魏立力 李晶晶

摘 要：概率空間是概率論的平臺，文章從概率空間的三個要素分別討論了教學中應該注意的一些問題，樣本空間由基本事件構成；事件域的構造原則是夠用就好；概率是面積的泛化，強調測度屬性。

關鍵詞：概率空間；事件域；概率測度

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）08-0119-03

Abstract： Probability space is the platform of probability theory. For the three elements of probability space， some problems that should be paid attention to in teaching are discussed respectively in this paper. The sample space consists of elementary events； the principle for constructing event field is good enough； probability is the generalization of area， emphasizing the measure property.

Keywords： probability space； event field； probability measure

所謂概率空間指的是三元體（Ω，F(xiàn)，P）。其中Ω表示樣本空間，F(xiàn)表示事件域，P表示概率。（Ω，F(xiàn)，P）在概率論中， 是一個基礎性概念，隨機變量及其概率分布的都是建立在此基礎之上。 概率空間是概率論的舞臺，隨機變量及其概率分布是在該舞臺上的精彩演出。如何搞好概率空間相關內容的教學顯得非常重要，我們結合多年概率論的教學實踐，從其三個要素出發(fā)分別討論教學中應該注意的一些問題，旨在不失學術水準的條件下，探討概率空間的教學形態(tài)。

一、樣本空間——表示試驗的所有可能結果

概率論是一門研究隨機現(xiàn)象的學科，對隨機現(xiàn)象的觀測稱為試驗，試驗的每一個可能的結果稱為（隨機）事件。

定義1[1] 我們把不能或不必再分的事件稱為基本事件，基本事件的全體稱為樣本空間，通常用希臘字母Ω表示。

如果用一個單點集{Ω}表示一個基本事件，則樣本空間就是對應元素組成的集合，其中的元素也稱為樣本點。這樣一來，隨機事件就是樣本空間的子集，這就是樣本空間的集合論定義。

樣本空間是概率論的最基本概念之一，在教學過程中，學生常常能夠較好地理解樣本空間的概念。但在一些具體問題，尤其是古典概率的計算問題中，如何構造相應的樣本空間，會遇到困難，甚至犯一些錯誤。

一些文獻[2-7]從古典概率的求解角度，討論了構建樣本空間的基本技巧，提出了一些教學建議。對同一問題，可以構建不同的樣本空間，導致具體問題求解的難度有所不同。這種差異本質上只是基本事件的粒度不同，在計算古典概率時所運用的計數(shù)模式也不一樣。不難理解，適宜于具體問題的粒度越粗，計算越簡單，但能夠表示的問題也就越少。

比如拋擲一枚骰子考察出現(xiàn)偶數(shù)點，樣本空間可以是 Ω={1，2，3，4，5，6}，也可以是Ω={奇數(shù)，偶數(shù)}，后者對于考察出現(xiàn)偶數(shù)點這個事件比較簡單，但不能表示諸如出現(xiàn)小于4點這樣的事件。

我們認為關于樣本空間的教學應該主要強調它是隨機試驗的所有可能結果的表示，其中的基本事件盡可能要求具有均勻性，粒度宜細不宜粗. 在教學過程中，舉一例說明即可。

例1（抽簽模型）10個球中有3個黑色，7個白色。10人依次各摸一球， 試寫出該試驗的樣本空間。

解一：考慮10個球被摸到的先后順序，則10個球的任意一個全排列對應一個基本事件，共有10！種不同排列，樣本空間共有10！個樣本點。

解二：考慮小球時除了顏色外，不可分辨，則只有兩種元素：一種有7個（白色球），另一種有3個（黑色球），它們共有C種可能的順序（只要分清哪些人摸到白球，哪些人摸到黑球即可），所以基本事件總數(shù)為C。

上述兩個樣本空間都可以作為抽簽模型，區(qū)別在于粒度不同，第一個樣本空間是第二個的細化，第二個是第一個的粗化，后者的一個樣本點相當于前者的7！3！個樣本點。

至于具體問題最優(yōu)樣本空間的選擇實屬技巧性問題，學生很容易忘記，教育價值非常有限，在教學和考查過程中應該淡化。

二、事件域——夠用就好

事件域是概率空間的第二個要素，粗略地講就是樣本空間中某些子集組成的集族，它是定義事件概率的基礎。 然而，在教學實踐中，學生往往認識不到事件域的作用，甚至認為考慮事件域是多此一舉。我們根據(jù)多年的教學經(jīng)驗，對事件域的作用和構造原則做一些分析，旨在對教學和學習都有所幫助。

當樣本空間為不可數(shù)集時，一般不會取其冪集作為事件域。

例6 考慮一個測量誤差的試驗，樣本空間是一個實數(shù)區(qū)間，此時事件域幾乎都取的是Borel域（一個由開集逐步擴展形成的集類[8]）。值得注意的是我們這里沒有把所有子集都看成是事件（存在不是Borel集的實數(shù)集），這有兩個方面的考慮。一是實數(shù)集的冪集太大，在其上不可能定義一個恰當?shù)母怕?；另一是我們只需將有用的子集看成是事件即可，對于研究的隨機試驗，夠用就好。

第三，事件域確定之后，只有出現(xiàn)在事件域中的才是事件，否則就不是。這可能與隨機事件的實際背景有一些沖突，初學者不必太計較這個出入。

如果考慮的事件太多，我們就要對太多的事件求概率（參見后文），問題就很復雜，不易甚至不能處理；若考慮的事件太少，兩個事件的運算結果有可能不再是事件，就不能滿足我們的需要。所以，把哪些子集看成事件，要根據(jù)試驗的目的來決定，夠用就好。

雖然事件域定義抽象，如果教師們能在教學過程中引導學生用以上直觀的想法重新考量其中的三個條件，相信學生會感受到公理化語言的獨特魅力，使學生體會冰冷的形式化語言背后那火熱的思考。

三、概率——面積的泛化

概率空間的第三個要素就是概率。事件A的概率以P（A）表示，它是一次隨機試驗中，事件A發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標。

一個隨機事件發(fā)生可能性的大小是其自身的特性，就好比一支粉筆的長度，一塊桌面的面積。概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，因此我們認為在教學實踐中首先應該強調概率的測度屬性——概率是面積的泛化。概率的測度屬性是其最本質的數(shù)學特征。

如何確定一個給定事件的概率大??？ 答案是采用適當?shù)姆椒ㄈァ皽y量”它。

古典概率就是在古典概型中概率的賦值方法。這個模型要求滿足兩個條件：一是樣本空間是有限集；二是樣本點是勻質的。在這樣一個模型中概率的計算公式就是有利樣本點的個數(shù)除以總的樣本點個數(shù)，這是容易理解的，但需要注意三個問題。

一是樣本空間的粒度與具體問題的關系。正如前文所言，不同的樣本空間的粒度可能會帶來解決問題的難度不同，也就是說模型有優(yōu)劣之分，但我們認為這不應該成為教學的重點。學生經(jīng)常犯的錯誤是分子分母使用的計數(shù)方式不一致，比如分母考慮了順序，而分子沒有考慮，這相當于分子和分母是從不同的樣本空間計數(shù)得到的。

二是樣本點勻質性是個基本假設，在實際應用中，往往由對稱性或某種均衡性來判斷基本事件的等可能性。但有些時候只憑主觀對物理性質或幾何對稱性的判斷是不完全確切的。例如一個平常的擲骰子試驗，出現(xiàn)1點，2點，……，6點的可能性似乎都是一樣的，但仔細分析可知，由于骰子各面所刻點數(shù)不同而導致其重心偏離其幾何中心。這屬于模型與現(xiàn)實的問題，模型總是現(xiàn)實的近似。

三是計數(shù)的繁雜性。計數(shù)的精巧訓練無助于對概率的理解，計數(shù)問題有些是很有難度的，老師們常常也是先看答案，再想推導。我們認為計數(shù)方法的教學不宜太深入，學生能夠掌握幾種基本模式就可以了。

幾何概率是在幾何概型中概率的賦值方法。這個模型和古典概型相同點是要求樣本點的勻質性，不同點是樣本空間是無限集。概率計算公式不能再用“計數(shù)”（測度），而應該用“長度”、“面積”、“體積”等測量值。在具體問題中樣本點的勻質性通常都是近似滿足，與古典概型一樣，這屬于模型與現(xiàn)實的問題。

回到前文關于事件域的論述，我們只要對事件域中的事件賦值一個合適的概率就可以了。也就是說，我們要確定一個定義域是事件域的函數(shù)P：F→[0，1]，在數(shù)學中我們暫且不管如何確定這個集函數(shù)，而是關心它應該滿足什么樣的性質，這正是數(shù)學的公理化思想。

定義3[1] 設F是一個事件域，P（·）為定義在F上的實值集函數(shù)，若它滿足：

則稱P（·）為事件域F上的概率（測度）。其中P（A）就稱為事件A的概率。

概率的公理化定義是概率本質屬性的體現(xiàn)，本身不能計算概率。古典概率、統(tǒng)計概率、幾何概率都是在一定的場合下，給概率賦值的方法，它們都滿足公理化定義，都是概率。可見概率的公理化定義刻畫了概率的數(shù)學本質。事實上，在事件域F上給出一個函數(shù)，且滿足定義3的條件，就被稱為概率；否則，就不能稱為概率。

根據(jù)這一定義，我們就能對概率執(zhí)行各種運算，并得到邏輯演繹下的很多有用的結果，因此我們還是別對這種抽象的定義抱有怨言了，對公理條件給出樸素而直觀的理解才是正道，接受公理化方法是現(xiàn)代數(shù)學的基本方法之一。

學生在學習概率論時，已經(jīng)在先修課程（比如線性代數(shù)中）有了數(shù)學公理化思想的初步訓練，因而在概率空間的教學過程中概率的公理化定義是能夠接受的。最重要的是，在教學過程中引導學生直觀地理解其中的三個條件，尤其是對概率可加性，可以結合后面概率的性質（如單調性和連續(xù)性）進行研究性學習。同時鼓勵學生大膽探索，了解一些在人工智能領域非常有用但不滿足可加性的非概率測度，比如信任測度與似然測度，可能性測度與必然性測度等。旨在使學生感受到抽象的形式化表示，背后蘊涵的想法是直觀的。

有了概率空間這個平臺，隨機變量就可以出場表演了。通俗地講，隨機變量就是一個會隨著試驗結果不同而變化的量。正式地講，隨機變量是定義在樣本空間，取值于實數(shù)（向量）的一個函數(shù)而已，對這個函數(shù)的唯一限制由事件域完成，即要求這個函數(shù)不超過任意一個實數(shù)所對應的樣本點組成一個事件。與微積分研究函數(shù)不同，對于隨機變量，人們更多地關心其取值（值域）情況。具體而言，對隨機變量的描述有兩個角度。一是研究隨機變量的所有可能的取值及其伴隨的概率大小，二是考察隨機變量的一些特征描述，這兩個角度分別對應了隨機變量的分布函數(shù)和數(shù)字特征，概率論的內容大體如此。

四、結束語

學習三元組（Ω，F(xiàn)，P）能夠幫助我們迅速理解概率論中的很多理論，借助概率空間，很多原本似是而非的概念與性質將變得清晰而嚴密。學生在感受形式化語言所特有魅力的同時，受到數(shù)學演繹邏輯思維的訓練。

在教學活動中，如果教師能適時而巧妙地啟發(fā)學生，從樸素的想法出發(fā)，學生對形式化語言所描述的抽象定義是可以理解的。教師應當幫助學生理解冰冷的形式化背后，數(shù)學家是怎么思考問題的，從而獲得數(shù)學思想的熏陶，得到良好的情感體驗。

很多學生大學畢業(yè)進入社會后，感覺大學所學的數(shù)學知識沒有什么用，很快就忘掉了。但是，不論他們將來從事什么職業(yè)，那種具有樸素想法支撐的數(shù)學思想、數(shù)學思維方法、數(shù)學表達方法等，卻會潛移默化地發(fā)揮作用，使他們終生受益。

本文是筆者多年來在概率論教學和研究的結果，主要是從概率空間的學術形態(tài)考慮，針對概率空間的三個要素的教學，得到的一些體會和經(jīng)驗。目的是探討在一定的學術水準上如何能夠精準把握教學內容，實現(xiàn)知識學術形態(tài)向師范形態(tài)的有效轉換，幫助學生克服對形式化描述公理化定義的恐懼心理，讓學生理解形式化背后的樸素想法，有利于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。

參考文獻：

[1]魏立力，馬江洪，顏榮芳.概率統(tǒng)計引論[M].科學出版社，2012.

[2]蘭旺森.概率論教學中與樣本空間有關的幾個問題[J].高師理科學刊，2017，37（11）：50-52.

[3]付守才，朱坤.多角度構建樣本空間[J].長春師范大學學報，2006，25（6）：100-101.

[4]何繼剛.概率論中審視樣本空間的思維策略[J].數(shù)學通訊，2005（17）：6-7.

[5]楊洋，張燕，居艷.概率解題中樣本空間的選擇[J].高等數(shù)學研究，2007，10（1）：96-98.

[6]程學理.古典概型中樣本空間選取教學法探討[J].貴州師范大學學報（自然科學版），1998，16（1）：101-104.

[7]趙崗.古典概型中樣本空間的選取和做題技巧幾例[J].山東教育學院學報，1995（4）：15-16.

[8]嚴士健，劉秀芳.測度與概率（第2版）[M].北京師范大學出版社，2003.