王其申,章禮華,何海敏
(安慶師范大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院,安徽安慶246133)
格林函數(shù)和格林函數(shù)法是數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)中的一個重要內(nèi)容,它們不僅在物理學(xué),而且在工程科學(xué)中都有著廣泛應(yīng)用[1-5]。因此,在數(shù)學(xué)上如何構(gòu)造所需格林函數(shù),就是一個必須解決的問題。針對不同的定解問題,有多種構(gòu)造格林函數(shù)的方法,其中之一,就是本文將要討論的特解組合法。歷史上,文獻中出現(xiàn)了使用特解組合法構(gòu)造工程構(gòu)件變截面的桿和固定-自由梁的格林函數(shù)的記載[6]。然而,對于同為工程上的重要構(gòu)件之一的兩端鉸支梁,能否使用特解組合法構(gòu)造出它的格林函數(shù),一直沒有見諸文獻。筆者多次試圖完成這項工作,幾次無疾而終。在認(rèn)真總結(jié)以往失敗的原因之后,本文采用特解組合法,成功構(gòu)造了變截面的兩端鉸支梁的格林函數(shù)。這一結(jié)果表明,在各種構(gòu)造格林函數(shù)的方法中,特解組合法是一種比較簡單而又普遍行之有效的方法。
特解組合法是一種構(gòu)造格林函數(shù)的方法,現(xiàn)以構(gòu)造兩端彈性支承桿的格林函數(shù)為例加以說明。
兩端彈性支承桿的平衡方程及其邊界條件是
式中,p(x)=EA(x),E為材料的楊氏模量,A(x)為桿件的橫截面積,p(x)>0是[0,l]上的連續(xù)或分段連續(xù)函數(shù),它和f(x)都是已知函數(shù),而u(x)是待求區(qū)間[0,l]上的位移函數(shù),h和H是桿件與左右兩端基礎(chǔ)相連的線彈簧常數(shù),它們均為非負(fù)常數(shù),此處滿足h+H>0。相應(yīng)的格林函數(shù)G(x,s)的定義則是
式中撇號表示相應(yīng)函數(shù)對變量x求微商(以下均如此表示)。δ(x-s)表示位于x=s處的單位點源密度的δ函數(shù)。以上兩式的數(shù)學(xué)含義是:
(1)除x=s外,Green函數(shù)滿足齊次方程:[p(x)G′(x,s)]′=0,
(2)在x=s處,Green函數(shù)的微商滿足:
(3)在端點處,Green函數(shù)必須滿足兩端彈性支承桿原有的邊條件(2)。
為了構(gòu)造滿足方程(3)和(4)的格林函數(shù)G(x,s),我們先分別求解下列兩個定解問題:
設(shè)問題(6)的非平凡解是?(x),問題(7)的非平凡解是ψ(x),則兩端彈性支承桿的Green函數(shù)可以表示為
其中,x,s∈[0,l]。這樣確定的G(x,s)顯然滿足G(x,s)的數(shù)學(xué)含義中的條件(1)和(3);通過適當(dāng)選取常系數(shù)k,即可滿足條件(2),即(5)式。
這就是本文所稱的特解組合法。
對于變截面的兩端鉸支梁,它的平衡方程和邊條件是
其中,r(x)=EJ(x)是[0,l]上的連續(xù)或分段連續(xù)函數(shù),且r(x)>0,它和f(x)都是已知函數(shù),E為材料的楊氏模量,J(x)為梁的橫截面對其中性軸的二次矩,而u(x)是待求的區(qū)間[0,l]上的位移函數(shù)。
相應(yīng)的格林函數(shù)G(x,s)的定義則是
以上兩式的數(shù)學(xué)含義是:
(1)除x=s外,Green函數(shù)滿足齊次方程:
(2)在x=s處,Green函數(shù)的三階微商(力學(xué)上稱為剪力)應(yīng)滿足:
(3)在端點處,Green函數(shù)必須滿足兩端鉸支梁原有的邊條件(10)式。
由于這里的微分算子是4階算子,按照上節(jié)介紹的特解組合法,設(shè)?(x),ψ(x)是下列問題
的兩個線性無關(guān)解。χ(x),η(x)是下列問題
的兩個線性無關(guān)解。把(14)式中的方程積分兩次,得到
式中,C1和C2為積分常數(shù)。由(14)式中的第二個邊條件,可以得出C2=0。方程兩邊同除以r(x)后,再積分兩次,得到
利用(14)式中的第一個邊條件,可以定出C4=0。把上式右端的第一項分部積分一次,最終得到
因此,可取
同理,把(15)式中的方程積分兩次后,先應(yīng)用(15)式中的第二個邊條件,再把方程兩邊同除以r(x)后,繼續(xù)積分兩次,得到
最后,利用(15)式中的第一個邊條件,有
由此,解得
代入(18)式得
于是,可取
這樣,兩端鉸支梁的Green函數(shù)可以表示為
其中,x,s∈(0,l)。這與其他文獻的結(jié)果完全一致。
從以上求解過程來看,特解組合法是簡單的,但在如何選取梁方程在左右端邊條件下的線性無關(guān)解,亦即如何確定?(x),ψ(x)和χ (x),η(x)是需要經(jīng)驗和細(xì)心的。
首先,按照(16)式,應(yīng)取ψ(x)=x,然而在(17)式中,選取ψ(x)=x/l,雖然這沒有什么矛盾,但選后者的理由何在?這是因為在(21)式中,我們選取了χ(x)=(x-l)/l,二者量綱必須保持一致。當(dāng)然,也可以這樣選擇:
但檢驗發(fā)現(xiàn),這樣選擇的結(jié)果,(13)式不被滿足。于是,為了滿足(13)式,格林函數(shù)的通式應(yīng)該改寫成
通式中包含一個常數(shù)是不難理解的,這樣一來,就可以根據(jù)(13)式,導(dǎo)出k=1/l,從而獲得同樣的結(jié)果。
其次,以往未能成功構(gòu)造兩端鉸支梁的格林函數(shù)的主要原因,在于對(19)式的處理。由(19)式,一種很自然的處理方法是
于是(20)式變成
相應(yīng)的,
就解題過程而言,這樣處理毫無錯誤。這時,注意到η(x)的表達式中第二個積分項的差別,即使選取ψ(x)=x/l,χ (x)=(x-l)/l,仍然不能獲得正確的答案??梢?,經(jīng)驗和細(xì)心在應(yīng)用特解組合法時多么重要!