陳鵬 李星野

摘要：本文針對(duì)黃金價(jià)格的長(zhǎng)記憶性進(jìn)行實(shí)證研究，利用Hurst指數(shù)來(lái)證實(shí)黃金價(jià)格中確實(shí)存在顯著的長(zhǎng)記憶性。以此對(duì)黃金價(jià)格的收益率進(jìn)行分?jǐn)?shù)差分后，再建立ARFIMA-GARCH模型族，從而反映了黃金收益率序列的波動(dòng)聚集性。通過(guò)對(duì)不同模型的誤差絕對(duì)值對(duì)比，選取出最能體現(xiàn)黃金價(jià)格序列動(dòng)態(tài)特征的模型。實(shí)證結(jié)果表明，該類模型能夠很好的反映黃金價(jià)格的波動(dòng)規(guī)律，能夠給投資者提供決策意見(jiàn)。

關(guān)鍵詞：長(zhǎng)記憶性；Hurst指數(shù)；ARFIMA-GARCH模型族

引言

黃金越來(lái)越成為世界矚目的財(cái)富，它是一種良好的保值產(chǎn)品，所以全球各國(guó)的政府機(jī)構(gòu)都會(huì)爭(zhēng)相儲(chǔ)備黃金用來(lái)應(yīng)對(duì)國(guó)家衰落或者經(jīng)濟(jì)危機(jī)時(shí)拋售，以此來(lái)維持國(guó)家穩(wěn)定。因此，對(duì)于黃金價(jià)格的預(yù)測(cè)分析就有了很重要的實(shí)際意義。

Hurst[1]在對(duì)尼羅河水庫(kù)水流量和貯存能力關(guān)系進(jìn)行研究時(shí)，發(fā)現(xiàn)水利時(shí)間序列具有長(zhǎng)記憶性特點(diǎn)。Mandelbrot[2]在之后的資本市場(chǎng)研究所提出的了分形布朗運(yùn)動(dòng)為金融市場(chǎng)的研究奠定了長(zhǎng)記憶性的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。Peters E[3]首次提出了分形市場(chǎng)假說(shuō)，并提出了R/S分析法。隨后Hosking[4]提出的ARFIMA模型、Engel[5] 提出的ARCH模型和Bollerslev[6]提出的GARCH模型讓我們?cè)谑袌?chǎng)研究中更能有效的捕捉到市場(chǎng)的長(zhǎng)記憶性和異方差性。在對(duì)黃金時(shí)間序列預(yù)測(cè)的方向中，國(guó)內(nèi)更多人選擇了用統(tǒng)計(jì)分析方法來(lái)研究?jī)r(jià)格波動(dòng)的內(nèi)在機(jī)制（如羅禎[7]、樓曉東[8]、潘貴豪[9]等），通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)ARFIMA建立的模型比ARIMA建立的模型在預(yù)測(cè)黃金價(jià)格走勢(shì)方面效果更佳。

本文嘗試引入基于分形分析的長(zhǎng)記憶性研究，分別黃金價(jià)格時(shí)間序列建立ARFIMA-GARCH模型族，實(shí)證結(jié)果證明其確實(shí)具有長(zhǎng)記憶性和異方差性，預(yù)測(cè)誤差非常小，預(yù)測(cè)價(jià)格波動(dòng)趨勢(shì)基本一致。

1、模型介紹

1.1 長(zhǎng)記憶性檢驗(yàn)

關(guān)于長(zhǎng)期記憶性的檢驗(yàn)，一些學(xué)者采用重標(biāo)極差統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析（即R/S分析法），該分析方法主要利用時(shí)序的全距與標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系建立統(tǒng)計(jì)量，通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)的思想得到結(jié)果。對(duì)于時(shí)間序列{Xt}，t=1，2，…，T，取n個(gè)序列觀測(cè)值，則R/S統(tǒng)計(jì)量為：

1.2 ARFIMA模型

通過(guò)對(duì)d值的確定之后，開(kāi)始建立以d=H-0.5階差分（d為分?jǐn)?shù)）建立的ARMA模型即為ARFIMA模型：

Φ（B）表示p階平穩(wěn)的自回歸滯后算子，θ（B）表示q階可逆的移動(dòng)平均滯后算子。該模型考慮了過(guò)程的長(zhǎng)記憶性和短記憶性，其中p+q個(gè)參數(shù)描述過(guò)程的短記憶性，用參數(shù)d描述過(guò)程的長(zhǎng)記憶性，因此ARFIMA模型優(yōu)于普通的ARMA模型族，又優(yōu)于單獨(dú)考慮長(zhǎng)記憶性的分形差分模型。

1.3 GARCH模型族

1.3.1 GARCH模型公式

其中Ωt-1表示截止t-1時(shí)刻所有已知信息的集合，的大小反映了序列波動(dòng)持續(xù)性的強(qiáng)弱。GARCH模型中只考慮了ut=ut|Ωt-1波動(dòng)的大小而沒(méi)有考慮波動(dòng)的方向，實(shí)際情況中壞消息的沖擊會(huì)大于好消息的影響。

盡管GARCH模型能夠很好的解釋金融資產(chǎn)收益率序列的波動(dòng)聚集性特征，但是它不能解釋金融時(shí)間序列進(jìn)場(chǎng)存在“杠桿效應(yīng)”，即資產(chǎn)價(jià)格的下跌（壞消息）比同樣程度的價(jià)格上漲（好消息）產(chǎn)生的波動(dòng)更大。因此，本文建立ARFIMA-TGARCH與ARFIMA-EGARCH來(lái)解釋這種不對(duì)稱性。

1.3.2 TGARCH（1，1）模型公式

可以看出，好消息的沖擊影響為α1u2t-1，壞消息的沖擊影響為（α1+γ）u2t-1。若γ=0，則表示不存在非對(duì)稱效應(yīng)；若γ>0，則表示存在非對(duì)稱效應(yīng)。

1.3.3 EGARCH（1，1）模型公式

由于該公式是對(duì)In（σ2τ）建模，則不需要認(rèn)為假定模型參數(shù)非負(fù)數(shù)約束限制。同時(shí)，若γ=0，則表示不存在非對(duì)稱效應(yīng)；若γ<0，則表示存在非對(duì)稱效應(yīng)。

2、實(shí)證研究

2.1 數(shù)據(jù)選取

本次研究使用上海黃金交易所AU9995 2004/09/01到2017/04/25的價(jià)格日線，共3038個(gè)樣本數(shù)據(jù)。在此基礎(chǔ)上，將數(shù)據(jù)分為兩部分：2004/09/01到2017/02/28為第一部分，記為{Xt}，用于構(gòu)造模型，確定參數(shù)；2017/03/01到2017/04/25為第二部分，用于對(duì)基于第一部分?jǐn)?shù)據(jù)所構(gòu)造的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)檢驗(yàn)。這樣就給數(shù)據(jù)劃分為3000+38兩部分。

2.2 長(zhǎng)記憶性檢驗(yàn)

首先對(duì)本次黃金價(jià)格序列{Xt}進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，結(jié)果顯示為非平穩(wěn)，則對(duì)其對(duì)數(shù)一階差分序列，再進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，結(jié)果如下圖：

可以看出對(duì)數(shù)差分后的序列為平穩(wěn)的。對(duì)此序列進(jìn)行R/S分析法進(jìn)行分析，得到結(jié)果如下圖：

其中曲線為logn-logRS，隨著n增大向右上方延伸；直線為logRS=c+H*logn，（斜率即Hurst指數(shù)）。從圖中來(lái)看，曲線約在logn≈5.0的時(shí)候出現(xiàn)了拐點(diǎn)，說(shuō)明周期大約為exp（5.0）=148日。

而從logn-V圖來(lái)看，該圖呈上升趨勢(shì)，說(shuō)明有明顯的長(zhǎng)記憶性，當(dāng)logn≈4.9的時(shí)候，圖中曲線逐漸平穩(wěn)，但波動(dòng)增大，表明長(zhǎng)記憶性逐漸消失。

2.3 建立ARFIMA模型

將已得到的Hurst指數(shù)作d=H-0.5計(jì)算后將對(duì)數(shù)差分序列進(jìn)行d階差分，才可以建立ARFIMA模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。本文基于楊楠[10]設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)差分迭代算法，對(duì)本次序列進(jìn)行分?jǐn)?shù)差分。對(duì)分?jǐn)?shù)差分后的數(shù)據(jù)建立ARMA模型，對(duì)序列的相關(guān)圖初步判斷模型階數(shù)后，再進(jìn)一步利用AIC準(zhǔn)則來(lái)確定最合適的模型。AIC值越小，說(shuō)明模型越契合。所以我們選擇ARMA（3，3）來(lái)作為本次實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

2.4 ARCH-LM檢驗(yàn)

在我們使用ARCH模型之前，需要判斷殘差序列是否具有ARCH效應(yīng)。在1982年，Engel已經(jīng)提出了檢驗(yàn)殘差序列是否存在ARCH效應(yīng)的ARCH-LM檢驗(yàn)。檢驗(yàn)的原假設(shè)為：殘差序列直到q階都不存在ARCH效應(yīng)。通過(guò)對(duì)回歸方程的殘差圖進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn)，其表現(xiàn)出明顯的波動(dòng)聚集性。如圖4，在2005年至2006年時(shí)間段，殘差的波動(dòng)很大，然而在2006年至2007年時(shí)間段卻表現(xiàn)出較小的波動(dòng) 。此模型的殘差存在顯著的條件異方差性，可能存在ARCH效應(yīng)。

對(duì)均值方程的殘差進(jìn)行條件異方差的ARCH-LM檢驗(yàn)，滯后階數(shù)p=10，其檢驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。結(jié)果顯示，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量=21.15740，其概率值p非常小，從而表明檢驗(yàn)輔助回歸方程中的所有滯后殘差平方項(xiàng)是聯(lián)合顯著的。Obs*R-squared=198.2568，相應(yīng)的概率值p非常小，因此拒絕原假設(shè)，說(shuō)明殘差序列存在ARCH效應(yīng)。

2.5 ARFIMA-GARCH族模型預(yù)測(cè)

由于ARCH模型結(jié)束較高，因此本次實(shí)驗(yàn)里面我們考慮結(jié)合GARCH（1，1）、TGARCH（1，1）、EGARCH（1，1）模型來(lái)進(jìn)行分析。

均值方程：（1+0.7932L1+0.9834L2-0.7814L3）Xt=-8.98E-05+（1-0.1899L1-0.9771L2+0.2074L3）Et

分別對(duì)均值方程建立GARCH模型，分別得到ARFIMA-GARCH模型、ARFIMA-TGARCH模型、ARFIMA-EGARCH模型。從圖6三種GARCH模型的比較來(lái)看，三種模型的預(yù)測(cè)值幾乎重合，具有相同的波動(dòng)趨勢(shì)。從圖7來(lái)看，基于三種方法相對(duì)誤差絕對(duì)值的比較，發(fā)現(xiàn)ARFIMA-TGARCH模型的相對(duì)誤差絕對(duì)值最接近0，說(shuō)明ARFIMA-TGARCH模型的擬合效果最佳。

通過(guò)對(duì)表2結(jié)果的觀察，利用ARFIMA-TGARCH模型對(duì)2017/03/01到2017/04/25的黃金價(jià)格預(yù)測(cè)所得到的結(jié)果與實(shí)際價(jià)格的誤差非常小，這對(duì)決策者及投資者有很好的借鑒作用。

3、結(jié)語(yǔ)

本次研究中，我們采用了基于分形分析的R/S方法，證實(shí)了上海黃金交易所AU9995價(jià)格收益率序列存在明顯的長(zhǎng)記憶性，隨后結(jié)合ARFIMA、ARFIMA-GARCH模型族定量的對(duì)黃金價(jià)格收益率序列進(jìn)行分析，所得到的預(yù)測(cè)模型ARFIMA-TGARCH模型能夠很好的刻畫黃金價(jià)格內(nèi)在波動(dòng)規(guī)律，并能對(duì)其進(jìn)行良好的預(yù)測(cè)（最高誤差1.501%）。實(shí)驗(yàn)表明，從長(zhǎng)記憶性的角度來(lái)解釋黃金價(jià)格的內(nèi)在特征是可行的，同時(shí)對(duì)于投資者和生產(chǎn)者來(lái)說(shuō)，利用此模型來(lái)預(yù)測(cè)黃金市場(chǎng)行情是非常切實(shí)有效的，對(duì)其決策意見(jiàn)會(huì)有很大的幫助。

參考文獻(xiàn)

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作者單位：上海理工大學(xué)管理學(xué)院