楊淑利，劉志全，濮海玲，楊巧龍

(中國(guó)空間技術(shù)研究院總體部，北京 100094)

0 引 言

空間柔性太陽(yáng)電池陣一般采用盤(pán)壓桿、鉸接桿或管狀桿展開(kāi)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)其展開(kāi)或收攏運(yùn)動(dòng)，而多模塊框架的柔性太陽(yáng)電池陣新型展開(kāi)機(jī)構(gòu)因具有質(zhì)量輕、剛度高、收攏體積小、模塊數(shù)量可靈活調(diào)整等優(yōu)點(diǎn)[1-2]，更受航天界的青睞。

然而多模塊框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)的根鉸間隙對(duì)展開(kāi)機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)特性存在顯著影響[3]，使運(yùn)動(dòng)部件動(dòng)應(yīng)力增加，引起部件的振動(dòng)與沖擊，導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)精度下降[3-4]。因此，進(jìn)行考慮根鉸間隙的空間框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析具有重要意義。

2003年，美國(guó)空軍研究室的A. L. Adler等對(duì)多模塊框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了初步動(dòng)力學(xué)分析，分析了在重力作用、不同邊界條件下的基頻和模態(tài)，指出鉸鏈間隙對(duì)框架展開(kāi)過(guò)程有一定影響，但并未進(jìn)行影響分析[6]。2004年，中國(guó)空間技術(shù)研究院王巍針對(duì)國(guó)內(nèi)空間太陽(yáng)電池陣常用無(wú)源驅(qū)動(dòng)扭簧式鉸鏈進(jìn)行了間隙鉸鏈分析模型研究，將鉸鏈間的接觸力假設(shè)為單向的非線性彈簧，得到包含間隙影響的鉸鏈力矩-轉(zhuǎn)角關(guān)系曲線[5]，但只進(jìn)行了單自由度展開(kāi)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析，未涉及多自由度展開(kāi)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析。2005年，美國(guó)ABLE Engineering研究機(jī)構(gòu)的M. Eskenazi等對(duì)不同模塊數(shù)目和不同展開(kāi)構(gòu)型的多模塊框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)用有限元方法進(jìn)行了基頻和變形分析[7]。2013年，哈爾濱工業(yè)大學(xué)張靜針對(duì)空間含鉸可展桁架結(jié)構(gòu)，綜合考慮間隙、非線性剛度、摩擦及碰撞阻尼四種因素建立鉸鏈等效模型，并基于此模型開(kāi)展非線性動(dòng)力學(xué)建模與分析[8]，但文獻(xiàn)[8]只針對(duì)展開(kāi)后的桁架結(jié)構(gòu)在定點(diǎn)外部激勵(lì)下研究桁架結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，并未進(jìn)行展開(kāi)過(guò)程中的桁架動(dòng)力學(xué)分析?？傊?，文獻(xiàn)[5]～[8]均未進(jìn)行框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)展開(kāi)過(guò)程的動(dòng)力學(xué)分析，也未考慮有源驅(qū)動(dòng)下鉸鏈間隙對(duì)多自由度框架展開(kāi)過(guò)程動(dòng)力學(xué)特性的影響分析。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文利用Kane方法建立考慮根鉸間隙的多模塊框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)多模塊框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)在三維空間展開(kāi)過(guò)程中各組件及節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)特性和根鉸間隙的影響進(jìn)行仿真分析，以期獲得多模塊框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)、動(dòng)力學(xué)特性和根鉸間隙的影響規(guī)律，為該類(lèi)多模塊框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1 多模塊框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)的組成及展開(kāi)過(guò)程

多模塊框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)是由若干個(gè)支撐梁和鉸接單元組成。展開(kāi)后形成模塊化、大面積的展開(kāi)結(jié)構(gòu)；隨后柔性毯在每個(gè)矩形模塊內(nèi)展開(kāi)(見(jiàn)圖1)。每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模塊內(nèi)的太陽(yáng)電池陣的展開(kāi)方式都是相同的，可以根據(jù)需要進(jìn)行擴(kuò)充或減少標(biāo)準(zhǔn)模塊數(shù)量，也可以設(shè)計(jì)不同的布局對(duì)模塊進(jìn)行拓展，以滿足不同航天器的各種功率需求。

圖2為單模塊框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)完全展開(kāi)后的狀態(tài)。單模塊電池陣的主要承力單元為4根側(cè)梁、1根基梁和1根端梁，展開(kāi)后構(gòu)成一個(gè)矩形。各梁之間由鉸接單元連接，鉸接單元分為動(dòng)力鉸接單元、從動(dòng)鉸接單元及中間鉸接單元。根部動(dòng)力鉸接單元由電機(jī)-減速器輪系提供框架展開(kāi)動(dòng)力，從動(dòng)鉸接單元沒(méi)有動(dòng)力鉸接單元的電機(jī)-減速組，但含有鎖定-緩沖機(jī)構(gòu)，以實(shí)現(xiàn)展開(kāi)后鎖定。2根側(cè)梁中間的節(jié)點(diǎn)稱為中間鉸接單元，不含電機(jī)-減速組，只起到連接和展開(kāi)側(cè)梁的作用，并實(shí)現(xiàn)展開(kāi)后鎖定。

以下就雙模塊框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)的展開(kāi)過(guò)程做簡(jiǎn)要描述，如圖3所示。對(duì)于雙模塊框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)，共有9個(gè)鉸接節(jié)點(diǎn)，其中：①為根部動(dòng)力鉸接節(jié)點(diǎn)，③④⑥⑦⑨為從動(dòng)鉸接節(jié)點(diǎn)，②⑤⑧為中間鉸接節(jié)點(diǎn)。在展開(kāi)過(guò)程中，①點(diǎn)為根部固定點(diǎn)，由電機(jī)提供展開(kāi)動(dòng)力，使得①②梁與①⑥梁各自實(shí)現(xiàn)90°旋轉(zhuǎn)展開(kāi)，并通過(guò)從動(dòng)或中間鉸接單元帶動(dòng)其它各梁的順利展開(kāi)。為了保證各梁在展開(kāi)的過(guò)程中不發(fā)生干涉或交叉，且各梁同步展開(kāi)，需要遵循以下約束條件：

1)由①②、④⑤、⑦⑧分別連接的梁保持平行；

2)由②③、⑤⑥、⑧⑨分別連接的梁保持平行；

3)由①⑥和③④分別連接的梁保持平行；

4)由⑥⑦和④⑨分別連接的梁保持平行。

2 考慮根鉸間隙的框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

本文基于Hertz接觸理論建立框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)的根鉸(旋轉(zhuǎn)鉸)間隙力學(xué)模型，并利用Kane方法對(duì)框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。

2.1 根鉸間隙力學(xué)模型

根鏈銷(xiāo)軸與軸瓦的接觸如圖4所示。

設(shè)銷(xiāo)軸與軸瓦的彈性模量、泊松比及半徑分別為E1,E2、ν1,ν2、R1,R2。Dubowsky推廣了Hertz接觸定律[9-10]，提出法向接觸力FN與變形δ的非線性關(guān)系式為

(1)

式(1)中：R、k1和k2分別為

(2)

2.2 基于Kane方法的框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

本文根鉸間隙包括AB梁繞O1旋轉(zhuǎn)鉸和AF梁繞O2旋轉(zhuǎn)鉸的間隙。旋轉(zhuǎn)鉸示意圖如圖7所示，圖7中O1,O2分別為A點(diǎn)處兩個(gè)旋轉(zhuǎn)副軸瓦的中心。在圖7所示的情況下，外力有慣性力和慣性力矩。為了求得構(gòu)件慣性力和慣性力矩，要確定各構(gòu)件質(zhì)心的位置、速度和加速度與廣義坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系。設(shè)各梁的質(zhì)心位移和角位移向量分別為L(zhǎng)i,θi,(i=1,2,3,4,5,6)；各梁質(zhì)心速度和角速度向量分別為

Vci,ωi,(i=1,2,3,4,5,6)；各梁質(zhì)心加速度和角加速度向量分別為aci,εi,(i=1,2,3,4,5,6)。需要指出的是，為滿足第1節(jié)中各梁的約束條件，則l1=l6,l2=l5,l3=l4。

a)各構(gòu)件質(zhì)心位置、速度、加速度

用向量Li表示質(zhì)心位置，有

(4)

由式(4)可知，各構(gòu)件質(zhì)心速度、角速度及構(gòu)件質(zhì)心加速度、角加速度分別如式(5)～(6)，并將其轉(zhuǎn)換為對(duì)廣義坐標(biāo)及廣義速度的表達(dá)式。

(5)

(6)

b)框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)的主動(dòng)力(矩)和慣性力(矩)

由于考慮根鉸間隙影響，軸瓦分別對(duì)AB梁和AF梁的銷(xiāo)軸有摩擦力和接觸力的主動(dòng)力；故系統(tǒng)受到的主動(dòng)力包括作用在AB梁上的驅(qū)動(dòng)力矩M1，銷(xiāo)軸處的接觸力FN1與摩擦力FT1；作用在AF梁上的驅(qū)動(dòng)力矩M4，銷(xiāo)軸處的接觸力FN2與摩擦力FT2。設(shè)AB梁A處的旋轉(zhuǎn)鉸軸瓦與銷(xiāo)軸的半徑分別為r1,r2，AF梁A處的旋轉(zhuǎn)鉸軸瓦與銷(xiāo)軸的半徑分別為r3,r4。近似把摩擦力FT1、FT2簡(jiǎn)化為對(duì)剛性桿銷(xiāo)軸的力矩MT1和MT2。設(shè)連接AB梁的旋轉(zhuǎn)鉸接觸剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)和摩擦系數(shù)分別為K1,D1,μ1，連接AF梁的旋轉(zhuǎn)鉸接觸剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)和摩擦系數(shù)分別為K2,D2,μ2，則有

則主動(dòng)力、主動(dòng)力矩為

慣性力、慣性力矩為

c)廣義主動(dòng)力和廣義慣性力

將主動(dòng)力(矩)和慣性力(矩)轉(zhuǎn)移到廣義坐標(biāo)中，即首先求出各構(gòu)件質(zhì)心速度與角速度對(duì)廣義速度的偏微分，構(gòu)成轉(zhuǎn)換矩陣，然后將其與力向量相乘，即可獲得廣義力，轉(zhuǎn)換矩陣為

廣義主動(dòng)力為

F=UF[FN1,0,0,FN2,0,0]T+

UM[M1+MT1,0,0,M4+MT2,0,0]T

框架的動(dòng)力學(xué)方程表示為

F+F*=0

由此可得到框架的動(dòng)力學(xué)模型如式(7)～(12)所示

M1+FT1r2=0

(7)

(8)

M4+FT2r4=0

(9)

(10)

(11)

(12)

3 框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果分析

根據(jù)2.2節(jié)框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，運(yùn)用經(jīng)典四階Runge-Kutta法來(lái)求數(shù)值求解，通過(guò)MATLAB進(jìn)行編程，得到框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)參數(shù)的數(shù)值解。且采用2.2節(jié)建立模型的方法，也能夠求解其它一維或二維框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。本算例中采用的各輸入?yún)?shù)為見(jiàn)表1。算例中x01、y01的初始值分別選取為0、-0.0001 m，y02、z02的初始值分別選取為-0.0001 m、0 m，θ1、θ2的初值均為0°(框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)處于收攏狀態(tài))。

表1 框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真參數(shù) Tabble 1 Parameters of deployable strut-mechanism for dynamic analysis

3.1 根部轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化曲線

圖8、圖9分別為考慮和不考慮根鉸間隙下框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)AB梁轉(zhuǎn)角θ1、AF梁轉(zhuǎn)角θ2的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)曲線。

由圖8、圖9可知：

(4)當(dāng)M1=1.0,M4=0.3時(shí)，θ1和θ2能夠在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)90°，同時(shí)轉(zhuǎn)到xoz平面內(nèi)，此時(shí)AB梁和AF梁在同一面內(nèi)呈90°夾角。

3.2 AB梁根部x01,y01,FN1隨時(shí)間變化曲線

圖10、圖11、圖12分別為考慮根鉸間隙下框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)AB梁根部x01、y01、FN1、B點(diǎn)x方向的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)曲線。

由圖10、圖11、圖12可知：

(1)在θ1轉(zhuǎn)動(dòng)90°的區(qū)間內(nèi)， |x01| 先趨于增大后減小的趨勢(shì)，最大值為0.00054 m；|y01|在0.0001 m內(nèi)變化，當(dāng)θ1=90°時(shí)，y01有略微增大的趨勢(shì)；

(2)FN1隨時(shí)間的變化漸漸趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定后FN1約為0.48 N。

3.3 AF梁根部y02,z02,FN2隨時(shí)間變化曲線

圖13、圖14分別為考慮根鉸間隙下框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)AB梁根部y02、z02、FN2的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)曲線。

由圖13、圖14可知：

(1)在θ2轉(zhuǎn)動(dòng)90°的區(qū)間內(nèi)， |z02| 先趨于增大后減小的趨勢(shì)，最大值為0.00042 m；|y02|在0.0001 m內(nèi)變化，當(dāng)θ2=90°時(shí)，y01有略微增大的趨勢(shì)；

(2)FN2隨時(shí)間的變化漸漸趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定后FN2約為0.4 N。

4 結(jié) 論

(1)基于Kane法多體動(dòng)力學(xué)基本理論及Hertz接觸理論建立了考慮根鉸間隙的框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，得到了框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)多自由度展開(kāi)過(guò)程各組件及節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)數(shù)值解。該模型更加真實(shí)地描述了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，同時(shí)也適用于其它一維或二維框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析；

(2)根鉸間隙對(duì)框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)基梁的轉(zhuǎn)角和角速度幾乎沒(méi)影響，而對(duì)角加速度存在較為明顯影響。角加速度幅值在0～2 s內(nèi)波動(dòng)明顯。故對(duì)于存在根鉸間隙的展開(kāi)機(jī)構(gòu)，需在機(jī)構(gòu)展開(kāi)初期階段(如0～2 s)施加一定的阻尼來(lái)降低間隙沖擊對(duì)鉸鏈的影響；

(3)框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)側(cè)梁AB在x-y面內(nèi)展開(kāi)過(guò)程中，與AB梁連接的銷(xiāo)軸x向位移絕對(duì)值呈先增后減趨勢(shì)，最大值為初始間隙值的5倍；在y向位移基本呈正弦變化態(tài)勢(shì)。故鉸鏈應(yīng)選彈性和抗疲勞性能較好的材料，以適應(yīng)交變的沖擊載荷；

(4)考慮根鉸間隙后，鉸鏈對(duì)側(cè)梁AB(x-y面內(nèi))產(chǎn)生的接觸力穩(wěn)定值比對(duì)基梁AF(y-z面內(nèi))產(chǎn)生的接觸力穩(wěn)定值略大，原于鉸鏈間隙和BC梁的沖擊；

(5)框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)根鉸驅(qū)動(dòng)力矩大小是影響機(jī)構(gòu)展開(kāi)時(shí)間和間隙沖擊的主要因素。因此需根據(jù)框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)的模塊數(shù)量和布局設(shè)計(jì)出合理的驅(qū)動(dòng)力矩，以保證框架展開(kāi)機(jī)構(gòu)在規(guī)定的展開(kāi)時(shí)間內(nèi)鉸鏈間隙產(chǎn)生的沖擊影響最小。