王其申，章禮華，何海敏

（安慶師范大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院，安徽安慶246133）

格林函數(shù)和格林函數(shù)法是數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)中的一個重要內(nèi)容，它們不僅在物理學(xué)，而且在工程科學(xué)中都有著廣泛應(yīng)用[1-5]。因此，在數(shù)學(xué)上如何構(gòu)造所需格林函數(shù)，就是一個必須解決的問題。針對不同的定解問題，有多種構(gòu)造格林函數(shù)的方法，其中之一，就是本文將要討論的特解組合法。歷史上，文獻中出現(xiàn)了使用特解組合法構(gòu)造工程構(gòu)件變截面的桿和固定-自由梁的格林函數(shù)的記載[6]。然而，對于同為工程上的重要構(gòu)件之一的兩端鉸支梁，能否使用特解組合法構(gòu)造出它的格林函數(shù)，一直沒有見諸文獻。筆者多次試圖完成這項工作，幾次無疾而終。在認(rèn)真總結(jié)以往失敗的原因之后，本文采用特解組合法，成功構(gòu)造了變截面的兩端鉸支梁的格林函數(shù)。這一結(jié)果表明，在各種構(gòu)造格林函數(shù)的方法中，特解組合法是一種比較簡單而又普遍行之有效的方法。

1 特解組合法

特解組合法是一種構(gòu)造格林函數(shù)的方法，現(xiàn)以構(gòu)造兩端彈性支承桿的格林函數(shù)為例加以說明。

兩端彈性支承桿的平衡方程及其邊界條件是

式中，p(x)=EA(x)，E為材料的楊氏模量，A(x)為桿件的橫截面積，p(x)＞0是[0,l]上的連續(xù)或分段連續(xù)函數(shù)，它和f(x)都是已知函數(shù)，而u(x)是待求區(qū)間[0,l]上的位移函數(shù)，h和H是桿件與左右兩端基礎(chǔ)相連的線彈簧常數(shù)，它們均為非負(fù)常數(shù)，此處滿足h+H＞0。相應(yīng)的格林函數(shù)G(x,s)的定義則是

式中撇號表示相應(yīng)函數(shù)對變量x求微商（以下均如此表示）。δ(x-s)表示位于x=s處的單位點源密度的δ函數(shù)。以上兩式的數(shù)學(xué)含義是：

(1)除x=s外，Green函數(shù)滿足齊次方程:[p(x)G′(x,s)]′=0，

(2)在x=s處，Green函數(shù)的微商滿足：

(3)在端點處，Green函數(shù)必須滿足兩端彈性支承桿原有的邊條件(2)。

為了構(gòu)造滿足方程(3)和(4)的格林函數(shù)G(x,s)，我們先分別求解下列兩個定解問題：

設(shè)問題(6)的非平凡解是?(x)，問題(7)的非平凡解是ψ(x)，則兩端彈性支承桿的Green函數(shù)可以表示為

其中，x,s∈[0,l]。這樣確定的G(x,s)顯然滿足G(x,s)的數(shù)學(xué)含義中的條件(1)和(3)；通過適當(dāng)選取常系數(shù)k，即可滿足條件(2)，即(5)式。

這就是本文所稱的特解組合法。

2 兩端鉸支梁的格林函數(shù)的構(gòu)造

對于變截面的兩端鉸支梁，它的平衡方程和邊條件是

其中，r(x)=EJ(x)是[0,l]上的連續(xù)或分段連續(xù)函數(shù)，且r(x)＞0，它和f(x)都是已知函數(shù)，E為材料的楊氏模量，J(x)為梁的橫截面對其中性軸的二次矩，而u(x)是待求的區(qū)間[0,l]上的位移函數(shù)。

相應(yīng)的格林函數(shù)G(x,s)的定義則是

以上兩式的數(shù)學(xué)含義是：

(1)除x=s外，Green函數(shù)滿足齊次方程:

(2)在x=s處，Green函數(shù)的三階微商（力學(xué)上稱為剪力）應(yīng)滿足：

(3)在端點處，Green函數(shù)必須滿足兩端鉸支梁原有的邊條件(10)式。

由于這里的微分算子是4階算子，按照上節(jié)介紹的特解組合法，設(shè)?(x)，ψ(x)是下列問題

的兩個線性無關(guān)解。χ(x)，η(x)是下列問題

的兩個線性無關(guān)解。把(14)式中的方程積分兩次，得到

式中，C1和C2為積分常數(shù)。由(14)式中的第二個邊條件，可以得出C2=0。方程兩邊同除以r(x)后，再積分兩次，得到

利用(14)式中的第一個邊條件，可以定出C4=0。把上式右端的第一項分部積分一次，最終得到

因此，可取

同理，把(15)式中的方程積分兩次后，先應(yīng)用(15)式中的第二個邊條件，再把方程兩邊同除以r(x)后，繼續(xù)積分兩次，得到

最后，利用(15)式中的第一個邊條件，有

由此，解得

代入(18)式得

于是，可取

這樣，兩端鉸支梁的Green函數(shù)可以表示為

其中，x,s∈(0,l)。這與其他文獻的結(jié)果完全一致。

3 討論

從以上求解過程來看，特解組合法是簡單的，但在如何選取梁方程在左右端邊條件下的線性無關(guān)解，亦即如何確定?(x)，ψ(x)和χ (x)，η(x)是需要經(jīng)驗和細(xì)心的。

首先，按照(16)式，應(yīng)取ψ(x)=x，然而在(17)式中，選取ψ(x)=x/l，雖然這沒有什么矛盾，但選后者的理由何在？這是因為在(21)式中，我們選取了χ(x)=(x-l)/l，二者量綱必須保持一致。當(dāng)然，也可以這樣選擇：

但檢驗發(fā)現(xiàn)，這樣選擇的結(jié)果，(13)式不被滿足。于是，為了滿足(13)式，格林函數(shù)的通式應(yīng)該改寫成

通式中包含一個常數(shù)是不難理解的，這樣一來，就可以根據(jù)(13)式，導(dǎo)出k=1/l，從而獲得同樣的結(jié)果。

其次，以往未能成功構(gòu)造兩端鉸支梁的格林函數(shù)的主要原因，在于對(19)式的處理。由(19)式，一種很自然的處理方法是

于是(20)式變成

相應(yīng)的，

就解題過程而言，這樣處理毫無錯誤。這時，注意到η(x)的表達式中第二個積分項的差別，即使選取ψ(x)=x/l，χ (x)=(x-l)/l，仍然不能獲得正確的答案?？梢?，經(jīng)驗和細(xì)心在應(yīng)用特解組合法時多么重要！