趙 新，趙忠華，曹一文，魯興龍

(1.上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，上海 200240; 2.中國華陰兵器實驗中心, 華陰 714200)

0 引 言

航姿參考系統(tǒng)(AHRS)是不受外部環(huán)境因素干擾，給導(dǎo)航定位提供位姿信息的機載傳感器。在AHRS中，受傳感器精度等因素的影響， MEMS慣性傳感器輸出數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)存在較大誤差。為減小誤差，提高輸出數(shù)據(jù)精度，在傳感器輸出數(shù)據(jù)過程中應(yīng)用KF算法。為獲得誤差更小的數(shù)據(jù)，如文獻(xiàn) [1-8]對卡爾曼濾波算法進(jìn)行了改進(jìn)。

在KF過程中，傳感器受溫度、加速度等因素變化的影響，隨機噪聲發(fā)生變化，根據(jù)以往經(jīng)驗取值產(chǎn)生偏差，影響濾波結(jié)果。為此文獻(xiàn) [9-16]提出蒙特卡羅隨機噪聲逼近法、變分貝葉斯測量誤差逼近法，它們都能較好地對隨機噪聲進(jìn)行修正。同時也存在不足之處，蒙特卡羅隨機噪聲逼近法在采樣過程中需要消耗大量時間；變分貝葉斯法提供了精確的點估計，然而點估計限制了后驗分布的范圍[17]。針對上述不足，本文提出利用拉普拉斯變換對貝葉斯邊緣分布逼近，該方法能夠有效避免迭代過程消耗大，同時給出更為準(zhǔn)確的近似邊緣分布，提高后驗精度。

1 模型建立

根據(jù)KF原理建立MEMS慣性傳感器的濾波方程組，如下所示：

(1)

式中：xn為狀態(tài)變量，即估計角速度；yn為測量值，即陀螺儀測量角速度；wn為服從正態(tài)分布的狀態(tài)噪聲，均值為0，方差為Qn，wn～N(0,Qn)；Vn為服從正態(tài)分布的測量噪聲，均值為0，方差為Rn,Vn～N(0,Rn);A為動態(tài)模型的過渡矩陣；H為測量模型矩陣。

2 理論算法

2.1 貝葉斯濾波

式(1)MEMS慣性傳感器卡爾曼濾波方程組用概率形式表示為：

(2)

式(2)的貝葉斯濾波方程形式，由先驗分布、似然函數(shù)、邊緣分布和后驗分布四部分組成。其中先驗分布表達(dá)式為[18-19]：

(3)

似然函數(shù)表達(dá)式為：

p(yn|xn)=N(Hxn,Rn)

(4)

后驗分布表達(dá)式為：

p(xn|y1:n)=N(mn,Pn)=

(5)

式中：x0～N(m0,P0)。

2.2 拉普拉斯逼近法

在計算貝葉斯后驗分布時，由于邊緣分布維數(shù)高、數(shù)據(jù)量大等原因造成其難以計算，本文采用拉普拉斯逼近法對其近似逼近求解，獲得有效的邊緣分布值[20]。

拉普拉斯逼近方法如下所示：

(6)

(7)

(8)

當(dāng)λ相當(dāng)大時，b的積分相當(dāng)于高斯分布。

(9)

(10)

從上述推導(dǎo)獲得拉普拉斯逼近：

(11)

3 BLKF濾波

本文將測量噪聲作為隨機變量、估計參數(shù)，可獲得聯(lián)合先驗分布：

p(xn-1,Rn-1|y1:n-1)dxn-1dRn-1

(12)

代入貝葉斯公式中，得到如下方程：

p(xn,Rn|y1:n)=

(13)

上述式(12)和式(13)分別表示貝葉斯卡爾曼濾波預(yù)測方程和更新方程。

(14)

式中：

(15)

式中：

xn|n-1=Axn-1

(16)

Pn|n-1=APn-1AT+Qn-1

(17)

(18)

(19)

(20)

式中：

通過上述表示，可以獲得測量噪聲更新步驟。下一步將推導(dǎo)得到的噪聲貝葉斯拉普拉斯表示形式代入卡爾曼濾波步驟中。

構(gòu)建BLKF濾波過程，步驟如下式：

(21)

4 實驗室實驗

本實驗采用的微慣性姿態(tài)測量系統(tǒng)是法國SBG公司生產(chǎn)的航姿參考系統(tǒng)。SBG航姿參考系統(tǒng)是法國制造的高精度姿態(tài)測量系統(tǒng)，能夠為載體提供精準(zhǔn)的姿態(tài)信息。本文以SBG航姿參考系統(tǒng)輸出的角速度信息作為實驗數(shù)據(jù)。

4.1 單角速度旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)臺實驗

轉(zhuǎn)臺實驗中，SBG航姿參考系統(tǒng)單軸以20°/s的角速度隨轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)，隨機噪聲項初始值服從正態(tài)分布N(0，1)。用KF和BLKF分別對AHRS旋轉(zhuǎn)輸出角速度進(jìn)行濾波，濾波結(jié)果如下所示：

慣性傳感器在轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)時，應(yīng)用KF和BLKF處理角速度數(shù)據(jù)后，獲得相應(yīng)的濾波曲線。濾波結(jié)果與真實旋轉(zhuǎn)角速度求差，再求均值和方差，結(jié)果如表1所示。

4.2 多角速度旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)臺實驗

轉(zhuǎn)臺在水平面內(nèi)以-10°/s 、-20°/s、-30°/s、

表1 測量值、KF和BLKF與真實角速度誤差對比Table 1 Comparison of observed values, KF and BLKF, and true angular velocity errors

-40°/s、-50°/s的角速度旋轉(zhuǎn)，隨機噪聲項初始值服從正態(tài)分布N(0，1)。用KF和BLKF分別對AHRS旋轉(zhuǎn)輸出的角速度進(jìn)行濾波處理，濾波結(jié)果如圖3、4所示：

慣性傳感器在轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)時，應(yīng)用KF和BLKF處理角速度數(shù)據(jù)后，獲得相應(yīng)的濾波曲線。濾波結(jié)果與真實旋轉(zhuǎn)角速度求差，再求均值和方差，結(jié)果如表2所示：

4.3 轉(zhuǎn)臺實驗結(jié)果分析

通過對單角速度實驗和多角速度實驗分析，獲得如下結(jié)論：當(dāng)角速度恒定不變時，通過表1中的誤差均值和方差可發(fā)現(xiàn)，BLKF比KF濾波后的數(shù)據(jù)更接近真值；當(dāng)角速度發(fā)生改變時(該情況更接近AHRS的真實使用環(huán)境，在此過程中無法獲知隨機噪聲的改變)，如圖4所示AHRS在長時間使用后, KF無法及時響應(yīng)，出現(xiàn)使用時間越長濾波誤差越大的現(xiàn)象，而BLKF則無該現(xiàn)象出現(xiàn)，說明BLKF能更好的適應(yīng)角速度改變的情況，獲得更為精準(zhǔn)的數(shù)據(jù)；如表2所示，BLKF在變角速度的情況下比KF的誤差均值和方差更小，更接近真值。

表2 多角速度測量值、KF和BLKF與真實旋轉(zhuǎn)角 速度誤差對比Table 2 Comparison of observed values, KF and BLKF, and true angular velocity errors of any angular velocity

5 結(jié) 論

針對MEMS慣性傳感器數(shù)據(jù)處理應(yīng)用KF時，濾波方程中隨機噪聲根據(jù)以往經(jīng)驗選取，造成濾波結(jié)果不準(zhǔn)確的問題。本文研究了一種基于BLKF對隨機噪聲更新的方法，該方法以貝葉斯更新隨機噪聲為基礎(chǔ)，運用拉普拉斯近似算法對邊緣分布求解，改進(jìn)了KF濾波過程，使隨機噪聲實時更新，增強了濾波后數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。實驗結(jié)果表明，該方法能夠有效地對隨機噪聲進(jìn)行抑制，獲得更為準(zhǔn)確的濾波信息；同時AHRS動態(tài)使用時，BLKF也能對未知隨機噪聲精準(zhǔn)估計濾波，獲得準(zhǔn)確的濾波信息，為AHRS后續(xù)使用提供技術(shù)支持。