每年遷入乙地的人數(shù)為30%，乙地每年遷入甲地的人數(shù)為20%。假設(shè)甲地的人口總數(shù)為60萬(wàn)，乙地人口總數(shù)為40萬(wàn)。若是兩地的總?cè)藬?shù)不變，在5年之后，甲地、乙地的人口數(shù)分別為多少？經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后，兩地的人數(shù)能夠趨于穩(wěn)定狀態(tài)？

就這一問(wèn)題的解答，可適當(dāng)引入一些與題目相類似的經(jīng)典題型解答方，促使學(xué)生在腦海中構(gòu)建清晰的解題思路。教師可以居住地域與學(xué)生家鄉(xiāng)為例，促使學(xué)生能夠在腦海中構(gòu)建形象的地形。接著提出問(wèn)題：（1）甲乙兩地在第一年后的人口數(shù)分別為多少？（2）甲乙兩地在第五年后的人口數(shù)分別為多少？（3）甲乙兩地在第n年后的人口數(shù)分別為多少？通過(guò)將解題流程轉(zhuǎn)化為問(wèn)題的形式，可促使學(xué)生更好的對(duì)號(hào)入座，更好的開(kāi)展解題。

首先，需要計(jì)算出甲乙兩地在第一年后的人口，經(jīng)過(guò)計(jì)算甲乙人口均為50人。接著，將第一年兩地人口總數(shù)列入到矩陣內(nèi)，0.7 0.20.3 0.86040=5050，其中令A(yù)=0.7 0.20.3 0.8， x=6040。其次，則在第5年甲乙兩地人口為A5x。為了將A5計(jì)算出來(lái)，可以將A對(duì)角化。矩陣A的特征值為1， 。與之對(duì)應(yīng)的特征向量為[2，3]T，[1，-1]T，相似變換矩陣P=2 13 -1，因此，A=P1 00 P-1，經(jīng)計(jì)算可得第5年后，甲地的人口為40.625萬(wàn)人，乙地的人口為59.375萬(wàn)人。最后，計(jì)算第n年后的人口，在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，甲乙兩地的人口會(huì)逐漸趨于穩(wěn)定，其中甲地人數(shù)為60萬(wàn)人，乙地人數(shù)為40萬(wàn)。

（三）線性組合的應(yīng)用

案例教學(xué)法在線性組合教學(xué)中的應(yīng)用，能夠簡(jiǎn)化題目難度，促使學(xué)生理清學(xué)習(xí)思路，更好地開(kāi)展解題，掌握相應(yīng)的知識(shí)。在教學(xué)過(guò)程中，教師也可強(qiáng)化案例教學(xué)法與其他教學(xué)法之間的聯(lián)合應(yīng)用，為學(xué)生創(chuàng)建真實(shí)、有效的教學(xué)情境，以此確保線性代數(shù)教學(xué)工作的有序開(kāi)展。

例如：在某圖書(shū)館內(nèi)，假設(shè)閱讀的人數(shù)為n+1，閱讀書(shū)籍的類型為n。其中每人需要閱讀其中一種類型的書(shū)籍，從n+1個(gè)人中找出兩組人，閱讀的書(shū)籍種類完全相同。在這類題的解答中，首先可以建立n維列向量ai=[ai1 ai2 … ain]T，其中i=1，2，…，n+1。在第i個(gè)人閱讀記錄中，若是看到了第 j種書(shū)籍，則ai1=1，若還未看第j種書(shū)，則ai1=0，其中的向量ai屬于非零向量。

針對(duì)這類情況，教師可先借助多媒體展現(xiàn)出相應(yīng)的畫(huà)面，接著引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)分析。為確保學(xué)生能夠形成更加形象的畫(huà)面，教師可開(kāi)展情境演練，拿來(lái)相應(yīng)的書(shū)籍，開(kāi)展分析。接著引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展解題，分析可能出現(xiàn)的情形，確定出最終的解題思路，進(jìn)而能夠迅速的解題。為確保案例引入的真實(shí)性與合理性，教師可強(qiáng)化多媒體技術(shù)的應(yīng)用，引入VR、電子畫(huà)板等現(xiàn)代化教學(xué)手段，為學(xué)生構(gòu)建真實(shí)的案例情境，以此確保學(xué)生線性代數(shù)學(xué)習(xí)的有序開(kāi)展。

案例教學(xué)的應(yīng)用相對(duì)較多，比如：構(gòu)造幻方，幻方的形狀與矩陣的形狀一致，也是典型的應(yīng)用案例。各類有趣的案例，能夠促使學(xué)生認(rèn)識(shí)到線性代數(shù)知識(shí)的重要性，了解線性代數(shù)知識(shí)的應(yīng)用性，體會(huì)到線性代數(shù)知識(shí)的樂(lè)趣，切實(shí)利用線性代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，擺脫乏味的數(shù)學(xué)氛圍。在線性代數(shù)教學(xué)中，為確保教學(xué)效率，教師可適當(dāng)引入案例教學(xué)方式，促使學(xué)生舉一反三，更好的開(kāi)展線性代數(shù)相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，采取有效措施，開(kāi)拓學(xué)生的視野、擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)面，實(shí)現(xiàn)學(xué)生線性代數(shù)知識(shí)的應(yīng)用能力，切實(shí)解決線性代數(shù)教學(xué)中的難點(diǎn)與重點(diǎn)知識(shí)。

三、案例教學(xué)法應(yīng)用反思

在案例式教學(xué)的應(yīng)用中，針對(duì)大量相似案例，若無(wú)法實(shí)現(xiàn)案例創(chuàng)新，教師也不必沮喪，可強(qiáng)化各類案例的應(yīng)用，以此達(dá)到理想的教學(xué)效果。針對(duì)學(xué)生初期接觸線性代數(shù)知識(shí)，學(xué)生并沒(méi)有足夠的時(shí)間去了解課外案例、查閱相應(yīng)的書(shū)籍，因此就初次接觸線性代數(shù)的學(xué)生而言，即便是幾年前的陳舊案例，也會(huì)引起較大的興趣。

由于舊有的線性代數(shù)教學(xué)方式已經(jīng)根深蒂固，教師在案例教學(xué)方式的應(yīng)用中還存在著很大的差異性，有些案例教學(xué)方式的應(yīng)用效果并不顯著。院校在強(qiáng)調(diào)“自主學(xué)習(xí)、培養(yǎng)創(chuàng)新、注重發(fā)散”教學(xué)理念的同時(shí)，還需要設(shè)置一些具有思考意義的題目。在案例教學(xué)法應(yīng)用中，按照三七比例，其中案例分析占7分，剩下的3分讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，促使學(xué)生自由發(fā)揮，這類教學(xué)設(shè)置可實(shí)現(xiàn)線性代數(shù)教學(xué)質(zhì)量的提升，確保線性代數(shù)教學(xué)的有效性。

在教學(xué)理念設(shè)計(jì)中，不僅要求備課精細(xì)、新穎，還需要在案例中融入一些與時(shí)俱進(jìn)的信息，為學(xué)生構(gòu)建良好的知識(shí)獲取渠道。在備課與講課過(guò)程中，需要結(jié)合學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備情況，在學(xué)科專業(yè)性的特點(diǎn)上，綜合考慮學(xué)生習(xí)慣、心理上的差異性，確保每個(gè)案例講解的科學(xué)性與合理性，最大化課堂教學(xué)效果。

在線性代數(shù)知識(shí)教學(xué)中，教師需要強(qiáng)化學(xué)生的實(shí)踐訓(xùn)練，在線性代數(shù)知識(shí)課程教學(xué)中，通過(guò)構(gòu)建實(shí)踐教學(xué)情境，可實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)線性代數(shù)知識(shí)的理解。就學(xué)生而言，在線性代數(shù)知識(shí)理解上難度較大，如何將出現(xiàn)的線性代數(shù)知識(shí)形象化成為首要解決問(wèn)題。教師需要強(qiáng)化實(shí)踐訓(xùn)練，拉近課堂教學(xué)、文本與生活之間的聯(lián)系，開(kāi)發(fā)校本資源。教師在教學(xué)過(guò)程中，還需要強(qiáng)化本土資源、學(xué)校內(nèi)部資源的應(yīng)用，整合各類教學(xué)資源，使得線性代數(shù)知識(shí)教學(xué)中，教師與學(xué)生之間可產(chǎn)生心靈共鳴，不斷增加實(shí)踐課程比重，確保線性代數(shù)知識(shí)教學(xué)的有效性。強(qiáng)化校內(nèi)資源的應(yīng)用，提升案例教學(xué)質(zhì)量，凸顯出案例教學(xué)方式在線性代數(shù)知識(shí)教學(xué)中的作用。

需要注意的是，在案例教學(xué)方式的應(yīng)用中，要確保案例的精簡(jiǎn)，強(qiáng)化案例與教材內(nèi)容的契合。一般情況下，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)引入一個(gè)案例即可，只有精簡(jiǎn)的案例學(xué)生才可明白其中的核心內(nèi)容，促使學(xué)生明白線性代數(shù)中的某一概念。

四、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，針對(duì)線性代數(shù)教學(xué)，需要從實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題入手，促使抽象的知識(shí)形象化，學(xué)生只有深入了解與掌握線性代數(shù)知識(shí)，才能夠?qū)崿F(xiàn)自身學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)，強(qiáng)化線性代數(shù)知識(shí)的認(rèn)知。在學(xué)生個(gè)性化差異的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)與提升學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、應(yīng)用能力，通過(guò)將實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題引入到線性代數(shù)教學(xué)中，強(qiáng)化案例教學(xué)方式的應(yīng)用，以此確保線性代數(shù)教學(xué)效果的良好性。

參考文獻(xiàn)：

[1]鮑海峰.案例在高職線性代數(shù)教學(xué)模式中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（15）：28.

[2]肖艷.成果導(dǎo)向教育理念下線性代數(shù)課程教學(xué)研究[J].科教導(dǎo)刊（下旬），2017（07）：93-95.

[3]Liu Chunlin， Li Baodi. Experience and thinking of Linear Algebra and case Teaching [J].Journal of Hunan Institute of Technology（Natural Science），29（02）：84-88.

[4]姜文彪，阮萬(wàn)清.案例教學(xué)在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].高師理科學(xué)刊，2015，35（10）：5.

[5]徐亞鵬，邊平勇，張相虎.線性代數(shù)案例教學(xué)研究淺析[J].中華少年，2015（22）：124-125.

[6]常春.大學(xué)數(shù)學(xué)案例教學(xué)研究與應(yīng)用分析[N].山西青年報(bào)，2014-10-12（008）.

[7]朱婧. 線性代數(shù)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的探索[A].Information Engineering Research Institute， USA.Proceedings of 2014 4th International Conference on Applied Social Science（ICASS 2014 V54）[C].Information Engineering Research Institute，USA，2014：4.

[8]周金明，項(xiàng)立群，梅春暉.線性代數(shù)中的應(yīng)用案例教學(xué)[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，18（02）：112-114.

[9]楊玲香，馬金鳳，姚斌.線性代數(shù)課程引入案例教學(xué)的探討[J].石河子大學(xué)學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版），2011，25（S1）：128-129.

[10]Ma Jinfeng， Yang Lingxiang， Yao Bin， Liu Hua. The Application of case Teaching method in the Teaching of Public Mathematics in Universities [J].College Mathematics，26（S1）：78-80.